江西省信丰中学2026-2027学年高一上学期第一次素养训练数学试题

2026-2027学年第一学期高一数学素养训练参考答案 1.【答案】B解析：元素与集合之间用∈、；集合与集合之间用∈、。2是集合A中的元素，故2∈A。 2.【答案】C解析：M=(x,y)lx+y=3,x∈N,y∈N,自然数x,y≥0， 满足条件的点：(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，集合M含有4个元素。 n个元素集合的子集个数公式：2”，所以子集个数24=16，选C。 3.【答案】D解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，改变量词，否定结论。 4.【答案】A解析：x>1→x2>1;x2>1羚x>1,充分不必要条件。 5.【答案】D解析：a>b>0→a2>b2;A选项当c=0不成立。 6.【答案】C解析：y=2x+222x是=8，当且仅当2x=即x=2取等号. 7.【答案】A由不等式ax2+bx+6>0的解集为(-2,3)可得： 该一元二次不等式开口向下，即a<0;对应一元二次方程ax2+bx+6=0的两根为x1=-2,x2=3。 x1x2=6=-2×3=-6 根据韦达定理： a x1+x2=-=-2+3=1 解得：a=-1,b=1。 将a=-1,b=1代入目标不等式bx2-ax-6<0:x2+x-6<0 因式分解得：(x+3)(x-2)<0解得解集：-3<x<2 8【答案】B解析：y=一2+2，二次项系数a=-<0,抛物线开口向下，①正确：对称轴t=一云=4， 代入得y=4,水流最大高度4m,②正确；开口向下，对称轴t=4,当t>4时，y随t增大而减小，③错 误；令y=0,-4t+2t=0,解得t=0(喷水时刻)或t=8,水流从喷出到落地总用时8，s,④正确。 综上①②④正确，选B。 9.AC解析：B:交集为空，两个集合不一定都是空集；D:{xy=x2)=R,yy=x2)={yy≥0}，不 是同一集合。 10.【答案】ABD解析：已知a>0,b>0,a+2b=1 A:a+2b之2W2ab→b≤君当a=,b=取等，A正确。 B:+片=（任+）a+2b)=3+生+之3+22，当a=V2b可取等，B正确。 C:a2+4b2=(a+2b)2-4ab=1-4ab≥号最小值但取等条件是a=2b不是a=b,c错误。 高一数学答案第 D:a+2b=1,得a=1-2b,代入可得(2b-1)2+5b2=9b2-4b+1=9b-3)2+,由于0<b<1, 故b=子有最小值。 11.【答案】ABD解析：根据定义A⑧B={xIx E AUB.且x庄A∩B} A={xI0≤x≤3}，B={x1<x≤4)} AUB={xl0≤x≤4}，A∩B={xI1<x≤3} A⑧B={xI0≤x≤1或3<x≤4}， B:定义对称差，显然A⑧B=B⑧A, C:(A⑧B)nA={xI0≤x<1},选项写为0≤x≤1，x=1不属于A⑧B, D:若A⑧B=D,说明AUB中没有元素不在A∩B,即AUB=A∩B,故A=B, 12.A=B,都含有元素x,所以3，y=y-x,1,两种对应： @P13 y=1,1-x=3→x=-2。 检验：A=3,-2,1,B=-2,3,1,三元素互不相同，满足互异性。 x+y=-2+1=-1。 @P, y=3,3-x=1→x=2。 检验：A=3,2,3,元素重复，舍去。 唯一有效解：x=-2,y=1,x+y=-1 13.答案：a>-1命题p:∈R,方程x2-2x+a+2=0有实数根。 p为假命题，则其否定p为真：Hx∈R,方程x2-2x+a+2=0没有实数根。 一元二次方程无实根台△<0a>-1 14解析步骤1：求解命题g对应的集合Q片>1→片-1>0→行>0 等价于(x-1)(x-2)<0,得：Q=x1<x<2步骤2：分解命题p的不等式 x2-(a+2)x+2a>0→(x-2)x-)>0方程(x-2)(x-a)=0两根：x1=2,x2=a,需要对参 数a分三类讨论：a>2,a=2,a<2。 1.当a>2时，不等式解集：P={xx<a或x>2,Q=(1,2),显然(1,2)(-∞，2)U(a,+∞)，恒成 1页共3页 立。2。当a=2时，不等式变为(x-2)2>0,解集：P={xx≠2 Q=(1,2)xx≠2，满足条件。3当a<2时，不等式解集：P={xx<a或x>2} 要求Q=(1,2){xx<a或x>2},区间(1,2)里面所有x都满足x<a,则必须a≥2。 但本情况前提a<2,矛盾，无解。综上：a≥2答案：{aa≥2} 15解：(1)U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={2,3,6,7} CuB={1,45,8,9,10.... A={1,3,5,7,9},B={2,3,6,7} A∩B={3,7}.... (2)先求A在全集U中的补集： CwA={2,4,6,8,10}..... 并集(CuA)UB是属于CuA或者属于B的全部元素： (CuA)UB={2,3,4,6,7,8,10}.. 16解：(1)当m=2时，代入得： f(x)=2x2-5x+3................. 原不等式为：2x2-5x+3<0整理得：(x-1)(2x-3)<0解 3 得：1<x< 。。。。。。 。 所以不等式解集为x1<x<) (2)由题意：二次函数开口向上，故m>0。 不等式f(x)<0的解集为(1,3)， 说明：一元二次方程mx2-(m+3)x+3=0的两个实数根为x1=1,x2=3..(12 根据韦达定理：两根之积x1x为=代入得：1×3=品 解得：m=1 检验：m=1>0,满足开口向上： 此时f(x)=x2-4x+3,f(x)<0解集为(1,3)，符合题意。 m=1. 。。。。。。。。。。。。。。。。 17解：(1)内部图文区域水平边长为xcm,内部面积为72cm2, 则内部竖直边长为2cm。 展板左右各留1cm空白，所以展板水平总长：x+1+1=x+2; 展板上下各留2cm空白，所以展板竖直总高：+2+2=2+4。 展板面积：S=(c+2)(侵+4)=4x+生“+80. 因为边长必须大于0，所以x>0。 ...(4分) 函数解析式：S=4x+4+80,x的取值范围：0，十∞)。…。 (8分) (2)S=4x+144+80,x>0。 ...(7分) 由基本不等式：对正数m,n,有m+n≥2vmm,当且仅当m=n取等号。 令m=4k,n=14, ...(10分)》 当且仅当4x=44时取等号。.... (10分) X ..(13分) 解方程： 4x= 94w2=14→x2=36 144 (2分) 因为x>0,所以x=6。.... .....（12分) 此时S最小值=48+80=128。… .....(14分) ...(6分) 整块展板面积最小值为128cm2。...... (15分) ...(8分) 18(1)因式分解：mx2-(m+2)x+2=(mx- 2)(x-1)>0----1分 ①当m=0时，原不等式化为-2x+2>0,解得x<1。--3分 ②当m>0时，方程(0x-2)-1)=0两根：x1=1,2=品 分) ·若品>1，即0<m<2,解集为(-∞，)u(保+）小： ……….5分 若2=1，即m=2,不等式化为2(x-1)2>0,解集为xx≠1：.7分 m ...(14分) 若品<1，即m>2,解集为(-∞，)U(L,+∞)。… m .9分 ③当m<0时，二次项系数为负，不等式0mx-2)x-1)>0等价于(x-别)c-1)<0,品<0<1， .....(15分) 解集为 (层 ……...11分 综上所述m=0时，不等式解得集为(~∞，1)，0<m<2,解集为(-∞，1)U(层，+) 高一数学答案第2页共3页 m=2,解集为(-∞，1)U(1,+∞)，m>2时，解集为 ()u(1,+∞) m<0时解集为（保1） ……….12分 (2)f(x)=mx2-(m+2)x+2,因式分解可得： f(x)=(mx-2)(x-1)。 己知x∈[2,3]，所以x≥2，可得x-1≥1>0。 根据不等式性质：两数相乘大于0，若其中一个因式为正数，则另一个因式必须为正数。 因此：对任意x∈[2,3]，(mx-2)(x-1)>0等价于 mx-2>0..... ...14分 即x>2,x∈[2,3]，x是正数，不等式两边同除以正数x,不等号方向不变：m>召 题意要求：区间[2,3]里每一个x,不等式m>二都成立。 方法一（第一章预备知识，取值分析）：当x=2,=1:当x=3,=号。 在x从2增大到3的过程中，二的值从1减小到。所以2在[2,3]范围内最大的值是1。 方法二（函数单调性，额外认可）： 令g(x)=三，9()在区间[2,3]上单调递减，因此gx)mx=9(2)=1。 要保证m比区间里所有的都大，只需要m大于它的最大值。 所以m>1。.... ...17分（采用其他方法的酌情给分） 19解：(1).B≤A,分B=0和B≠0两种情况。 ①当B=时，t-1>2t+3,解得t<-4。..... (1分) -2≤t-1 ②当B≠0时： t-1≤2t-1 4>2t+3 解得-1≤t≤ 综合①②，实数t的取值范围：t<-4或-1≤t≤。 (4分) (2)AnB是非空闭区间[a,b], 交集区间的左端点取-2和t-1当中较大的数， 高一数学答案 交集区间的右端点取4和2t+3当中较小的数。 满足：(4和2t+3中较小的数)-(-2和t-1中较大的数)=3。·....· (6分) 情形1：t-1≤-2，即t≤-1。 交集左端点为-2，则4和2t+3中较小的数=1，得2t+3=1,t=-1。 检验：B=[-2,1],AnB=[-2,1],1-(-2)=3,成立。.....(8分) 情形2：-2<t-1<4,即-1<t<5。 交集左端点为t-1。 ①若2t+3≤4，即t≤号则(2t+3)-t-1)=3,得t=-1,与-1<t<5矛盾，舍去。 ②若2t+3>4,即t>子则4-t-1)=3,解得t=2。 检验：B=[1,7],A∩B=[1,4,4-1=3,成立。· (10分) 情形3：t-1≥4，即t≥5，A∩B=[4,4,长度为0，无解。...（11分) 综上，t=-1或t=2。. (12分) (3)集合A中的整数：-2，-1,0,1,2,3,4，共7个。 C恰好有3个整数，说明A∩B含有4个整数。...........·. (13分) ①AnB={-2,-1,0,1},解得t=-1: ②AnB={-1,0,1,2},解得-1<t<0: ③AnB={01,2,3,解得0<t<: ④A∩B={1,2,3,4},无解。...(15分) 检验端点：t=0,t=不满足题意，舍去。：(16分) 综上，实数的取值范围-1≤t<0或0<t< (17分) 第3页共3页 2026-2027 学年第一学期高一数学素养训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={1,2,3},则下列关系正确的是( ) A.2⊆A B.2∈A C.{2}∈A D.2∉A 2.已知集合M ={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N},则集合M的子集个数为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 3.命题 的否定为( ) 4.“x>1”是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若 a>b>0,则下列不等式正确的是( ) C. a-b<0 6.已知 x>0,则 的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 7.已知一元二次不等式 的解集为(-2,3),则不等式 6<0 的解集为( ) A.(-3,2) B.(-2,3) C.(-∞,-3)∪(2,+ ∞) D.(-∞,-2)∪(3,+ ∞) 8.国庆广场喷泉喷水后，水流高度y(单位：m)与喷水时间t(单位：s)满足二次函数 其中t≥0。下列说法正确的是( ) ①抛物线开口向下；②水流最大高度为4m；③当t>4时，水流高度随喷水时间增大而增大；④水流从喷出到落地总用时为8s A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有( ) A. ∅⊆{1} B.若 A∩B=∅,则 A,B 均为空集 C.若 A⊆B,则 A∪B =B D.集合 与 是同一个集合 10.已知a>0,b>0,且a+2b=1,下列结论正确的有( ) A. ab的最大值为 的最小值为 的最小值为 ，当且仅当a=b时取等号 的最小值为 11.定义:设集合A,B,称集合A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}为集合A,B的对称差。则下列说法正确的有( ) A.若A={x|0≤x≤3}, B ={x|1<x≤4}, A⊗B={x|0≤x≤1或3<x≤4} B. A⊗B =B⊗A C.若A={x|0≤x≤3}, B ={x|1<x≤4}则(A⊗B)∩A={x|0≤x<1} D.若A⊗B=∅,则A=B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A ={3,x,y}, B ={x,y-x,1},且A =B,则x+y= 13.已知命题 p: ∃x∈R,关于 x 的一元二次方程 有实数根。若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围为 。 14.已知命题 命题 若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 。 四：解答题(共 5 小题，满分 77 分，说明：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 集合 (1)求，A∩B; (2)求( 16.已知二次函数 (1)当m=2时,求不等式 f(x)<0 的解集; (2)若二次函数f(x)的图像开口向上，且不等式f(x)<0的解集为(1，3)，求实数m的值。 17.2026 年 9 月，全国开展全民国防教育月主题宣传活动。为弘扬爱国主义精神，某国防教育展馆制作矩形主题宣传展板。展板内部图文展示区域为矩形，展示区域面积固定为 展示区域四周预留空白：上下空白宽度均为2cm，左右空白宽度均为1cm。设展示区域的水平边长为 xcm。 (1)写出整块展板的面积S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)求整块展板面积的最小值。 18.已知关于x的不等式 (1)解关于x的不等式 (2)设 若对任意 都有f(x)>0,求实数m的取值范围。 19.已知集合 集合 其中 (1)若 求实数t的取值范围； (2)若集合 是一个非空闭区间[a，b]，且满足b-a=3,求所有实数t；若不存在，请说明理由； (3)若集合 }中恰好有3 个整数，求实数 t的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $