精品解析：江苏省无锡市洛社高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年秋学期10月阶段性测试 高三数学试卷 一､单选题：本题共B小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为平面向量，且， 所以，解得. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求出集合，再利用集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，根据正弦函数的性质，可知的值域为，所以， 又因为集合，所以，故B正确. 3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判定是单调递增的奇函数，由条件推出，再用乘1法结合基本不等式求出的最小值． 【详解】函数定义域为， ，故函数是奇函数； 求导得，故函数在上单调递增； 已知，则， 由单调性可知，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 4. 已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式结合倍角根式整理得，两边平方运算求解即可. 【详解】因为， 则， 可得， 又因为，则，可知， 可得，两边平方可得， 所以. 故选：D. 5. 若函数在与直线有四个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分段，写出函数在每段的函数表达式，然后再画图，数形结合即可得到答案. 【详解】已知函数，， 当时，，此时；当时，，此时； 由正弦的图像可知，的图像如下图所示： 由于函数在与直线有四个交点，所以由图可知，，即， 因此，的取值范围为，故B正确. 6. 在中，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断是否能推出，再判断能否推出即可求解. 【详解】由，，所以，所以，所以， 所以，即， 由有，由余弦定理有，即，又， 所以，所以，， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 7. 若满足，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】就、结合函数的单调性分类讨论后可求参数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】当时，在上为减函数， 故，当时，有，符合题意； 当时，在上为增函数，在上为增函数， 当时即时，的图象如图所示： 则存在，且， 综上，， 故选：C. 8. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数，的定义域均为， 设，则点关于轴的对称点为， 依题意，方程组有解，即方程组有解， 因此方程有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，由有解得， 所以的最大值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于原点对称 C. 是函数的极大值点 D. 当时，函数值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将代入计算即可；对于B，化简整理后利用奇函数的定义进行判断；对于C，求导分析得到的单调性，再结合极值的定义进行判断；对于D，根据C选项中得出的单调区间，代端点确定最大值最小值即可. 【详解】对于A，由得， ， 所以，故A正确； 对于B，由题意得，， 函数， ， ，所以图象不关于原点对称，故选项B错误； 对于C，由得， ， 当时，，，， 当时，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，选项C正确； 对于D，由C选项可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为， ， ， 所以，， 即函数值域为，故选项D错误. 10. 已知的三个内角分别为在线段上，且满足平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，由正弦定理得直接代入变形求解判断即可；对于B选项，结合A选项，代入整理得，求得即可判断；对于C选项，结合B选项，求得，，，再结合正弦定理求解判断；对于D选项，根据角平分线公式求解判断即可. 【详解】对于A选项，由正弦定理得得，整理得，故正确； 对于B选项，结合，代入得， 展开得，整理得，所以，故错误； 对于C选项，由B选项知，，，故， 因为，，，， 所以，由正弦定理得，故正确 对于D选项，因为平分，所以， 因为，，， 所以，即， 代入数据得，故正确. 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可． B．判断当时，函数的单调性即可． C．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解． D．利用两点间的距离公式进行判断求解． 【详解】当，时，函数. A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误； B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确； C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为， 所以“囧点”为， 设，则，设切点为，， 切线的斜率， 当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短， ， 解得， 切点坐标为， 故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确， D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值； 当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中， 则点到圆心的距离的平方为， 令，，则， 再令，（其中， 则， 所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为． 又， 综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为． 故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】 本题主要考查抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，利用函数的奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直可得向量的数量积为零，结合向量的模联立计算即可. 【详解】因为，， 所以，即， 因为，所以， 联立，解得. 13. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有1个最高点，则实数的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象过点求得，再整体求得的范围，转化为函数在上恰有1个最高点，最后根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为的图象经过点， 所以，即，又，所以 所以 又因为，令，则， 因为在上恰有1个最高点， 所以函数在上恰有1个最高点， 所以，，解得，即实数的取值范围为. 所以，实数的最小值为. 14. 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案. 【详解】根据正弦定理， 将转化为 即，又因为锐角，所以. 所以 因为是锐角三角形， 所以，所以，得， 所以 故的取值范围是. 【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题. 四､解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，可求得的值，即可得解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得， 即， 由，得，因为，所以. 【小问2详解】 解：由，，得，解得， 由，即，即. 由，得， 故，所以的周长为. 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 17. 是边长为6的正三角形，动直线分别与线段交于（其中始终落在线段上）．设． （1）当时，用基底表示向量； （2）若动直线过的重心（其中不与的顶点重合），求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出长度，结合三角形内角与正弦定理求出长度，再用向量减法将表示为基底的线性组合； （2） 设的系数，由三点共线推出系数关系，代入面积公式，用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 由得，故， 在中，，故， 由正弦定理，得， 又，故， 故． 【小问2详解】 设，则， 正三角形的重心满足， 由三点共线，存在实数使得，代入得： ，则，整理得， 则， 令，则，代入得： ， 当且仅当即时取等号，此时，符合条件， 故． 18. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间； （3）根据题意，把不等式转化为恒成立，令，得到对任意恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 可得，且， 所以切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解：由函数，可得其定义域为， 且， 当时，可得恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上可得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 解：函数， 由不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，其中，原不等式即为对任意恒成立， 令，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，当时，取得最小值，最小值为， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． （1）判断函数和是否为“契合函数”； （2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； （3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 【答案】（1）与为“契合函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“契合函数”的定义直接求解即可； （2）构造函数，由于与不为“契合函数，则可将原问题转化为在上无零点，结合导数知识以及参变分离的思想分在上恒成立与若在上恒成立两种情况进行讨论即可求得a的取值范围； （3）令，结合“契合函数”的定义，将原问题转化为在上存在零点，利用导数知识即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 根据定义，若与为“契合函数”，则在公共定义域内有解． 又， 所以，即，解得， 所以与为“契合函数”． 【小问2详解】 令， 因为与不为“契合函数，又为上的连续函数， 所以在上无零点，即恒为负或恒为正． 若在上恒成立，取，则，即， 又当时，， 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，与假设矛盾， 所以不存在使得在上恒成立． 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 令，则， 因为与在上为“契合函数”，所以在上存在零点， 即在上存在零点．又因为， 当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当时，；当时，； 又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上为“契合函数”． 综上，的取值范围是． 【点睛】对于函数新定义问题，重要的是读懂定义.不等式恒成立求参数的问题，一般情况下会优先考虑参变分离，参变分离无法求解时才会考虑含参讨论的方法，最重要的是熟记导数的方法研究函数单调性，最值等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋学期10月阶段性测试 高三数学试卷 一､单选题：本题共B小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 4. 已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 5. 若函数在与直线有四个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若满足，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于原点对称 C. 是函数的极大值点 D. 当时，函数值域为 10. 已知的三个内角分别为在线段上，且满足平分，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，且，则________． 13. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有1个最高点，则实数的最小值为_________. 14. 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 17. 是边长为6的正三角形，动直线分别与线段交于（其中始终落在线段上）．设． （1）当时，用基底表示向量； （2）若动直线过的重心（其中不与的顶点重合），求面积的最小值． 18. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． （1）判断函数和是否为“契合函数”； （2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； （3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $