江西九江市永修县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B．或 C． D． 2．设，，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列命题为真命题的是（ ） A．，当时， B．集合与集合是相同的集合 C．若，，则 D．所有的素数都是奇数 4．已知，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 5．命题：使得成立，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设正数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．记不等式、（）解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，集合，，，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．1 10．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A．当时，不等式的解集为 B．当，时，不等式的解集为 C．当时，不等式的解集可以为的形式 D．不等式的解集恰好为，那么 11．已知正数，满足，则下列结论正确的有（ ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设，，集合，则__________． 13．不等式的解集为__________． 14．记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知全集，集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16．设集合，． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围． 17．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价×销量-成本． 18．已知函数，． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式． 19．已知集合（），对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 永修一中2026—2027学年高一上学期第一次月考数学试题参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．BCD 10．AB 11．CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．0 13． 14． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【答案】（1）（2） 【详解】（1）由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为． （2）由题意，， 若，则， 所以实数的取值范围为； 16．【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为． （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 17．【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号． 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元． 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得． 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元． 18．【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【详解】（1）对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立． ①当时，不等式可化为，符合题意； ②当时，则，即，整理得． 解得，综上可得， 故对一切实数恒成立时，实数的取值范围是； （2）不等式，等价于不等式， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 即， ①当时，，不等式可化为，无解； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19．【答案】（1）不具有性质，具有性质；（2）①具有性质；②1333． 【小问1详解】 （1）不具有性质，具有性质，理由为： 当时，集合， 不具有性质， 因为对任意不大于10的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立， 集合具有性质， 因为可取，，对于该集合中任一元素，（，）， 都有； 【小问2详解】 ①具有性质，理由为： 当时，则， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 首先因为，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，所以， 由具有性质，可得存在不大于1000的正整数， 使得对中任意一对元素，，都有， 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，，其中，，则有， 所以集合具有性质； ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 任取一个元素，，则与中必有一个不超过1000， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过1000， 不妨设中有（，）个元素不超过1000，分别记为，，…，， 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素，，都有，所以，，…，都不是中的元素， 又，故，，…，都是中的元素， 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，解得， 当时，取， 易得集合中的任意两个元素，，都有， 即集合具有性质，此时集合中有1333个元素， 因此集合中元素个数的最大值为1333． 学科网（北京）股份有限公司 $