精品解析：北京市第二中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026北京二中高三10月月考 数学 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共小题，每小题分，共分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故选：D 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 6. 设点不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵三点不共线， ∴，即， 可得，得， 所以与的夹角为锐角. 故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想. 7. 已知等差数列的前项和为，，，.记，则的值为（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，利用前项和公式可得，，进而可求得的值. 【详解】在等差数列中，，，. 可得， 因为，所以， ， 又，所以， 所以的值为. 故选：B. 8. 如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，用表示出，得到关于的函数，根据的范围计算函数的值域得出答案. 【详解】解：由题意可知，, , 设，则，， 所以 ， 因为， 所以当时，取最小值，当时，取最大值4， 所以的取值范围是， 故选：B 【点睛】此题考查平面向量基本定理，数量积运算，属于中档题. 9. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，点是点在平面上的投影，点为的重心.若空间中的点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得的轨迹是过且与平面平行的平面，可得，求解即可. 【详解】因为点是点在平面上的投影，所以平面， 所以平面，所以， 又空间中的点满足，所以的轨迹是过且与垂直的平面， 又为的重心，所以，所以的最小值为， 又正三棱锥的六条棱长均为6，则， 所以，所以的最小值为. 故选：C. 10. 已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的单调性，可得对称点分别位于与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数得到，再构造函数，由此得解. 【详解】因为， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 又的图象上存在关于y轴对称的两点， 所以这两个对称点分别位于与的图象上； 设在的图象上，则在函数的图象上，且， 故有，即， 进而； 设，则， 又恒成立，故在上单调递增， 所以，即， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 故，则，于是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将转化为，从而构造了函数，由此得解. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知向量，，.若()，则实数______. 【答案】## 【解析】 【详解】已知，，所以， 因为且，所以， 整理得， 解得． 12. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，取最小值为. 【点睛】函数的性质 （1）. （2）周期 （3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足， （4）由求增区间；由求减区间. 13. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 【答案】 ①. 23 ②. 57.5## 【解析】 【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度. 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息链上每个节点处的信息强度，数列模型：()，描述了这两组相邻影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有； ④，使得当时，总有. 其中，所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过对递推式作差得到为常值，结合数列的单调性分析各结论是否成立． 【详解】验证结论①：将两递推式作差得， 故为常数列，即，因此，所以①正确； 验证结论②：由递推式得，， 因为为正实数数列，故，因此，所以②正确； 验证结论③：，其中为正的常数，由②知是严格递增的正数列， 由递推式由①已证 ，所以 逐项代入： 因此，因为，所以当时， 所以时，故， 因此，当时，总有，所以③正确； 验证结论④：由得，当时， 故，不可能小于，所以④错误． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明 16. 如图，在中，为边上一点，． （1）求的大小； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中已知三边，直接用余弦定理算出，再结合内角范围求解； （2）利用两组角相等推出，借助相似三角形对应边成比例求出解． 【小问1详解】 由余弦定理， 在三角形中，， 故． 【小问2详解】 已知，是和的公共角， 则， 故，则． 17. 为迎接“十一长假”的到来，某商场开展一项促销活动.凡在商场消费金额满元的顾客可以免费抽奖一次.抽奖规则如下：不透明箱子中装有除颜色外其它都相同的个小球，其中红球个，白球个，黄球个；顾客从箱子中依次不放回地摸出个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的个球的颜色分成以下四种情况： 个红球个白球 个红球 个白球 至少一个黄球 若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖； （1）求顾客在某次抽奖中，两次都摸到红球的概率； （2）求顾客分别获一、二等奖时对应的概率； （3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立，记中奖的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）一等奖概率为，二等奖概率为 （3）X的分布列为： 期望 【解析】 【小问1详解】 第一次摸到红球概率为，第二次摸到红球概率为，则所求的概率为. 【小问2详解】 ， ， ， ， 因此一等奖概率为，二等奖概率为. 【小问3详解】 顾客抽奖一次获奖的概率为， 则，， ， ， ， . 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，O是AB的中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明:因为，O是AB的中点，故， 而平面平面，平面，平面平面， 故平面，而平面，故. 在中，，故，同理. 在直角梯形中，， 故即，而， 故平面. （2） （3）在侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可得平面，从而可得，又可证，从而可证平面. （2）可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后再求出它们的夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. （3）设，则可求的坐标，再求出平面的法向量后可求的值，从而可得的值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面中，过作，则， 而由（1）可得平面，而平面，故， 故可建立如图所示的内角直角坐标系，其中轴在上， 则 故， 设平面的法向量为， 则 ，故，取，则， 故， 设平面的法向量为，而， 故，则，取，故，故. 故，而二面角C-PD-O的平面角为锐角， 故二面角C-PD-O的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 设，则，故， 故. 若平面POD，则，故即， 故在侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时. 19. 已知椭圆C经过点，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均与P不重合），证明：直线，的斜率之和为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程，将两点的坐标代入，解方程组可得答案; （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，由直线，的斜率之和得到关系式，将根与系数的关系式代入化简，可得答案. 【小问1详解】 设椭圆方程为（m，且）， 由题意得 解得，， 故椭圆C的标准方程是． 【小问2详解】 证明：当直线l的斜率不存在时，M，N为椭圆的上下顶点，即为， 则; 当直线l的斜率存在时，设l的方程为． 联立 消去y并整理，得， 则，得， 设，，则，， 所以 , 说明：由知，；若，则，． 点M，N的横坐标满足方程，即， 即． 故M，N中一点的坐标为，与题设条件矛盾，故． 综上，直线，的斜率之和为定值． 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆的位置关系中的定值问题，解答时需要思路清晰，计算准确，因此解答的关键就在于计算直线，的斜率之和时的运算，要十分细心. 20. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：在区间上单调递增； （3）设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）证明：， ，， 令，， ，，在区间上单调递增， ，，在区间上单调递减， ， ， 在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求切点坐标，切线斜率，写出切线方程； （2）求导，利用放缩法判断导函数符号，得出结论； （3）求的表达式及导函数，变形转化为的零点，求导分析单调性，结合零点存在性定理求的取值范围 【小问1详解】 当时，， ， ，， 切线方程为，即. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ， ， 令， 有两个不同的零点等价于有两个不同的零点， ， 令， ， 则在上单调递减，， ，，，在区间上单调递增， ，，，在区间上单调递减， ， 要使有两个不同的零点，，； ，，，， 则， 所以的取值范围为. 21. 对于三维向量，定义“”变换：，其中，.记，. （1）若，求及； （2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； （3）已知，，将再经过次变换后，最小，求的最小值. 【答案】（1）；. （2）设, 假设对任意，，则，，均不为. 经过一次“变换”后，. 所以，即 又因为，所以. 所以，这与矛盾，故假设不正确. 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使. （3）505 【解析】 【分析】（1）直接按照“F变换”规则逐步计算和，再根据和的定义求解； （2）采用反证法，通过分析变换过程中的变化情况来证明； （3）先根据已知条件求出和的值，再分析每次“F变换”后向量模长的变化规律，从而确定的最小值. 【小问1详解】 已知，根据“F变换”规则，其中，，， 可得， ， 根据，可得； 根据，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，因为，所以有或. 当时，可得，三式相加得. 又因为，将代入可得，解得，. 当时，同理可得，，于是 设的三个分量为，，这三个数. 当时，的三个分量为，，这三个数，所以. 当时，的三个分量为，，，则的三个分量为，，， 而的三个分量为，，，所以. 因为，所以由可得. 因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于. 所以的三个分量只能是，，三个数，的三个分量只能是，，三个数. 所以当时，；当时，，则 的最小值为505. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京二中高三10月月考 数学 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共小题，每小题分，共分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设点不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列的前项和为，，，.记，则的值为（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 8. 如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，点是点在平面上的投影，点为的重心.若空间中的点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知向量，，.若()，则实数______. 12. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 13. 设，则的最小值为_________． 14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息链上每个节点处的信息强度，数列模型：()，描述了这两组相邻影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有； ④，使得当时，总有. 其中，所有正确结论的序号是______. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明 16. 如图，在中，为边上一点，． （1）求的大小； （2）求线段的长． 17. 为迎接“十一长假”的到来，某商场开展一项促销活动.凡在商场消费金额满元的顾客可以免费抽奖一次.抽奖规则如下：不透明箱子中装有除颜色外其它都相同的个小球，其中红球个，白球个，黄球个；顾客从箱子中依次不放回地摸出个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的个球的颜色分成以下四种情况： 个红球个白球 个红球 个白球 至少一个黄球 若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖； （1）求顾客在某次抽奖中，两次都摸到红球的概率； （2）求顾客分别获一、二等奖时对应的概率； （3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立，记中奖的人数为，求的分布列和期望. 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，O是AB的中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 19. 已知椭圆C经过点，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均与P不重合），证明：直线，的斜率之和为定值． 20. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：在区间上单调递增； （3）设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 21. 对于三维向量，定义“”变换：，其中，.记，. （1）若，求及； （2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； （3）已知，，将再经过次变换后，最小，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $