山西省太原市小店区山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第一学期高三1月模块诊断（ 总第八次 ） 考试时间: 120分钟 总分: 150分 一、单选题: 共8小题, 每小题5分, 共40分. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题设，则．故选：B 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 3．有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是89.故选：D 4．若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．9 B．5 C． D． 【详解】由抛物线方程可得其焦点在轴正半轴上，且，解得， 故其准线方程为，又点的纵坐标为1， 则点到准线的距离为 .故选：D. 5．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【详解】.故选：B. 6．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 【详解】根据题意可得，所以n＝2＋12＝14．故选：B 7．已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】， 因为是的平分线，所以， 设， 因为，所以.故选：A 8．若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以， 即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以.故选：C. 2、 多选题: 共3小题, 每小题6分, 共18分. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有错选的得0分. 9．已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【详解】对于A，由，可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，，所以数列是递增数列，故D错误.故选：AC. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与双曲线C及双曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（    ） A．当时，双曲线C的离心率为 B．当时，双曲线C的离心率为 C．当时，双曲线C的离心率为4 D．当时，双曲线C的离心率为 【详解】双曲线的焦点， 渐近线方程为， 以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点， 得， 设，由，解得， 对于A，，又，则， 由勾股定理得，即，曲线C的离心率为，A正确； 对于B，，不妨令，则， 即，整理得，曲线C的离心率为，B正确； 对于C，，则， 解得，曲线C的离心率为，C错误； 对于D，，而， 解得，又，即，曲线C的离心率为，D正确. 故选：ABD 11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（ ） A． B．Sigmoid函数是单调减函数 C．函数的最大值是 D． 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确．故选：ACD. 三、填空题: 本题共3小题, 每题5分, 共15分. 12．复数 的虚部是 . 【详解】依题意，，所以所求虚部为. 13．已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为 . 【详解】 由题意，的三边长分别为，设内切圆半径为，则. 根据余弦定理，，则， ，. 14．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个. 【详解】空①：有2个元素，是从中任选2个数字，有种不同的可能； 由于，所以中必须而且只需包含没有被选中的2个元素； 其余的2个元素都可以任意的在或不在中，各有4种不同的处置方法， 每种方法都确保了集合列的不同， 从而有种不同的处置方式，得到集合列的16种不同的结果， 所以集合列有种不同的结果. 空②：类似空①的过程，可知当时， 集合列有个不同的结果， 因为，所以所有满足条件的集合列有625种不同的结果. 故答案为：96；625. 四、解答题: 本题共5小题, 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. (1)求证：平面BDM； (2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 【详解】（1）连接AC交BD于，连接MN， 因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点， 所以在中，有， 3分 又平面平面，所以平面； 5分 （2）如图，建立空间直角坐标系，设， 则，又是AE的中点，故， ，因为，所以， 解得， 7分 设，即， 可得，则， 9分 又，设平面AEF的一个法向量为， 则，令，则，即， 11分 设直线PM与平面AEF所成角为， 则 所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为. 13分 16．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 3分 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列；7分 （2）由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， ；15分 17．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【详解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. 3分 （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 7分 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． 9分 （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 10分 而，， ， 所以 13分 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 15分 18．已知椭圆：. (1)若椭圆过点，且离心率,求的取值范围； (2)若椭圆过点，且焦距为2，其中为椭圆的离心率，求椭圆的标准方程； (3)在(2)条件下，设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由． 【详解】(1)∵在椭圆，∴，有， 所以， 又∵，所以，∵，∴；4分 （2）设椭圆的焦距为，则， 由题意可得，解得， 故的标准方程为. 8分 （3）平行四边形的面积为定值，理由如下： 由（2）可得：，则有： 当直线的斜率不存在时，设， 若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设， 可得，解得， 故平行四边形的面积；9分 当直线的斜率存在时，设，10分 联立方程，消去y得， 则， 11分 可得， ∵， 若为平行四边形，则， 即点 12分 点B在椭圆上，则， 整理可得，满足，13分 则， 可得， 14分 点到直线的距离， 15分 故平行四边形的面积； 综上所述：平行四边形的面积为定值. 17分 19．函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)证明：，． 【详解】（1）， 当时，， ．   1分 当时，，当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减． 所以． 4分 （2）， ， 6分 ，当时等号成立， 当时，，恒成立，在上单调递减，符合题意； 7分 当时，要使为单调函数，则只需，即恒成立， 所以，解得，所． 9分 综上，实数的取值范围为． 10分 （3） 证明： 先证明左边， 由（1）知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即． 又因为，所以，，，， 累加得，．   13分 再证明右边， 由（2）知，当时，在上单调递减， 所以当时，，得， 令， 累加得 ， 所以． 所以，．   综上所述，，． 17分 难点：两次赋值整体计算 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025~2026学年第一学期高三1月模块诊断（ 总第八次 ） 考试时间: 120分钟 总分: 150分 一、单选题: 共8小题, 每小题5分, 共40分. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 4．若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．9 B．5 C． D． 5．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 7．已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 8．若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题: 共3小题, 每小题6分, 共18分. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有错选的得0分. 9．已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与双曲线C及双曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（    ） A．当时，双曲线C的离心率为 B．当时，双曲线C的离心率为 C．当时，双曲线C的离心率为4 D．当时，双曲线C的离心率为 11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（ ） A． B．Sigmoid函数是单调减函数 C．函数的最大值是 D． 三、填空题: 本题共3小题, 每题5分, 共15分. 12．复数 的虚部是 . 13．已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为 . 14．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个. 四、解答题: 本题共5小题, 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. (1)求证：平面BDM； (2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 16．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 17．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 18．已知椭圆：. (1)若椭圆过点，且离心率,求的取值范围； (2)若椭圆过点，且焦距为2，其中为椭圆的离心率，求椭圆的标准方程； (3)在(2)条件下，设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由． 19．函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)证明：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $