精品解析：山东蒙阴第三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年度上学期阶段教学质量调研九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2. 方程的解是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 4. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移2个单位,再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为y=（x+3）2+2. 故选A. 【点睛】考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键. 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 6. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 7. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） 原方程 甲 乙 丙 丁 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴按步骤顺序，乙同学负责的步骤是错的， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 9. 某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 10. … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为直线 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 13. 若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 14. 把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 16. 已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念与性质，解题的关键掌握二次函数的增减性． 根据二次函数的定义，指数必须为，且二次项系数不为零；再根据函数在对称轴右侧递增的性质，判断开口向上，从而确定系数的正负． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴指数部分 ，解得 ，即 又∵二次项系数 ，即 ． 函数在对称轴右侧部分，函数值 随自变量 的增大而增大，表明抛物线开口向上， ∴二次项系数 ，即 ． 综上， 时，，不符合 ；，符合条件， 故答案为 ：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得， ． 18. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，两点的坐标． （2）抛物线上点的坐标为，求的值． 【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是； （2）或 【解析】 【分析】（1）解方程，即可得到点，的坐标； （2）把点的坐标为代入函数解析式中，得到关于的一元二次方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点在点的左侧， 点的坐标是，点的坐标是； 【小问2详解】 解：把点的坐标为代入， 可得：， 整理可得：， 解得：，， 的值为或． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）证明：一元二次方程中、、， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，再根据平方的非负性可证结论成立； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：． 20. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 【答案】（1）图像如下图所示． （2）①②③ （3）（或） 【解析】 【分析】（1）将表中各点在给定的平面直角坐标系中描出后连接即可． （2）根据函数图象分析即可． （3）先求出原抛物线的顶点式，然后按照二次函数顶点式的平移法则“左加右减，上加下减”，求出平移后的抛物线表达式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可知，抛物线开口向上，，故①正确； 函数抛物线与轴有两个交点，，故②正确； 由函数图象可知，当时，有最小值为，③正确； 由函数图象可知，当时，的值随的值增大而增大，④错误， 正确的有①②③． 【小问3详解】 解：由函数图像可知，二次函数顶点坐标为， 将代入二次函数顶点式， 其中，， 得二次函数顶点式为； 将代入，得， 解得， 二次函数顶点式为， 二次函数向左平移3个单位长度后的顶点式为， ； 再向下平移6个单位长度后的顶点式为， 即； 整理后得， 故平移后的函数表达式为（或）． 21. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒． （1）求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； （2）假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明． 【答案】（1）该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 （2）10月份的销量不能达到5.5万盒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为，根据“某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒”列出一元二次方程，计算即可得解； （2）先求出10月份的销量，再与万盒比较即可得解． 【小问1详解】 解：设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万盒）， ∵， ∴10月份的销量不能达到5.5万盒． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与直线交于点A，C． （1）求点A，点C的坐标； （2）不等式的解集为 ； （3）若点M在y轴上，且，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别令，进行求解即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）由题意易得，设，则，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：令时，则有，解得：，令时，则有； ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知：当时，则x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：当时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴或． 23. 【项目主题】：蒙阴蜜桃礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 蒙阴是“中国蜜桃之都”，某特产公司依托本地特色，推出蒙阴蜜桃礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． （1）【建立模型】根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的 函数（选填“一次”“二次”），y与x之间的函数关系式为 ． （2）【问题解决】若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． （3）【问题解决】若考虑额外费用元，且日均销售利润为1800元，此时销售单价为 元/盒时更惠民． 【答案】（1）一次； （2）日均销售利润w最大值为2250元，对应的销售单价为45元盒 （3）销售单价定为元盒时更惠民 【解析】 【分析】（1）根据表格中x均匀增加时y均匀减少，判定为一次函数，代入两点求解析式； （2）列出利润二次函数，配方求顶点得到最大利润与对应单价； （3）代入列一元二次方程，取较小单价作为惠民价格． 【小问1详解】 解：观察表格，x每增加2，y减少20，是一次函数． 设，将，代入， ， 解得， ，验证其余点均成立． 【小问2详解】 解：单件利润为元， ， 当时，w取得最大值2250． 答：日均销售利润w最大值为2250元，对应的销售单价为45元盒． 【小问3详解】 解：单件利润为元， ， ， ， ∴， 解得，， 惠民选较低单价，取． 答：销售单价定为元盒时更惠民． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期阶段教学质量调研九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） 原方程 甲 乙 丙 丁 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为直线 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，随的增大而增大 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 14. 把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 16. 已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求，两点的坐标． （2）抛物线上点的坐标为，求的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值． 20. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． （3）若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 21. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒． （1）求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； （2）假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与直线交于点A，C． （1）求点A，点C的坐标； （2）不等式的解集为 ； （3）若点M在y轴上，且，求点M的坐标． 23. 【项目主题】：蒙阴蜜桃礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 蒙阴是“中国蜜桃之都”，某特产公司依托本地特色，推出蒙阴蜜桃礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． （1）【建立模型】根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的 函数（选填“一次”“二次”），y与x之间的函数关系式为 ． （2）【问题解决】若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． （3）【问题解决】若考虑额外费用元，且日均销售利润为1800元，此时销售单价为 元/盒时更惠民． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $