山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期10月月考（总第四次）数学试题

山西大学附中 2026～2027学年第一学期高三（10月）考试 数 学 试 题(参考答案) 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：张婷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C B D C ACD ABD 题号 11 答案 AD 6． B【解答】解：用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球， 用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式得， 从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为： ． 7．D【解答】解：由题意定义在上的函数的导函数为，若，且（5）， 可设，则． 因为，所以，即，所以在上单调递减． 不等式等价于不等式，即． 因为（5），所以（5）（5），所以（5）． 因为在上单调递减，所以，解得， 即不等式的解集为，． 8．C【解答】解：因为， 则， 因为，，，所以的正负性由分子决定， 令，对求导，， 令，即，因为，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以在处取得最大值， 因为，所以，又因为当时，，， 但；当时，，，所以存在，使得，即，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递增；所以在处取得最小值，又因为，即，，将代入中，得到，即，， 所以，解得，将代入中， 得到，解得． 二．多选题（共3小题） 9．ACD【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，等比数列中，若，，则有，解得，故正确；对于C，由于，则，解得，所以，，故C正确；对于B，由于，则， 所以，故B错误；对于，因为，，所以，即数列是公差为1的等差数列，故正确． 10．【解答】解：对于，由题意得，即， 由正弦定理可得，在△中，又因为，即，故正确； 对于，在△中，，由选项知，两边同时乘以2得， 即，由正弦定理可得，故正确；对于，，，因为， 当时，取得最大值为1，但是由，即，则， 此时，不满足题意，故错误；对于，由余弦定理得，且，则有， 所以，其中，则可得的最大值为，故正确． 11．AD【解答】解：因为函数，及其导函数，的定义域均为， 又，，关于点对称， 所以逐一分析各个选项如下：对于：令，则关于点中心对称，则，即，则关于中心对称，则（1），故正确； 对于：由，可得，所以，又， 所以，所以关于中心对称，则关于轴对称，故（3）（1），又因为，令，得（3），故，故错误； 对于：由可知，关于中心对称，即，由可知关于轴对称，即，因此有①，可推导出②， ②式①式，得，所以是以4为周期的函数．因为， 所以，，， 故也是以4为周期的函数，则（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（2）（1）， 又，故（2），又（1）， 因此（1）（2）（3）（4）（2）（1）（1）， 故，故错误． 对于：令，则也是以4为周期的函数． 因为关于轴对称，故有，故由可得， 故有，因此有． 由可知，（3），由可知，（2），（4），则（2）（4）， 故（1）（2）（3）（4）（1），因此．因为为以4为周期的函数，令，则也是以4为周期的函数． 因为关于轴对称，且（1），故（3）（1）， 因此（1）（2）（3）（4） （1）（2）（2）（3）（3）（4）（4）（5） （4）（5）（1）， ， 所以，故正确． 12．【解答】解：由已知可得，所以， 所以，所以 ．故答案为：． 13.【解答】解：函数的图像上存在两组关于原点对称的点， 在函数在上的图像上任取点，则，即， 点关于原点对称的点即， 则点在函数的的图像上，即， 所以，整理得， 令，则函数有两个不等的正零点， 所以，得． 故实数的取值范围是．故答案为：． 14．【解答】解：由，可得， 即，令，设，函数定义域为， 可得，因为在上单调递增，又，所以， 即，整理得，设，函数定义域为， 且，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减；所以当时，取得极小值也是最小值， 最小值，即，故实数的取值范围是．故答案为：． 15．【解答】解：（1）因为，结合余弦定理， 可得，即， .......................2分 由余弦定理可得，.......................3分 所以， .......................4分 因为，所以； .......................6分 （2）由△的面积为，可得，解得，.......................7分 由的角平分线交于点，且， 可得， .......................9分 整理得，.......................10分 由余弦定理，有， .......................11分 解得，.......................12分 故△的周长为．.......................13分 16． 【解答】解：（1）证明：取的中点，连接，.......................1分 如图，又为的中点，，.......................2分 由，则，......................3分 又为等腰直角三角形，，， ，......................4分 又，，平面， 平面，.......................5分 又平面，．.......................6分 （2） 平面平面，平面平面，，平面，平面 ，平面，故，......................8分 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设， ，0，，，2，，，0，，，0，， 则，，，.......................9分 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，，，，1，， 则，， 设是平面的一个法向量，则， 令，则，.......................11分 设为平面的一个法向量，则， 令，即，.......................13分 ，可得．.......................15分 存在使得平面平面，此时． 17．【解答】解：（1）记事件为“智能客服的回答被采纳”，事件为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”， 由题意得：，所以，.....................1分 又因为，，.....................2分 由全概率公式得：；.......4分 （2）由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试3个问题中被采纳的次数服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3，.....................5分 ，， ，，.....................9分 则的分布列为： 0 1 2 3 .....................10分 所以； .....................11分 （3）抽取10个问题，设被采纳的次数为，则，总得分， .....................12分 由期望的性质得：， .....................14分 因为， 满足推广条件，所以该系统会得到推广．.....................15分 18.【解答】解：（1）因为，所以，解得，.....................1分 因为椭圆的离心率为，所以，....................2分 又，解得，，.....................3分 则椭圆的方程为；....................4分 （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，设直线方程为， ....................5分 联立，消去并整理得，....................6分 此时，解得，.....................7分 由韦达定理得，，.....................8分 设，，，，此时中点横坐标，纵坐标，..............9分 可得，所以中点轨迹方程为；.....................11分 （3）由题意可知直线与椭圆交于，， 设，，，，，， 联立，消去并整理得，.....................12分 由韦达定理得，，.....................13分 因为，所以，即， .....................14分 整理得，即，.....................15分 所以，因为，为常数， 所以不恒成立，则．解得．.....................17分 19．【解答】解：（1）由得，，又，得（1）， 在处的切线的方程为：，令，得到，....................1分 所以，得到，所以， 在处的切线的方程为：，.....................3分 令，得到，故的2次近似值为； .....................4分 （2）①由，得，，（4），， 得，，同理：在点处的切线斜率为， ，.....................5分 将，代入，得，所以或，....................6分 若，则，，，重合，与题设矛盾，故舍去，， 故数列是首项为，公比为的等比数列，得到，.....................7分 由抛物线的定义：， 故；.....................8分 ②证明：由题意得：， 由①知：，，，.....................10分 得，.....................11分 而，时，， .....................12分 得，故， .....................14分 所以，.....................15分 将代入， 得，故命题得证．............17分 答案第1页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2026~2027学年第一学期高三10月月考（总第四次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：张婷 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 2．在复平面中，若复数满足，则（　　） A． B．1 C． D．2 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A．13 B．17 C．15 D．19 4．已知函数的图象过函数图象的定点，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．8 5．已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，，若，，则得分在区间，内的人数约为（　　） A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 6．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数的导函数为，若，且（5），则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 8．若函数的最小值为，则正实数的值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知等比数列的公比为，前项和为，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．数列是公差为1的等差数列 10．在△中，角，，所对的边分别为，，，△的面积为，若，则（　　） A． B． C．的最大值为1 D．的最大值为 11．已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（　　） A．（1） B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．若，，则的值为　　 ． 13.已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是　　 ． 14．已知对于，都有，则的取值范围　　 ． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）记△内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若△的面积为，的角平分线交于点，且，求△的周长． 16．（本小题15分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17．（本小题15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由. 18．（本小题17分）已知，分别为椭圆的左、右顶点，且，的离心率为． （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，求的中点的轨迹方程； （3）若直线与交于，两点，设直线，的斜率分别为，，且，求． 19．（本小题17分）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿 ，在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点，处作曲线的切线，设与轴交于点，，并称为的1次近似值；在点，处作曲线的切线，设与轴交于点，，称为的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，，并称为的次近似值． （1）若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； （2）若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，，2，3，，． 回答以下问题： ①请将的长度用表示； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $