精品解析：甘肃武威市天祝藏族自治县第一中学2026-2027学年高二第一学期第一阶段考试数学试题

2026～2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角． 【详解】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为， 故选：C． 2. 已知，则下列向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B. 3. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，， 可知，解得. 故选：C 5. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案. 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到， 则， 设，若点与点共面， 则， 只有选项中符合题意. 故选：. 6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接， 在中，因为是的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C. 不能表示过点且斜率为的直线方程 D. 设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率及斜率坐标运算逐项分析判断即得. 【详解】对于A，任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率，A正确； 对于B，若直线的斜率为，此时的倾斜角为，B错误； 对于C，由，得不能表示经过点的方程，C正确； 对于D，直线过定点，直线的斜率，直线的斜率， 依题意，或，解得或，D错误. 故选：AC. 10. 已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. C. 点到直线的最大距离为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】使用直线与圆的几何法求弦长，点到直线的距离公式，勾股定理求解. 【详解】∵圆的方程为，其圆心坐标为，故A错误； 圆心到直线的距离，故B正确； 点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径之和，即，故C正确； ∵在中，，则，故D错误，故选BC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 的周长的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面，结合锥体体积公式判断A；利用直线与圆的位置关系判断B；利用对称求出最小值判断C；利用线面角的定义求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，则，又， 则，而平面，平面，因此平面，又直线， 则点P到平面的距离为定值，面积为定值，因此为定值，A正确； 对于B，在矩形中，，则与以为直径的圆相离， 点在此圆外，因此，B错误； 对于C，，在等腰梯形中，作点F关于的对称点， 连接交于点P，此时取得最小值长，， ，，因此的周长的最小值为，C正确； 对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角， 则，而正的边长为，因此的最小值为的高， 即，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 分直线过原点不不过原点两种情况，当直线过原点时，设直线方程是，当直线不过原点时，这直线. 【详解】当直线过于原点时，设直线，代入点，得， 所以直线方程是，即， 当直线不过原点时，设直线方程，代入点，得，解得， 所以直线方程是. 故答案为：或 13. 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案. 【详解】因为，，三个向量共面，所以设，即， 所以，解得， 故答案为：5. 14. 已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案. 【详解】 由已知可得，圆的圆心，半径，且有. 则圆心到直线：的距离. 又直线方程可化为，可知，， 所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离. 由题意易知，则，， 所以有，即，所以. 又，，所以，，所以. 所以圆心到直线的距离， 所以，直线与圆总相交， 又，所以被圆截得的弦长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是，为的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的方程是， 即. 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为， 即， 设其与轴交点为，与轴交点为，令，得，令，得， 所以，所以， 故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 16. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求直线DE，BF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图连 ∵几何体为正方体， ∴， ∴EF∥BD ∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， DE，BF所成角的余弦值为 17. 已知点在圆上，直线平分圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由弦的中垂线过圆心，求出圆心坐标，圆上的点到圆心距离为半径，得出圆的标准方程； （2）分直线斜率存在与不存在，利用圆心到直线距离等于半径，求切线方程. 【小问1详解】 点在圆上，且直线平分圆， 线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心， 线段的中点坐标为，斜率， 则线段的中垂线方程为：，即， 由，解得，即圆心坐标为， 圆'C的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过点且与圆相切的直线， ①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切， ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 有，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数先证，记，连接，再证平面，得，由线线垂直即可推得线面垂直； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得；② 分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若，求直线的斜率； （3）若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，最后根据三角形面积公式求解； （2）设直线的斜率为，运用点斜式得出直线方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合已知条件构造方程求解； （3）设直线的斜率为，运用点斜式得出直线方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合已知条件求解． 【小问1详解】 直线过点，斜率为， 直线的方程为：，一般式方程为：， 圆是以为圆心，半径的圆， 圆心到直线的距离， 弦长， 的面积． 【小问2详解】 ，设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，则，根据韦达定理得： ， ， ， ， 即，化简得，解得， 直线的斜率为． 【小问3详解】 设直线的斜率为，则直线方程为， 联立圆的方程得， 设点，根据韦达定理得： ， ，，的斜率分别为，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 3. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 5. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C. 不能表示过点且斜率为的直线方程 D. 设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 10. 已知直线与圆相交于两点，是圆上一动点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. C. 点到直线的最大距离为 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 的周长的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 13. 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 14. 已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是，为的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求直线DE，BF所成角的余弦值． 17. 已知点在圆上，直线平分圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知圆 ，过点的直线与圆交于，两点． （1）若直线的斜率为，求的面积； （2）若，求直线的斜率； （3）若，记直线，的斜率分别为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $