天津市静海区第一中学2025-2026学年高二上学期10月学业能力调研数学试题

静海一中2025-2026第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷 命题人 ： 李静 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（115分）和第Ⅱ卷提高题（32分）两部分，卷面分3分，共150分。 知 识 与 技 能 学习能力（学法） 内容 空间向量与立体几何 直线的方程 易混易错 总分 分数 61 55 31 150 第Ⅰ卷 基础题（共115分） 一、选择题: （每小题5分，共45分）. 1．已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（    ）. A．B．C．D． 2．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 3．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A．B．C．D． 4．已知直线，，则“”是“”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 6．点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．C． D． 8．已知点和点，直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ） A．B．C．D． 9.设,过定点A的动直线x + my + 2 = 0和过定点B的动直线mx - y - 4m + 5 = 0交于点P，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面上存在定点Q使得PQ的长度为定值 B. |PA| + |PB|的最大值为 C. |PA||PB|的最大值为D. 点P到直线AB的距离的最大值为 二、填空题：（每小题5分，共25分）. 10．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为 11．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 12．平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为 ． 13．已知在直线上，则+的最小值为 ． 14．如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，为等腰直角三角形，，，，则异面直线AB与所成角的余弦值为 . 三、解答题：(本大题共3小题，共45分) 15．（18分）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程． (4)求经过点B，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． (5）在解决上述关于直线方程的问题时，我们运用了多种求直线方程的方法，如点斜式、截距式，还涉及到直线垂直时斜率的关系等知识。请结合这些问题，总结一下求直线方程的常见方法以及在不同条件下如何选择合适的方法 16．（15分）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17．（12分）如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. (1)证明: 平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值. 第Ⅱ卷 提高题（共32分） 18．（16分）已知直线:2和点． (1)在直线上求一点P，使的值最小； (2)直线m经过点，且点和点到直线m的距离相等，求直线m的方程． (3) 已知的顶点, 直线为AB边中线CD所在的直线方程 ∠ABC的角平分线BH所在直线方程为,求直线BC的方程; 19．（16）如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. (1)当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 20卷面分：（3分） 静海一中2025-2026第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷（答案） 一、选择题: （每小题5分，共35分）. 1．已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 2．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 3．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 4．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 6．点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 8．已知点和点，直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得到所过的定点，考虑直线的斜率不存在和斜率存在，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】直线变形为，所以过定点， 当时，直线的斜率不存在，与线段有交点，满足题意， 当时，直线的斜率为， 其中，， 结合图象，可知当且时，与线段有交点， 解得：且， 综上：实数的取值范围是， 9.设,过定点A的动直线x + my + 2 = 0和过定点B的动直线mx - y - 4m + 5 = 0交于点P，则下列说法不正确的是（ D ） A. 平面上存在定点Q使得PQ的长度为定值 B. |PA| + |PB|的最大值为 C. |PA||PB|的最大值为D. 点P到直线AB的距离的最大值为 二、填空题：（每小题5分，共25分）. 10．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为 【答案】【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 11．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是. 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 12．平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为． 【答案】 【分析】利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 13．已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为__________ 【答案】A 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 14．已知在直线上，则+的最小值为． 【答案】3 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 故答案为：9 15．如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，为等腰直角三角形，，，，则异面直线AB与所成角的余弦值为 . 三、解答题：(本大题共4小题，共54分) 16．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程． (4)求经过点B，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)， (2)． (3)．(4)3x+y=0, x+y-4=0 17．已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18．（14分）22． 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，    则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 第Ⅱ卷 提高题（共33分） 18．（16分）已知直线:2和点． (1)在直线上求一点P，使的值最小；() (2)直线m经过点，且点和点到直线m的距离相等，求直线m的方程． X=3或y=3x-9 (3) 已知的顶点, 直线为AB边中线CD所在的直线方程 ∠ABC的角平分线BH所在直线方程为,求直线BC的方程; 3x-2y+1=0 19【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作 面的垂线为轴，则由题意可得， 由，及即， 可得. （i）设平面的一个法向量为， 则解得 令，得是平面的一个法向量. 因为， 所以.又平面， 所以平面. （ii）由（i）可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）设， 则， 设是平面的一个法向量， 则， 取，则是平面的一个法向量， 则 ， 解得或（舍去）. 所以. 21卷面分：（3分） ( 1 ) ( 高二数学（10月）学生学业能力调研试卷 第 页 共8页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $