山西部分校联考2026-2027学年高三上学期10月素质评价二数学试题

★★★202610 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 5．若函数是单调函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 6．已知定义域为的函数满足，且当时，，则的图象在处的切线斜率为 A． B． C． D． 7．设，，，则 A． B． C． D． 8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类奇函数”．已知是定义在上的“类奇函数”，则实数的最小值为 A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数，满足，则下列说法正确的是 A．若，则 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为 10．已知函数的定义域为，若，，，且当时，，则 A． B．， C．在上单调递增 D． 11．已知函数，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若在上单调递增，则 C．当时，若方程有两个不等实根，则 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若是偶函数，则__________．（用数字作答） 13．已知，，若，且，则__________． 14．若函数存在极小值，且极小值不小于3，则实数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知函数的图象在处的切线斜率为2． （1）求实数的值，并判断的单调性； （2）若当时，，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）若恰有两个极值点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 附：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ ★★★202610 高三数学·答案 一、选择题 1．D 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 二、选择题 9．ABD 10．BC 11．ACD 三、填空题 12．2 13． 14．2 四、解答题 15．命题透析 本题考查集合的基本运算． 解析（1）当时，，或． （2分） 当时，，即． （4分） 所以或． （6分） （2）由（1）知，． 若，则，解得； （9分） 若，则无解． （12分） 综上，实数的取值范围为． （13分） 16．命题透析 本题考查函数与导数． 解析（1）由题意，得．由，解得． （3分） 所以，．所以在上单调递增． （6分） （2）易知的定义域为，且，所以是奇函数． （8分） 当时，等价于．（*） （10分） 又单调递增，所以（*）式可化为． 因为在上的最小值为，所以，即． 故实数的取值范围为． （15分） 17．命题透析 本题考查利用导数研究函数的性质． 解析（1）由题意知，的定义域为， ． （1分） ①当时，，则当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （3分） ②当时，，则当或时，，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减． （5分） ③当时，，则对任意恒成立， 所以在上单调递增． （7分） ④当时，，则当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减． （9分） （2）要证：， 即证． 又，只需证． （11分） 令，则，． （12分） 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （14分） 故，即，从而原不等式成立． （15分） 18．命题透析 本题考查函数与导数． 解析（1）当时，，， （1分） 则，， （2分） 所以所求切线方程为，即． （4分） （2）令，得． 令，则有且仅有一个零点等价于直线与曲线有且仅有一个交点． （5分） ，则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以．又当时，，当时，，且，作出的大致图象，如图所示： （8分） 由图可得，实数的取值范围为． （10分） （3）由，得． 令，，由，可得． （13分） 当时，，易知． 令，得．因为，，所以，． 故，即在上单调递增，． 所以在上单调递增．所以，不等式恒成立． 综上，实数的取值范围为． （17分） 19．命题透析 本题考查函数与导数． 解析（1）当时，则． （2分） 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增． 因此，的单调递增区间为，单调递减区间为． （5分） （2）（i）由题意知，． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． （7分） 又当时，，当时，， 要使有两个不等实根，则解得， 即实数的取值范围为． （9分） （ii）要证，即证，即证． 由（i）可知，，是的两个正根，且，， 所以作差，得． （11分） 令，则，代入上式，得， 整理，得． 所以． （13分） 所以． 要证，即证，即证，即证（）． 令（），则， 所以在上单调递增．故，即成立． 所以成立，故得证． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $