精品解析：河南开封市名校2027届高三上学期联考模拟预测数学试题

河南开封市名校2027届高三上学期联考模拟预测数学试题 （120分钟 150分） 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵全集，集合， ∴. 2. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 3. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，则. 4. 已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合数量积定义，将展开求解即可. 【详解】. 5. 在中，，，，为的中点，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表示，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦值即为所求. 【详解】由，，可得， 因为为的中点，所以， 则， 即，， 因为，所以， 则， 即，， 且， 因此，. 故选：C. 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用二倍角公式及诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 7. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再通过判断两个解集之间的包含关系，确定条件类型. 【详解】由，得， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：C. 8. 已知椭圆的焦距为是上的任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为.若当最大时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线性质可得垂直关系，进而根据锐角三角函数得，即可求解为短轴端点时，最小，根据三角形边角关系即可求解，进而根据齐次式即可求解离心率. 【详解】设坐标原点为，由题意知，，故. 因为，当最大时，最大， 即最大，故只需最小， 当为短轴端点时，最小，此时，， 所以，所以，即， 化简得，得，故. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（ ） 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③. 参考数据：，，，. A. y关于x的线性回归方程为： B. 相关系数（小数点后保留两位） C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B. 【详解】计算均值： ， ， 选项A：根据公式，  ，  线性回归方程为，A正确； 选项B：相关系数，B正确； 选项C：代入回归方程： ，预测月销售量为千件，不是千件，C错误； 选项D：时， ，残差 ，D正确. 11. 已知实数m，n满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即，构造函数，利用其单调性和函数值确定，进而等量代换将双未知量变为单未知量，即可一一求解. 【详解】由可得，， 即，则有， 也即， 设函数，则， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 且当时，；当时，； 因为，所以， 即，所以，即，A正确； ，B错误； 设，在恒成立， 且， 所以存在唯一使得， 由可得，，所以， ，设在上单调递增， 所以， 所以，C正确； ， 设，， 令，， 易得函数在单调递增，且， 所以函数在单调递减， 且，所以恒成立， 所以单调递增， 所以，即， 所以正确，故D正确； 故选:ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用同构思想，将原等式化为，进而构造函数，利用单调性和函数值确定，进而利用等量代换，即可求解. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由， 所以． 13. 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是 ___________ ． 【答案】20或180 【解析】 【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可 【详解】设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，， 则这个数列的第1项是20或180 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】甲若抽到数字6，则构成的最大三位数一定大于乙；甲若没抽到 6，那么甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，此时可由对称性求概率. 【详解】由题意得甲从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 乙从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 情况一：甲抽到数字， 甲抽到6的抽法数为， 此时甲构成的最大三位数的百位一定是，而乙构成的最大三位数最大只能是， 所以一定有 故这种情况下不符合题意； 此时 情况二：甲没有抽到数字 ， 甲没有抽到 6 的抽法数也为， 这时甲实际上也是从集合中抽取 3 个不同元素，与乙的抽法范围完全相同， 因此，甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，且地位对称， 所以在这种情况下： 又因为共有10个不同的最大三位数，故 于是 综上情况一和情况二，可得： 故甲获胜的概率为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 【答案】（1） （2）由（1）知，因为，所以， 由及， 得， 所以， 所以， 由余弦定理，得 ，即， 所以，解得， 整理得 ，又，所以为等边三角形， 又，所以． 【解析】 【小问1详解】 由及，得； 由正弦定理，得， 所以，又，所以． 【小问2详解】 略 16. 为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． （2）小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验计算值，再判断即可； （2）由题可知的可能取值为，再利用独立事件乘法公式得到对应概率，列出分布列求出期望即可. 【小问1详解】 零假设为：大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 . 17. 已知是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在平面直角坐标系中，已知点，定义点（其中），记． （i）求的值； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由题意可知：，则， 先证明以下结论：． 因为， 且，所以， 故． 因为，则，原式得证． 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）（i）由题知，，则，再利用和差公式求值即可；（ii）先证，即，，求出即可证明． 【小问1详解】 时，， 时，，化简得：， 经检验得，时也满足， 故． 【小问2详解】 （i）由题意：，则， 所以，即． （ii）略 18. 已知椭圆（），为轴上的一点，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点． （1）若，且，求椭圆的离心率； （2）若且，，是上两个不同的点（，，不共线），求的最大值； （3）设经过点的直线交椭圆于，两点（点，均在轴上方），若对于任意的，都存在直线，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件求出，即得椭圆的离心率； （2）结合条件判断当与椭圆相切时，最大，设切线方程，将其与椭圆方程联立，根据判别式等于零求得，再利用到角公式计算即得； （3）设，与椭圆方程联立，由推得，根据向量数量积的坐标公式化简计算，推得存在，使得成立，即得代入，得对恒成立，求解不等式，即得参数的取值范围. 【小问1详解】 因，则，则，， 则椭圆的离心率为； 【小问2详解】 因，则， 此时，在椭圆的外部，显然当与椭圆相切时，最大. 设过点的直线方程为，将其与联立，消去，得， 由化简得，因，代入解得， 即直线的斜率分别为，由到角公式可得，则， 故的最大值为； 【小问3详解】 依题意设，代入，消去， 整理得， 由化简得①. 设，则（*）， ， 将（*）代入，化简得， 依题意，存在，使得②成立， 因恒成立，故只需对恒成立， 则恒成立. 此外，还需满足①式，由②得，将其代入①， 整理得：对恒成立，因， 则，即，解得，因，则， 因点，均在轴上方， 则对恒成立（当时取，当时取均能保证为正数）， 则. 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【小问1详解】 因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 ①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南开封市名校2027届高三上学期联考模拟预测数学试题 （120分钟 150分） 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 3. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 5. 在中，，，，为的中点，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知椭圆的焦距为是上的任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为.若当最大时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（ ） 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③. 参考数据：，，，. A. y关于x的线性回归方程为： B. 相关系数（小数点后保留两位） C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 11. 已知实数m，n满足，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，且，则________． 13. 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是 ___________ ． 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 16. 为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． （2）小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 17. 已知是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在平面直角坐标系中，已知点，定义点（其中），记． （i）求的值； （ii）证明：． 18. 已知椭圆（），为轴上的一点，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点． （1）若，且，求椭圆的离心率； （2）若且，，是上两个不同的点（，，不共线），求的最大值； （3）设经过点的直线交椭圆于，两点（点，均在轴上方），若对于任意的，都存在直线，使得，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $