精品解析：宁夏回族自治区银川北塔中学2026-2027学年第一学期 九年级第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期银川北塔中学九年级第一次月考考试数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 下列结论中，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若（b﹣d≠0），则 D. 若，则a＝3，b＝4 5. 如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为  （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 由下表的对应关系可知一元二次方程 （为常数，）的一个根的十分位上的数字是_______． 10. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为__________． 11. 如图，在中，，，，，，则_____________ 12. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 13. 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则＋＝_______． 14. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____． 15. 电影我和我的祖国讲述了普通人与国家之间息息相关、密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，接下来连续两天累计票房收入达亿元，则票房增长率为____． 16. 对于一元二次方程（为常数，且，有下列说法：若，则方程必有一根为当时，方程至少有一个根为若，则方程无实数根；若方程的两个根互为相反数，则其中正确结论是__________________． 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知，，是的三边长，且． （1）求的值； （2）若，且，且的周长为，求的周长． 19. 如图，在和中，，，，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． （1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 21. 如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在的边上找一点，使．(不写作法，保留作图痕迹) （2）求的度数． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；每辆汽车的售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为万元，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求的长． 25. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽的两种不同构图方法．下面以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形．    材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形．   问题解决 （1）任务一：材料一中，大正方形面积可以表示为（_______________）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_______________，故可得到方程（_________________）_______________； （2）任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______________）_____________； （3）任务三：请通过以上述其中一种构造图形的方法来解方程的正根．（在图上标出相应的线段长度） 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，点C坐标为，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）平面内存在点D，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标； （3）直线在点右侧部分上有一点，过点作直线轴交于点，连接，是否存在点使得与相似，若存在请求出M点坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2026-2027学年第一学期银川北塔中学九年级第一次月考考试数学试 卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺 术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是() 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例 是解题的关键 根据图形相似的概念进行判断即可， 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似， 故选：A, 2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是() A.3x2+5x-4=0 B.6.x+10=0 c.5x2+3y-2=0 D.z2+2W3x-5=0 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程， 第1页/共34页 学科网命组卷网 若是，再对它进行整理：如果能整理为+x+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程，根 据定义逐项分析即可. 【详解】解：A.3x+5-4=0是一元二次方程，符合慰意： B.6x+10=0中含未知数的最高项的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意： C.5r+3y-2=0中含2个未知数，放不是一元二次方程，不符合题意： D.2+2V3x-5=0中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意： 故选A 3.下列各组线段，能成比例线段的是() 3cm 6cm 7cm 9cm 2cm 8cm 6cm 5cm A. B. C.3cm 9cm 18cm 6cm D.Icm 2cm 3cm 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘 积的值进行判断. 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可， 【详解】解：由题可得：3×9=27,6×7=42， .27≠42 ∴.A选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：2cm,5cm,6cm,8cm, 可得：2×8=16,5×6=30. .16≠30 第2页/共34页 6学科网6组卷网 ∴.B选项的4条线段不是成比例线段： 把已知线段排序：3cm,6cm,9cm,18cm, 可得：3×18=54,6×9=54. .54=54 ∴.C 选项的4条线段是成比例线段： 根据题意可得：1×4=4,2×3=6， ".4≠6 ∴.D选项的4条线段不是成比例线段： 故选：C 4.下列结论中，错误的是() a c a 4 A.若45，则c5 a-b 1 a 7 B.若b6,则b6 a c2 a-c 2 C.若bd3(b-d0),则b-d3 a 3 D.若b4,则a=3,b=4 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A正确，利用先化积，再化比例可判定B,利用换元计算可 判断C,设比值，取1与特1，可判断D. 第3页/共34页 6学科网命组卷网 a c a 4 【详解】解：A、若45，则5a=4c,而c5,5a=4c正确，不合题意： a-b 1 a 7 B、若b6,则6(a-b)=b,故6a=7b,则b6,正确，不合题意： a c 2 2 2 3b-2d 2,2 ma-c=33 2b-d)2 3 C、若ba3也-0)4b,3从，则6-d6-dhd3正确，不合题宽 3 a 3 D、若b4,设a=3k,b=4k,当-1时，有a=3,b=4,当特1，a,b的值不是3与4，故此选项 错误，符合题意、 故选：D 【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键。 5.如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,F是线段AE上的一点，AF=DE=1,连接 1 EG=-BG CF,交BE于点G.若 21 ,则AB的长为() B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理.先根据平 EF EG 1 行四边形性质得到AD=BC,AD∥BC,再利用平行线分线段成比例定理得出BCBG2,设 第4页/共34页 6学科网命组卷网 EF=xBC=AD=2x AB=AE=3 ,则 ,求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明 【详解】解：：在ABCD中，AD=BC,AD∥BC, EG-2BG EF EG 1 .BC BG 2, 设EF=x,则BC=AD=2x, AF DE=1, ∴.1+x+1=2x 解得x=2, .AE=AF+EF=1+2=3 :BE平分∠ABC .∠ABE=∠CBE AD∥BC, ∴.∠AEB=∠CBE, .∠AEB=∠ABE, ∴.AB=AE=3, 故选C. 6.美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【解析】 【分析】本思考查一元二次方程的应用：等量关系为：小组的人数（小组人数 -1)=72 把相关数值代入 计算即可. 【详解】解：设美术兴趣小组人数为x人， 第5页/共34页 命学科网 命组卷网 x(x-1)=72 解得=9书=-8 (不合题意，舍去)， 故选：C 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若 0A=6.S菱形8D=4 8,则OH的长为() B H A 0 C D A.4 B.8 c v13 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ACx BD ∴，AO=C0=6,B0=D0,S菱形ABCD=2=48, BD=16, ,DH⊥AB,BO=DO=8, 1 ∴.OH=2BD=4. 故选：A. 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解 决问题. 第6页/共34页 命学科网 命组卷网 8如图，在RIAABC0中，∠AB0=90°，AB=OB,顶点A的坐标为(2,0），以AB为边向△AB0的外 侧作正方形ABCD,将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2026次旋转结束时，点D的 坐标为() A.(1,-3) B.(-1,3) c（-1,2+2) D.(3,1) 【答案】B 【解析】 【分析】由AB=OB、∠ABO=90°确定点B的坐标，再求出正方形顶点D的坐标；旋转周期为 45°×8=360°20268 D 用 除以的余数确定等效旋转角，进而求旋转后点的坐标. 【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H, B ~顶点A的坐标为(2,0) .0A=2 在Rt△AB0中，AB=OB,OA=2, :.OB2+AB2=OA2=4 第7页/共34页 6学科网命组卷网 :.OB=AB=2 .∠OAB=45° ABCD 四边形 是正方形， .AD=AB=V2∠BAD=90° ∴.∠DAH=180°-∠OAB-∠BAD=45° ∴.△ADH是等腰直角三角形 .AD2=AH2+DH2 AH=DH .AH DH=1, ∴.OH=OA+AH=2+1=3 D(3,1) :每次绕点0逆时针旋转45°，而45°×8=360°， ∴旋转8次图形回到原位置，即每旋转8次为一个循环， 2026=8×253+2 ∴第2026次旋转结束时，相当于把原图形绕点0逆时针旋转2×45°=90°， 如图所示， D B D GO H 则D0=D0.∠D,0D=90° 第8页/共34页 6学科网6组卷网 作DGLx轴于G,则∠DG0=∠Di0=90 :∠D,OG+∠DOH=90°∠D0H+∠ODH=90° ∴.∠D,OG=∠ODH ∴.ADOG2AODH(AAS) :DG=OH=3 OG=DH=1 .D(-13) 六点D绕点0逆时针旋转90°后的对应点为(-1,3)， 故选：B. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9由下表的对应关系可知一元二次方程+bx+c=0(a6,C为常数，a≠0)的一个根的十分位上的 数字是 1.1 1.2 1.3 ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 【答案】1 【解析】 【分析】观察表格中的数据，当x取值不同时，y的值也是不同的，可以在正负函数值之间找到范围. 【详解】解：当=1l时，y=-0.59<0 当x=1.2时，y=0.84>0 所以当1.1<x<1,2时，方程在此区间内有一个根等于0的机会， 第9页/共34页 6学科网6组卷网 所以一个根的十分位上的数字是1. 10.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°，AC=10Cm,则AB的长为 cm D 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形的性质可推出 A=0B,由∠A0D=120°，可得∠4A0B=60°，推出△10B 等边 三角形，根据等边三角形的性质即可求解， 【详解】解：：矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AC=I0cm, ∠BAD=90,BD=AC=10cm, M=24c=5cm,oB=号BD=5cm】 ∴.OA=OB .∠AOD=120° ∴.∠AOB=180°-∠AOD=60° .△AOB 为等边三角形， .AB=OA=5cm 11.如图，在△ABC中，AD=2,AE=3,DB=7,EC=3,DE=4,则BC= 第10页/供34页 6学科网命组卷网 D E 3 B 【答案】12 【解析】 AD AE 1 【分析】先求出AC=6,AB=9,得到ACAB3,证明△ADEP△ACB,根据相似三角形的性质 即可求解。 【详解】解：AD=2,AE=3,DB=7,EC=3. ..AC=AE+CE=3+3=6 AB=AD+BD=2+7=9 AD 2 1 AE 3 1 .AC63,AB93, AD AE 1 ..AC AB 3, .∠A=∠A, ·.△ADEAACB DE 1 41 BC3,即BC=3, .BC=12 12.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加 和谐、平衡和美观的艺术作品和产品.在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦 鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若AC=l6cm,那么AB的长为cm.(结果 第11页/共34页 6学科网命组卷网 保留根号) 【答案)(85-8) 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关 键。 ABAB 5-1 【详解】解：由题意得，AC162, :.AB=(8V5-8cm 故答案为： (85-8 11 13.已知x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个根，则x1十x2= 【答案】-2 【解析】 11x+x2 【分析】根据根与系数的关系得到x1十=2，x2=一1，利用通分得到x十x2=xx2，然后利用整体 代入的方法计算 【详解】解：根据题意得x1十2=2,12=-1， 11x+x 所以x十x=为=2 故答案为：-2. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1,x是一元二次方程2+br十c=0(a≠0)的两根时，1十x2 第12页/供34页 6学科网命组卷网 b =-a,X1x2=a. 14.如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC,过点E作EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分 别为点F,G,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为一· y D E G 2 【答案】2 【解析】 【分析】设BG,则BE-V2x,即BCV2x,则正方形PBGE与正方形ABGD的相似比=BG:BCx: 2x2:2 【详解】设BGX, 则BE-V2x .BE=BC, :.Bc-V2x. 则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG:BCx:V2XV2:2 2 故答案为2 【点睛】本题主要考查正方形的性质，图形相似的性质，解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长 的比 15.电影 我和我的祖国”讲述了普通人与国家之间息息相关、密不可分的动人故事，一上映就获得全国人 第13页/共34页 6学科网命组卷网 民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，接下来连续两天累计票房收入达 7.92 亿元，则票房增长率为一 【答案】20% 【解析】 【分析】设每天票房增长率为，则第二天的票房为3(1+x)亿元，第三天的票房为3(+x亿元，结合 接下来连续两天累计票房收入达792亿元，列出方程解答即可. 【详解】解：设每天票房增长率为x,则第二天的票房为31+)亿元，第三天的票房为3(1+亿元， 根据题意可得3(1+x)+3(1+x)}=7.92 解得x=0.2=20%(负值已舍去) ∴.每天票房增长率为20%」 16对于一元=次方程++c=0aC为帝数，且a≠0)，有下列说法：①若a+b+c=0,则 方程必有一根为=l②当0=0时，方程至少有-个根为x=0:园老a+c=0 则方程无实数根： 若方程的两个根互为相反数，则b=0 其中正确结论是 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的性质，需要根据一元二次方程的定义和根的判别式来逐一分析每个说 法. 【详解】①当a+b+C=0时方程必有一根为x=1, 将x=l代入一元二次方程+hr+C=0中， 第14页/共34页 命学科网命组卷网 a×12+b×1+c=a+b+c 可得 已知a+h+c=0,当x=l时，方程ar+br+c=0 成立， 所以方程必有一根为x=1,故说法①正确， 时，原方程变为r+bx=0.程(a+b)=0 ②当C=0 ,可得 若两个数的乘积为0，则其中至少一个数为0， 所以x=0或ax+b=0. b X=- 当ax+b=0时，a(a≠0)，表明方程至少有一个根为x=0,故说法②正确， ③若a+c=0,则c=-a,原方程变为r+x-a=0 所以△=B2-4a×(-0)=b2+4a2 因为任何数的平方都大于等于0， 所以b≥0,4a>0(a≠0)，则A=+4a>0, 当△>0时，方程有两个不相等的实数根， 所以说法③错误， ④设方程r+br+c=0的两根为和， b 所以+x2=- a' 己知方程的两个根互为相反数， b=0 即x+3=0,那么a, 第15页/供34页 6学科网命组卷网 因为a≠0，所以b=0,故说法④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.用适当的方法解下列方程： (1)x-6x+3=0 （2)3x(x-l)=2(x-1) 【答案】(1)，=3+V6,为=3-V6 2 2)=5,x=1 【解析】 【小问1详解】 解：r-6x+3=0 a=1b=-6c=3 △=b2-4ac=(-6)2-4×1×3=24>0 3=6-6±y24-3t6 2a 2 :￥=3+V6.x2=3-6 【小问2详解】 解：3x(x-)=2(x-1) 3x(x-1)-2(x-1)=0 3x-2)(x-1)=0 第16页/供34页 6学科网列组卷网 .3x-2=0或x-1=0, 2 =3,=1 a b c 18.已知a,b,c是△ABC的三边长，且345. b+c (1)求a的值： DE 3 (2)若△DEF∽△ABC,且AB4,且△ABC的周长为24cm,求ADEF的周长. 【答案】(1)3 (2)18cm 【解析】 【分析】(1)利用已知的比例关系设参数求解： (2)利用相似三角形的周长比等于对应边的相似比求解. 【小问1详解】 ,设3片号Ra=3,b=,c= :b+c=4k+5_9k=3 a 3k3k 【小问2详解】 解：设△DEF的周长为L,则 L DE 3 24AB4, :L=24×3=18(cm）】 3 4 第17页/供34页 6学科网命组卷网 .△DEF 8cm 的周长为 19.如图，在△ABC和△AED中，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24. (I)求证：△ABCAADE ∠BAC=125°，∠EAC=70°∠CAD (2)若 ,求 的度数 【答案】(1) BC 5 AB 5 AC 5 证明：DE3’AD3'AE3, BC AB AC DE AD AE, .∴.△ABC∽△ADE (2)55° 【解析】 【分析】(1)根据三边对应成比例，两三角形相似证明即可： (2)根据相似三角形的性质，得出∠DAE=∠BAC=125°，然后求解∠CAD的度数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)知，△ABC△ADE. ∴.∠DAE=∠BAC=125° .∠EAC=70° 第18页/供34页 6学科网命组卷网 :.∠CAD=∠DAE-∠EAC=125°-70°=55° 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握判定方法是解题的关键 20,已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程t-(m+3列x+2m+2=0 的两个实数 根 (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根： (2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长. 【答案】(1) 证明：·方程 x2-(m+3)x+2m+2=0 .△=(m+3)2-4(2m+2)=(m-1)2≥0 ∴无论m取何值方程总有两个实数根： (2)2 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关 键. (1)利用根的判别式求出△的符号进而得出答案； (2)利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC .△=(m-1)2=0 .m=m2=1 第19页/共34页 学科网命组卷网 方程为 2-4x+4=0 .=x2=2 即菱形的边长为2. 21.如图，小岛D在码头A正东方向的80海里处，轮船甲从码头A出发以40海里/小时的速度向正南方 向行驶，同时，轮船乙从小岛D出发以50海里/小时的速度向码头A行驶.两艘轮船出发多久时，它们 之间的直线距离为50海里？ 东 39 【答案】1小时或41小时 【解析】 【分析】设轮船出发t小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与A码头的距离为4O海里， 轮船乙与A码头的距离为(80-50）海里，根据题意可得(80-50)+(400=50，然后解方程即可. 【详解】解：设轮船出发t小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与A码头的距离为40 海里，轮船乙与A码头的距离 80-50)海里， 根据题意可得(80-50)}'+(40)2=502 整理得412-801+39=0 第20页/供34页 6学科网 命组卷网 39 解得：4=1.2= 41, 39 答：两镀轮船出发1或41小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里. 22如图，在△MBC中，BA=BC,∠B=36. (I)尺规作图：在△ABC的边AB上找一点P,使△ACPn△ABC.(不写作法，保留作图痕迹) (2)求∠APC的度数. 【答案】(1) 如图所示（作法不唯一）： ,(2) 72° 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及尺规作图.关键是利用“两角分别相等 的两个三角形相似”，通过作相等的角构造与∠B相等的角；然后根据等腰三角形内角和定理求出△ABC 的内角，再结合相似三角形的对应角相等计算∠APC的度数. (1)要使△ACP∽△ABC,已知∠A是公共角，只需构造∠ACP=∠ABC,利用尺规作 ∠ACP=∠ABC 即可实现： 第21页/供34页 命学科网组卷网 (2)先由等腰三角形两底角相等算出∠A和∠ACB的度数，再根据相似三角形对应角相等直接得到 ∠APC 的度数. 【小问1详解】 解：要使△ACP∽aABC,己经有∠BAC=∠CAP,只需∠ACP=∠ABC即可，即作 ∠ACP=∠ABC 【小问2详解】 解：BA=BC.∠B=36 ∠A=∠4CB=180-∠B_180-36=72 2 2 .△ACP∽AABC ∴.∠APC=∠ACB=72° 23.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售 公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元辆的新能源汽车，经销一 段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆：每辆汽车的售价每降低0.5万元， 平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，为了推广新能源汽车，此 次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价， 【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元 【解析】 【分析】设每辆汽车的售价降低0.5x万元，用x表示单辆利润与每周销量，根据“每周销售利润为96万 元”列一元二次方程，再结合“尽量让利于顾客”对两根进行取舍. 第22页/供34页 命学科网命组卷网 【详解】解：设每辆汽车的售价降低0.5x万元，则平均每周多售出x辆， 每辆汽车的利润为25-0.5x-15=10-0.5x(万元)，平均每周告出(8+)辆。 由题意得(0-0.5x(8+x)=96 x2-12x+32=0 整理得 解得=4，为=8 当x=4时，25-0.5×4=23（万元）；当x=8时，25-0.5×8=21（万元）， ·为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客， ·应取售价较低的方案， ∴下调后每辆汽车的售价为21万元. 答：下调后每辆汽车的售价为21万元. 24.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，BE=DF,AC=EF. E (1)求证：四边形AECF是矩形： (2)若AB=AD,且AC=4W5,EC=4,求AB的长 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BCAD∥BC .BE=DF, 第23页/供34页 6学科网 命组卷网 .AD-DF=BC-BE .AF=CE. 又：AF∥CE, 四边形 AECF 是平行四边形， AC=EF, AECF 平行四边形 是矩形： (2)10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练 掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键， (1)先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可： (2)先利用矩形的性质，求出AE=8,再证明四边形ABCD是菱形，设AB=x,则BE=x-4,利用 勾股定理列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：“AC=EF AC=45 ..EF=45 AECF 四边形 是矩形， ·.∠AEC=∠ECF=90°， .EC=4 .AE=AC2-EC2 =8 第24页/供34页 6学科网命组卷网 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=AD 四边形 ABCD 是菱形， .AB=BC 设AB=x,则BE=BC-EC=x-4, 在R1△AEB中，AE+BE=AB .82+(x-4)2=x2 解得：x=10, AB 10 的长为 25.项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材 项 阐述的方法其实是配方过程的直观演示，他们查阅资料还发现，这种构图法有阿 目 拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽的两种不同构图方法.下面以解 背 景 x+10x-39=0即x(x+10)=39 的做法为例，分别展示. 赵爽发现 x(x+10)=39 结构， x+10 可以看成是一个长为(x+10)】 材 x+10 料 宽为x,面积为39的矩形.他用 x+10 4个长都是(x+10) x+10 宽都是x的 图1 相同矩形，构造成图1形状的大 正方形. 第25页/供34页 6学科网命组卷网 5 阿尔·花拉子米采用的方法是用 材 个边长为x的正方形和2个边长 料 分别为x,5的矩形构造出图2的 二 形状，并把它补成一个如图3的 图2 图3 大正方形 问题解决 (1)任务一：材料一中，大正方形面积可以表示为( (用含的代数式表示)；另 一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ 故可得到 方程(x+ 2=4×39+ (2)任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为(x+ 2=39+ (3)任务三：请通过以上述其中一种构造图形的方法来解方程。+6x-55=0的正根.（在图上标出相 应的线段长度) 【答案】(1)2x+10,100,5,100 (2)5,25 (3)正根为x=5,画图： 第26页/共34页 6学科网命组卷网 x+6 x+6 6 6 6 6 x+6 x+6 【解析】 【分析】(1)赵爽构图法，大正方形边长为2x+10,中间小正方形边长为10，面积是100，得到等式 (2x+10)2=4×39+100 (2②)阿尔·花拉子米构图法，对r+10x=39配方，两边同时加上S=25,化为x+5=39+25 《3)方法①使用四个长x宽x+6、面积(x+6)=55的矩形拼成大正方形，列等式 (2x+6)2=4×55+36 开平方求出两个根，舍去负根得到正根X=5,方法②将t+6x=55两边同时 加9配成完全平方式x+3)=64」 开平方求得两根，舍去负根得到正根x=5. 【小问1详解】 解：大正方形边长： x+(x+10) x+(x+10)=2x+10 大正方形面积可以表示为(2，x+10, 中间小正方形边长： (x+10)-x (x+10)-x=10 所以小正方形边长为10， 102=100 (2x+10)2=4×39+100 第27页/供34页 可学科网命组卷网 【小问2详解】 x2+10x=39 解： x2+10x+25=39+25 (x+5)2=39+25 【小问3详解】 解：构图如下： x+6 x+6 6 6 6 6 +6 x+6 方法①：四个长为x,宽为x+6的矩形构图（赵爽构图）： (x+6+x)2=4×55+36 (2x+62=220+36 (2x+6)2=256 2x+6=±√256 2x+6=±16 2x=16-6 2x=10 x=5 2x2=-16-6 第28页/共34页 6学科网组卷网 2x2=-22 x2=-11 方法②：阿尔·花拉子米构图： (x+3)2=x2+6x+9=55+9 (x+3)2=64 x+3=±V64 x+3=±8 x=8-3 x=5 x2=-8-3 x2=-11 题目求正根，舍去x=-11,保留元=5 26如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+V3 3 的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C 1,0) BC 坐标为 ,连接 备用图 第29页/共34页 6学科网 命组卷网 (1)求直线BC的函数表达式； A,B,C,D (2)平面内存在点D,使得以 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标： (©)直线B在B点布侧部分上有一点M,过店M作直线”)轴交BC于点V,连接4W,是西存 在点N使得△ABW与△BMN相似，若存在请求出M点坐标，若不存在请说明理由. 【答案】1)y=-V3x+5 (2)D(-4,V⑤)或(-2，-V5)或(4，V5) 43 (3)存在， 3 或(3,23) 【解析】 【分析】(1)先求出点B坐标，再用待定系数法求直线BC的表达式即可. (2)利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论，用中点坐标公式列方程求解. (3)先用勾股定理逆定理证明∠ABC=90°，从而发现∠ABN=∠MBN=90°为定值；再计算出 △BMN 30°60°90° m 的内角为 最后根据直角三角形相似的两种对应关系分类讨论，列比例式求出 的值. 【小问1详解】 解：对于函数y=3 x+V3 ,令x=0得y=5, ∴.B(0,V3) 设直线BC的函数表达式为y=+b(k≠0) 第30页/供34页 6学科网 命组卷网 b=3 将B0,V5)CL,0)代入得k+b=0, b=5 解得k=-3' 一直线BC的函数表达式为y=-V5x+V5 【小问2详解】 解：在 3x+5中，令y=0得x=-3, .A(-3,0) D(p,q) 设 ①若AB、CD为对角线，则AB与CD的中点重合， 「-3+0=1+p 0+V3=0+g' p=-4 解得g=5' .D(-4,3) ②若AC、BD为对角线，则AC与BD的中点重合， 「-3+1=0+p 0+0=3+g' p=-2 解得g=-V3, ∴.D(-2,-V3) 第31页/供34页 6学科网命组卷网 ③若AD、BC为对角线，则AD与BC的中点重合， -3+p=0+1 0+q=V3+0: p=4 解得1g=3: D(4,3) 综上所述，点D的坐标为(4，V③)或(-2，V5)或(4，V⑤) 【小问3详解】 解：“A(-3,0).B(0,V3).C1,0) AB2=(-3-0)2+(0-V3)2=12 BC2=(0-12+5-0=4, AC2=(-3-1)2+(0-0)2=16 ∴.AB2+BC2=AC2 ∴.△ABC ∠ABC=90° 是直角三角形， “点N在直线BC上点M在直线B上 M .∠ABW=90°.∠MBN=90°， 设点M的坐标 m3m+3 其中m>0 “直线∥y箱且过点M N(m,-v3m+v3)」 第32页/供34页 6学科网 命组卷网 B(0,V3) w-厚s-9 在Rt△BMN中，∠MBN=90°， tan∠BMN= BN 2m=3 BM 23 3 m .∠BMN=60° .∠BNM=30 .∠ABN=∠MBN=90 若△MB与△BM B B 与 相似，则点与点对应， ①若△ABWP△MBN, AB BN AN 则MB BN MN, BN=1 :BN· AB=1 :MB .AB=MB」 :AB=25 第33页供34页 6学科网命组卷网 2W3 m=2W5 3 ∴.m=3, 此时AN=MN=4V3 满足条件， ∴M3,25) ②若△ABNNBM, AB BN AN 则NB BM NM, .25 2m 2m 23 3m, 55 m .m=1, 此时AW=4, M=45,仪-5，满烂条作 3,NM 43 综上所述，点M 的坐标为 第34页/供34页