精品解析：山东省临沂市蒙阴第三中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期阶段性教学诊断九年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　） A. （﹣6，1） B. （1，6） C. （2，﹣3） D. （3，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点，在反比例函数的图象上求出的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， A、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、，此点在反比例函数图象上，符合题意； C、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键． 2. 一个不透明的盒子中装有5个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】D 【解析】 【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可． 【详解】∵摸到红球是随机事件， ∴选项A不符合题意； ∵摸到白球是随机事件， ∴选项B不符合题意；  ∵红球比白球多， ∴摸到红球比摸到白球的可能性大， ∴选项C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了可能性的大小，以及随机事件的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　） A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长． 【详解】x2-4x+3=0 (x−3)(x−1)=0， x−3=0或x−1=0， 所以x ₁=3,x ₂=1， 当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7， 当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为7． 故答案选B 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆周角定理计算即可； 【详解】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°， ∴∠OAB＝∠OBA＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°， ∴∠C＝∠AOB＝40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确计算是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的一般式，通过配方化为顶点式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴的交点，进而判断各选项的正确性． 【详解】解：A、二次项系数为，故开口向下，选项A正确． B、 ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，选项B正确． C、由B知，对称轴为直线，故选项C错误． D、令，得，故与轴交点为，选项D正确． 故选：C． 8. 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1<y2时，x的取值范围是（ ） A. x<-1或x>1 B. -1<x<0或x>1 C. -1<x<0或0<x<1 D. x<-1或0<x<1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为−1， ∵由函数图象可知，当x<-1或0<x<1，时函数y1<y2， ∴当y1<y2时，x的取值范围是x<-1或0<x<1. 故选D. 【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能根据数形结合求出y1<y2时x的取值范围是解答此题的关键． 9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A. 4或5 B. 4或7 C. 4或5或7 D. 4或7或9 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm， ∴AB=2BC=8cm， ∵D为BC中点， ∴BD=2cm， ∵0≤t＜12， ∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点， 按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况， ①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm， 当∠EDB=90°时，则有AC∥ED， ∵D为BC中点， ∴E为AB中点， 此时AE=4cm，可得t=4； 当∠DEB=90°时， ∵∠DEB=∠C，∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴，即， 解得t=7； ②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9； 综上可知t的值为4或7或9， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路． 10. 如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（ ） A. ② B. 均不正确 C. ①② D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①不正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②正确， 故选：A． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． 【答案】-2 【解析】 【详解】解：因为反比例函数，且矩形OABC的面积为2，所以|k|=2，即k=±2，又反比例函数的图象在第二象限内，k＜0，所以k=﹣2．故答案为﹣2． 12. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______ 【答案】18. 【解析】 【详解】∵在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵， ∴， ∴． 故选：18． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．熟记相关结论是关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为： 14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间（秒）之间的关系式为，那么小球抛出___________秒后达到最高点． 【答案】3 【解析】 【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出的顶点坐标即可． 【详解】解： ， ∵， ∴图象的开口向下，有最大值， 当时，h的最大值； 即小球抛出3秒后达到最高点． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，注意利用配方法解决问题． 15. 某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为， 今年的投资金额为：， 明年的投资金额为：， 所以根据题意可得出的方程：． 解得：（不合题意，舍去）， 则的值为， 故答案为：． 16. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可． 【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共7题，72分，解题过程要有必要的文字说明和验算步骤） 17. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的解法——因式分解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）根据十字相乘法因式分解，化为一元一次方程，即可得出方程的解； （2）先进行移项，然后提取公因式，化为一元一次方程，即可得出方程的解． 【详解】解：（1）， ， 故或， 解得：，； （2）， ， ， 或 解得：， 18. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C． （1）求双曲线与直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由AB关于原点对称得到B点坐标，由BC⊥x轴，垂足为C，确定出点C坐标，将A、C代入一次函数解析式即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解. 【详解】将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得a=-2， 所以A（-2,2）， 将A（-2,2）代入双曲线， 得k=-4， ∴， ∵ ， ， ，， 解得， ∴； （2） 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________． （2）这个圆的半径为________． （3）直接判断点与⊙的位置关系，点在⊙________（填“内”“外”或“上”）． （4）求弧长度． 【答案】（1） （2） （3）外 （4） 【解析】 【分析】（1）垂直平分线的交点即是圆心，由图可确定其坐标； （2）由勾股定理即可求解； （3）计算出，并与半径的平方比较即可作出判断； （4）求出，可判断出是直角三角形，由弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，垂直平分线的交点即是圆心M，且点M的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 即圆的半径为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 而， 所以点D在圆外， 故答案为：外； 【小问4详解】 解：， 而， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，点与圆的位置关系，确定弧所在圆的圆心，求弧长等知识，熟悉这些知识是关键． 21. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若．则的度数为 ； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）旋转得到，利用三角形的内角和定理以及等边对等角进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，求出的长，旋转得到，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【小问1详解】 解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； 【小问2详解】 解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段性教学诊断九年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　） A. （﹣6，1） B. （1，6） C. （2，﹣3） D. （3，﹣2） 2. 一个不透明的盒子中装有5个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　） A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点是 8. 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1<y2时，x的取值范围是（ ） A. x<-1或x>1 B. -1<x<0或x>1 C. -1<x<0或0<x<1 D. x<-1或0<x<1 9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A. 4或5 B. 4或7 C. 4或5或7 D. 4或7或9 10. 如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（ ） A. ② B. 均不正确 C. ①② D. ① 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． 12. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______ 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间（秒）之间的关系式为，那么小球抛出___________秒后达到最高点． 15. 某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为，则的值为_______． 16. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________． 三、解答题（共7题，72分，解题过程要有必要的文字说明和验算步骤） 17. （1）解方程： （2）解方程： 18. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C． （1）求双曲线与直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________． （2）这个圆的半径为________． （3）直接判断点与⊙的位置关系，点在⊙________（填“内”“外”或“上”）． （4）求弧长度． 21. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若．则的度数为 ； （2）若，求的长． 22. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $