精品解析：宁夏回族自治区银川市第三中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试卷

银川市第三中学2026—2027学年第一学期自学练习一 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 2，3， B. 2，，1 C. 2，， D. ，3，1 2. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后为（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 6. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 把方程化为一般形式是__________． 10. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是______． 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 12. 已知，是方程的两个根，则_______． 13. 如图，已知长方形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为．若，则∠BDC的度数为________°． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 15. 四个正方形如图摆放，除点，，，外，其余各点均为所在线段的中点．其中最小的正方形的边长为，则最大正方形的边长是______． 16. 如图，在中，，，．点P，Q同时由A，B两点出发分别沿，方向向点C匀速移动，它们的速度都是．当点Q到达点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为．当______时，的面积是面积的一半． 三、解方程（共6分） 17. 解方程． （1）； （2）． 四、解答题（66分） 18. 阅读材料，解决问题： 解一元二次方程． 解：原方程变形为，① 即．② 两边同时除以，得，③ 整理，得，④ 解得．⑤ （1）在上述解法中，第______步开始出现问题；（填序号） （2）完整地写出该方程正确的解法． 19. 如图，点为矩形内的一点，，求证：． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 22. 如图，正方形的边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，与相交于点O．请判断与的关系，并说明理由． 23. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）能围成面积为200平方米的鸡场吗？ 24. 如图，在中，点，分别在边，上，与交于点，且垂直平分，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 26. 如图，在梯形中，，，，，，点P从点A以的速度向点D运动，点Q从点C以的速度同时向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒， （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形是矩形？ （3）若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出t的值和线段的长． （4）在整个运动过程中，是否存在t值，使得四边形是菱形．请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三中学2026—2027学年第一学期自学练习一 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 2，3， B. 2，，1 C. 2，， D. ，3，1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，， 故选：A． 2. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 【答案】C 【解析】 【详解】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 4. 用配方法解方程，配方后为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 10. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是______． 【答案】菱形 【解析】 【分析】利用三角形中位线性质先证明所得四边形是平行四边形，再结合矩形对角线相等的性质得到平行四边形邻边相等，即可判定四边形形状． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为的中点， ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 13. 如图，已知长方形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为．若，则∠BDC的度数为________°． 【答案】55 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，故，根据，列方程求． 【详解】解：由折叠的性质，得， 则， ， ， 解得． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了折叠的性质．关键是根据列方程求解． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 15. 四个正方形如图摆放，除点，，，外，其余各点均为所在线段的中点．其中最小的正方形的边长为，则最大正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，内层正方形的顶点是外层正方形各边的中点，利用勾股定理可得外层正方形边长是内层正方形边长的倍，由内向外逐层计算即可． 【详解】解：设最小正方形的边长为，向外依次为，，，其中，， ∵点，分别为线段，的中点，且四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 同理，点，分别为，的中点， ∴， 又∵点，分别为，的中点， ∴，即最大正方形的边长是． 16. 如图，在中，，，．点P，Q同时由A，B两点出发分别沿，方向向点C匀速移动，它们的速度都是．当点Q到达点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为．当______时，的面积是面积的一半． 【答案】 【解析】 【分析】设运动时间为，则，，可得，，根据题意可列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∴，， 由题意得：，即， ∴， 化简得：， 解得：，（舍去）， 当时，的面积是面积的一半． 三、解方程（共6分） 17. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用十字相乘法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴． 四、解答题（66分） 18. 阅读材料，解决问题： 解一元二次方程． 解：原方程变形为，① 即．② 两边同时除以，得，③ 整理，得，④ 解得．⑤ （1）在上述解法中，第______步开始出现问题；（填序号） （2）完整地写出该方程正确的解法． 【答案】（1）③ （2） 解：正确的解法过程如下： 原方程变形为， ， ， 即：， 或， ，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据方程两边同时除以的数不能为零，即可得到答案； （2）把原方程化为，然后利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：从第③步开始出现问题，因为忽略了的情况， 故答案为：③； 【小问2详解】 略 19. 如图，点为矩形内的一点，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ，即 ， 在和中， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据矩形的性质求出 ，求出 ，根据推出即可． 【详解】略 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 21. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 如图，正方形的边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，与相交于点O．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，证明，得到，进一步可得到，则． 【详解】略 23. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）能围成面积为200平方米的鸡场吗？ 【答案】（1）10米，15米 （2）不能，理由： 设养鸡场的宽为x米，根据题意得： ， 整理得：， 即， 因为方程没有实数根， 所以围成养鸡场的面积不能达到200． 【解析】 【分析】（1）先设养鸡场的宽为x米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）设养鸡场的宽为x米，根据题意得：，整理得：，根据方程的判别式的符号判断方程解的情况，即可作答． 【小问1详解】 解：设养鸡场的宽为x米，根据题意得： ， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去 当时，， 则养鸡场的宽是10米，长为15米． 【小问2详解】 略． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． 24. 如图，在中，点，分别在边，上，与交于点，且垂直平分，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2），详见解析 【解析】 【分析】（1）证明得，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证明，则，，然后由勾股定理得，则，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【点晴】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 26. 如图，在梯形中，，，，，，点P从点A以的速度向点D运动，点Q从点C以的速度同时向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒， （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形是矩形？ （3）若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出t的值和线段的长． （4）在整个运动过程中，是否存在t值，使得四边形是菱形．请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），线段的长为 （4）不存在t值，使得四边形是菱形，理由如下： 如图，过点D作于点E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得，当时，四边形是平行四边形， ∴此时， ∴不存在t值，使得四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后表示出，，然后根据平行四边形的判定定理列方程求解； （2）首先表示出，然后根据矩形的判定定理列方程求解； （3）首先表示出，然后根据正方形的判定定理列方程组求解； （4）过点D作于点E，证明四边形是矩形，得到，，然后利用勾股定理求出，然后由（1）求出当时，四边形是平行四边形，此时，即可判断． 【小问1详解】 解：∵，，点P从点A以的速度向点D运动，点Q从点C以的速度同时向点B运动， ∴点P到达点D的时间为，点Q到达点B的时间为， ∵规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒， ∴， 根据题意得，，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是矩形； 【小问3详解】 解：设线段的长为x， ∴， ∵，， ∴当时，四边形是正方形， ∴ 解得， ∴线段的长为； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $