精品解析：山东淄博市张店区淄博张店区第七中学2026-2027学年九年级上学期数学阶段性测试 （2026.10）

初四数学学情调研 （10月） 一、选择题（共10小题） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 6. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 8. 某一函数图像如图所示，根据图像下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值4 B. 当时， C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 9. 门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜，其中，正确结论的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（共5小题） 11. 函数有意义，则自变量的取值范围是__________． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围为________． 13. 如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点D，则______. 14. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 15. 如图，在中，，为中点，点在线段上，，，，则线段的长为______． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，，求的长． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x …… -3 -2 -1 0 1 …… y …… 0 -3 -4 -3 0 …… （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当-3<x<1时，直接写出y的取值范围． 19. 将一副直角三角板如图所示放置，点在同一直线上，，，若，求的长． 20. 如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 21. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： （2）描点并画出函数的图象； （3）根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 22. 手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. （1）的度数为______. （2），两地的距离为______千米.（结果保留根号） （3）嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） （4）嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学学情调研 （10月） 一、选择题（共10小题） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2. 下列各图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的定义：当自变量取一个确定的值时，有唯一一个变量与之对应，则称是的函数，根据函数的定义判断即可． 【详解】解：A选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，有唯一一个变量与之对应，是的函数，故A选项符合题意； B选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，可能有两个变量与之对应，不是的函数，故B选项不符合题意； C选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，可能有两个变量与之对应，不是的函数，故C选项不符合题意； D选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，可能有多个变量与之对应，不是的函数，故D选项不符合题意． 3. 已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 4. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 6. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 7. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时，随的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 8. 某一函数图像如图所示，根据图像下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值4 B. 当时， C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由图像可得，当时，y有最大值4，故本选项错误； B、由图像可得，当时，，故本选项错误； C、由图像可得，当时，，故本选项错误； D、由图像可得，当时，图像从左到右上升，即随的增大而增大，故本选项正确． 9. 门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜，其中，正确结论的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图表信息可知图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），依据对称轴以及与系数的关系分析即可. 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2）， ∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2， ∴a＞0，b＜0， ∴函数图象的顶点在第四象限内； ∴①正确； ②根据二次函数的对称性可知： （﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t）， 即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根， ∴②正确； ③∵对称轴为直线x＝ ∴﹣＝， ∴b＝﹣a， ∵当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0， ∴a﹣b﹣2＞0，即a+﹣2＞0，∴a＞． ∵对称轴为直线x＝，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n）， ∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4，∵a＞． ∴4a﹣4， ∴③错误． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质及其图像性质，利用性质特征求出对称轴，顶点结合二次方程的根判断交点情况等. 二、填空题（共5小题） 11. 函数有意义，则自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】函数同时包含二次根式和分式，需分别满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：二次根式的被开方数需非负，分式的分母不能为0， 要使函数有意义，可列出不等式组 ， 解得且． 自变量的取值范围是且． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 13. 如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点D，则______. 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建系，由格点确定坐标，求出直线的解析式，得到点的坐标，利用三角形面积公式求出边上的高，再用勾股定理求出，进而得到，由正切定义得． 【详解】解：如图，以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，过点作，垂足为， 则，，， ， 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 14. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式等于，列方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得． 15. 如图，在中，，为中点，点在线段上，，，，则线段的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．解题的关键在于合理的添加辅助线证得，． 过点作交的延长线于点，设，则，，，进而可得，可知，，根据，设，则，则， 进而的，得，由勾股定理可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 设，则，，， ∴， ∴，， 在中，， 设，则，则， ∵为中点，则， ∴， ∴， 在中，，，则， 则， 则， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入式子，先算乘法，再算加法，求出最终结果； （2）代入特殊角三角函数值，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 17. 如图，在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键．过点作交于点，设，求出，根据，则，列出方程求出的值，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作交于点， ∴，在中，， ∴设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x …… -3 -2 -1 0 1 …… y …… 0 -3 -4 -3 0 …… （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当-3<x<1时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）； （2）由表格可描出与x ，y的交点，顶点，对称轴，如图所示： （3）-4≤y<0 【解析】 【分析】（1）由表格可设二次函数的解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）由（2）中的图像可直接进行求解． 【详解】解：（1）由表格可设， 将（0，-3）代入得，解得：， ∴二次函数的表达式是； (2)略 （3）由（2）中图像可得： 当-3<x<1时，y的取值范围是-4≤y<0． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 19. 将一副直角三角板如图所示放置，点在同一直线上，，，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BH⊥FD于点H，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案． 【详解】解：如图，作于点 在中，，， ， 又在中，， ， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度一般，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 20. 如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 21. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： （2）描点并画出函数的图象； （3）根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 【答案】（1）列表如下： （2）描点、连线、画函数图象如下： （3）（）或；（）①；②或 【解析】 【分析】（）根据函数解析式计算即可； （）描点、连线、画函数图象即可； （）（）根据函数图象解答即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②当时，可知直线与函数的图象恰好有个交点；当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点，利用求出的值即可求解； 本题考查了画二次函数图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（）如图， 由图象可知，当或时，函数， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； （）①如图，设直线的解析式为，由表格可知点 ，， 把 和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②把代入，得， ∴点在直线上， 由函数图象可知，此时直线与函数的图象恰好有个交点， 即； 由图象可知，直线只有向上平移才能与函数的图象恰好有个交点， ∴平移后的直线解析式为， 由，得， 当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点， 此时， 解得； 综上，当或时，直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点． 22. 手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. （1）的度数为______. （2），两地的距离为______千米.（结果保留根号） （3）嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） （4）嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】（1） （2）千米 （3）①米；②约米 （4）米 【解析】 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【小问1详解】 解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． 【小问2详解】 解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． 【小问3详解】 ①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． 【小问4详解】 解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 【答案】（1）．点的坐标为 （2）①；②点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）将和点代入即可求解； （2）①过点作，垂足为点．求出，根据等腰直角三角形的性质可得，则，根据正切函数的定义即可求解； ②过点作轴，垂足为点．可证出，根据正切函数的定义以及二次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入得， ，解得， 该抛物线的表达式为． 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 ①连接，过点作，垂足为点． 在上， ，， ，， ，，， ， ． ， ； ②由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点． ， ， ． ， 设，则，． ， 将代入，得， 解得或0（舍去）， 点的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法以及锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $