山西部分校联考2026-2027学年高三上学期10月素质评价二数学试题

202610 高三数学 注意事项: 1.答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的, 1.命题“x∈R,2x2-x-1>0”的否定为 A.3x∈R,2x2-x-1<0 B.3x∈R,2x2-x-1≤0 C.Hx∈R,2x2-x-1>0 D.Hx∈R,2x2-x-1≤0 2.已知集合A={xl-2<x<1},B={xlx3=x},则A∩B= A.{0 B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 3.设x∈R,则“0<x<4”是“-x2+3x+4>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若函数f八x)的定义域为(-3,2),则函数g(x)=f(x-1) √1n(2x+3)的定义域为 A.(-1,3)》 B.[-1,3) C.[-2,3) D.(2,3) ln x,x>1, 5.若函数f(x)= 是单调函数,则实数 的取值范围为 ax-2,x≤1 A.(0,2) B.(0,1] C.(1,2] D.(0,2] 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2+x)=f(6-x),且当x≤4时,f(x)=-2e+3,则 f(x)的图象在x=5处的切线斜率为 A.e B.-2e C.2e3 D.2e3 数学 第1页(共4页) 7.设a=log23,b=log4,c=2-方,则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 8.对于函数f(x),若在定义域内存在实数xo,满足f(-xo)=-f(xo),则称f(x)为“类奇函 数”.已知g(x)=e“+3x+2m是定义在[-1,1]上的“类奇函数”,则实数m的最小值为 A.-2 B.2 c-e 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知正实数x,y满足y=9,则下列说法正确的是 A.若x>y,则x2>9 B.x+y的最小值为6 C.+上的最大值为号 D.√x+√y的最小值为23 x Y 10.已知函数f八x)的定义域为R,若Hx,y∈Rf(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时/八x)>1,则 A.f(0)=0 B.Hx∈R,f(x)>0 C.f(x)在R上单调递增 D.a2-a<1 f(2a-4) 11.已知函数f(x)=(x+a)e,a∈R,则下列说法正确的是 A.若f'(1)=e,则a=-1 B.若f(x)在(-1,2)上单调递增,则a>0 C.当a=1时,若方程八x)=m有两个不等实根,则-点<m<0 D.当a=1时,f(x)≥2x+1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.若f(x)=(x+m)2-2x是偶函数,则f(m)= .(用数字作答)》 13.已知a>1,b>1,若logb+loga=2,且ab=2,则log2(a+b)= 14.若函数八x)=a+-血x存在极小值,且极小值不小于3,则实数a的最小值为 数学第2页(共4页)》 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知集合A={x|a-1≤x≤2a+2},B={yly=2log2x,1≤x≤2}. (1)若a=2,求(CRA)UB; (2)若AB,求实数a的取值范围, 16.(15分) 已知函数f(x)=x-asin x的图象在x=0处的切线斜率为2. (1)求实数a的值,并判断f(x)的单调性; (2)若当x≥0时,f(x2-2x)+fk)≥0,求实数k的取值范围. 17.(15分) 已知函数)=之-a+(a-1hx (1)讨论(x)的单调性; (2)若a>1,证明:当x>0时,x)≤号(x-1)2-a+分 数学第3页(共4页) 18.(17分) 已知函数f(x)=ae-x+2. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2f(2)处的切线方程: (2)若f(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围: (3)若不等式f(x)≥x-lnx+1对任意的x∈[1,+o)恒成立,求实数a的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=(x2+a)lnx (1)当a=-1时,求f(x)的单调区间 (2)若f八x)恰有两个极值点x1,x2,且x1<x2 (i)求实数a的取值范围; ( )证明:x出<。 附:当x0时,x21nx0 数学第4页(共4页) 202610 高三数学 答案 一、选择题 1.答案D 命题透析 本题考查存在量词命题的否定 解析命题“3x∈R,2x2-x-1>0”的否定为“Vx∈R,2x2-x-1≤0". 2.答案B 命题透析本题考查集合的交运算, 解析因为A={x-2<x<1},B=1-1,0,1|,所以A∩B={-1,01 3.答案A 命题透析本题考查充分必要条件的判断。 解析解不等式-x2+3x+4>0,得-1<x<4.所以“0<x<4"是“-x2+3x+4>0"的充分不必要条件. 4.答案B 命题透析本题考查复合函数的定义域, 「-3<x-1<2, 解析在函数g(x)=f(x-1) √n(2x+3)中,有 解得-1≤x<3,即函数g(x)的定义域为 2x+3≥1. [-1,3). 5.答案D 命题透析本题考查函数的单调性, ra>0, 解析因为y=lnx是增函数,所以要使函数(x)是单调函数,八x)在R上只能为增函数.所以 解得 a-2≤0. 0<a≤2,即实数a的取值范围为(0,2]. 6.答案C 命题透析本题考查函数的对称性、切线的斜率 解析由f(2+x)=f(6-x)可知,f(x)的图象关于直线x=4对称,则f(x)的图象在x=5和x=3处的切线关 于直线x=4对称.又当x≤4时,(x)=-2e+3,则'(x)=-2e,所以f'(3)=-2e3.所以f'(5)=-f'(3)= 2e3,即f(x)的图象在x=5处的切线斜率为2e 7.答案A 命题透析本题考查指数函数与对数函数的比较大小 一1— 解析易知a=s3>16=g4>1e=2-寸<2=1下面比较a和6的大小a=lg3-品26=g4- In 2' 因为n2h4<(他2生n-(9)=()<h3),哈3>导所以a>6综上a>6>c 8.答案C 命题透析本题考查函数新定义问题, 解析因为gx)=e“+3x+之m是定义在[-1,上的类奇函数”,所以存在实数6e[-1,小,满足g(-)= -g(),即方程e+e”+m=0在[-1,小上有解令1=e e[日小,则-m=1+,因为函数y=1+在 [日,上单调递减,在(1,e]上单调递增,所以当1=。或1=e时,y= -+e,当t=1时,ym=2.所以由2≤ -m≤e+,解得-。-≤m≤-2.所以实数m的最小值为- -e. 二、选择题 9.答案ABD 命题透析本题考查基本不等式 解析对于A,若x>y,则两边同乘以x,得x2>xy=9,故A正确. 对于B,x+y≥2√xy=6,当且仅当x=y=3时等号成立,故B正确 对于C,+-“-“号,结合B项可知,该式有最小值,无最大值,故C错误 xy 对于D,(:+)2=x+y+2√灯≥6+2=12,故E+的最小值为23,故D正确 10.答案BC 命题透析本题考查抽象函数, 解析对于A,令x>0,y=0,则f八x)>1,八x)=f(x)f(0),所以f八0)=1,故A错误. 对于Bx)=(受人)≥0,若存在满足o)=0,则对任意的xeR(x)=x-八,)=0,不符合 题意,因此f八x)>0恒成立,故B正确 对于C,任取x1<x2,令1=2-x1>0,则x2=x1+1,所以f(x1)-f八x2)=f八x)-f八x1+1)=f八x1)-f八x1)f八t)= fx,)[1-ft)],因为1>0,所以ft)>1.所以1-f)<0.又fx)>0,所以fx)[1-f)]<0.所以f(x)< f八x2).所以f八x)在R上单调递增,故C正确, 对于D.曲条件可得=-yn).所以得=-.所号=(心-a)-(a-4》= f) 3加+4因为-3+4-(-引+子>0,所以c-3+4)>0)=1,明>1,放D错误 1L.答案ACD 命题透析本题考查函数与导数 —2 解析对于A,f'(x)=(x+a+1)e,由'(1)=e,得(1+a+1)e=e,解得a=-1,故A正确 对于B,由f八x)在(-1,2)上单调递增,得(x+a+1)e≥0在(-1,2)上恒成立.因为e>0,所以x+a+1≥0 在(-1,2)上恒成立,即a≥-x-1在(-1,2)上恒成立.当x∈(-1,2)时,-x-1∈(-3.0),所以a≥0,其 中a=0也满足题意,故B错误。 对于C八x)=(x+1)e,则f'(x)=(x+2)e',当x<-2时∫(x)<0,当x>-2时(x)>0,即fx)在(-0,-2) 上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,所以f(x)≥-2)=-e2.又当x -时,f(x)0,且f(x)<0,当 x +时八x) +0,作出f八x)的大致图象,如图所示: y=f八x) -2-1 由图象可知,要使方程x)=m有两个不等实根,须满足-。<m<0,故C正确, 对于D,令g(x)=(x+1)e-2x-1,则g(x)=(x+2)e-2,当x≤-2时,x+2≤0,e>0,此时g'(x)≤-2<0: 当x>-2时,令h(x)=g(x),x>-2,则h'(x)=(x+3)e>0,即h(x)在(-2,+∞)上单调递增.又h(0)=0, 所以当-2<x<0时,h(x)<0,即g'(x)<0,当x>0时,h(x)>0,即g'(x)>0.所以g(x)在(-,0)上单调 递减,在(0,+)上单调递增,于是g(x)≥g(0)=0,所以八x)≥2x+1,故D正确, 三、填空题 12.答案2 命题透析本题考查函数的性质。 解析f八x)=(x+m)2-2x=x2+(2m-2)x+m2,因为f(x)是偶函数,所以2m-2=0,解得m=1.所以f(x)= x2+1.故f八m)=f八1)=2. 1B答案多 命题透析本题考查对数运算 解析设1=lg.b,由log.b+lga=2,可得1+=2,解得1=1.所以1og,b=1,即a=6又ab=2,所以a=b= 反.所以lga+b)=lg2=he2t=子 14.答案2 命题透析本题考查函数与导数, 解析由题意,得f(x)=a-1=r2-x- 2-x x2 ,x>0 一3 ①当a≤0时∫'(x)<0,所以f(x)在定义域内单调递减,不存在极小值 ②当a>0时,设g(x)=ax2-x-1(x≥0),因为g(0)=-1<0,且g(x)的图象开口向上,所以存在xoe(0,+0), 使得g(xo)=0.故当0<x<x时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>x。时,g(x)>0,则f'(x)>0, f八x)单调递增,所以x=x。是f八x)的极小值点.所以f(x)存在极小值点o.因为f'(xo)=0,所以a后=xo+1, 则,=1+号因为:的极小值不小于3.所以)≥3恒成立所以属,+大-h6≥3,即民-h,-2≥0设 函数h(x)=2-lnx-2(x>0),所以'(x)=-三-上<0,即h(x)在(0,+0)上单调递减.因为h(1)=0, x2 所以()≥0的解集为0<1,即0<≤1L因为成=1,所以a=克+-(估+号广-字设 ≥1,则m(0=(+)广-子,所以0≥m()=2所以实数a的最小值为2 四、解答题 15.命题透析本题考查集合的基本运算 解析(1)当a=2时,A={x1≤x≤6},CRA=xlx<1或x>6.…(2分) 当1≤x≤2时,0≤2log2x≤2,即B={x10≤x≤21. (4分) 所以(CgA)UB={xx≤2或x>6}.…(6分) (2)由(1)知,B={xI0≤x≤2{. 若A=0,则a-1>2a+2,解得a<-3: ..。 (9分) 2a+2≥a-1, 若A≠0,则a-1≥0, 无解 (12分) 2a+2≤2, 综上,实数a的取值范围为1ala<-3. (13分) 16.命题透析本题考查函数与导数 解析(1)由题意,得f(x)=1-acos a.由'(0)=1-a=2,解得a=-1.…(3分) 所以f八x)=x+sinx∫'(x)=1+cosx≥0.所以f八x)在R上单调递增.…(6分) (2)易知f(x)的定义域为R,且f代-x)=-f八x),所以f(x)是奇函数 (8分) 当x≥0时,代x2-2x)+f(k)≥0等价于f八x2-2x)≥-f八k)=f(-k).(*)…(10分) 又f(x)单调递增,所以(*)式可化为-k≤x2-2x=(x-1)2-1. 因为y=(x-1)2-1在[0,+∞)上的最小值为-1,所以-k≤-1,即k≥1. 故实数k的取值范围为[1,+∞).… (15分) 17.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质 解析(1)由题意知,八x)的定义域为(0,+∞), -4 f(x)=x-a+a-l=x-1)[x-(a-1)] …(1分)》 ①当a≤1时,a-1≤0,则当0<x<1时'(x)<0,当x>1时f'(x)>0. 所以(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。 (3分) ②当1<a<2时,0<a-1<1,则当0<x<a-1或x>1时f'(x)>0,当a-1<x<1时f'(x)<0 所以f(x)在(0,a-1)和(1,+o)上单调递增,在(a-1,1)上单调递减.…(5分) 3当a=2时,a-1=1,则f()=-少≥0对任意x>0恒成立, 所以f八x)在(0,+∞)上单调递增。…(7分) ④当a>2时,a-1>1,则当0<x<1或x>a-1时f'(x)>0,当1<x<a-1时f(x)<0, 所以(x)在(0,1)和(a-1,+)上单调递增,在(1,a-1)上单调递减.…(9分) (2)要证72-ax+(a-1)nx≤号(x-1)2-a+2 即证(a-h≤2-号 2 又a>1,只需证h≤ (11分) 令6)2-n则g):+-业>0 (12分) 当0<x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (14分) g≥g(I)=0,即n水≤父,从而原不等式成立,…… (15分) 18.命题透析本题考查函数与导数. 解析(1)当a=1时,f(x)=e-x+2∫'(x)=e-1,… …(1分) 则f2)=e2f(2)=e2-1,… (2分) 所以所求切线方程为y=(e2-1)(x-2)+e2,即(e2-1)x-y-e2+2=0. (4分) (2)令f八x)=ae-x+2=0,得a=-2 e 令gx)=二2,则八x)有且仅有一个零点等价于直线y=a与曲线y=g(x)有且仅有一个交点 …(5分)》 g(x)=3二,则当x<3时g(x)>0,g(x)单调递增,当x>3时,g(x)<0g()单调递减, 所以gx)=(3)=又当一-时,8()一-云,当一+z时g)-0,且g>0,作出g()的大 致图象,如图所示:…(8分) -5— 0 由图可得,实数a的取值范围为(-,0]U{侣} …(10分) (3)由f(x)≥x-lnx+1,得ae-2x+1+lnx≥0. 令h(x)=ae-2x+1+lnx,x≥1,由h(1)=ae-1≥0,可得a≥L …(13分) 当a≥时,h'(x)=ae-2+,易知h'(1)=ae-1≥0. 令m()=h'(),得m()=e-因为a≥≥1,所以ae≥e≥e =1,宁≤1 故m'(x)≥0,即h'(x)在[1,+)上单调递增,h'(x)≥h'(1)≥0. 所以h(x)在[1,+∞)上单调递增.所以h(x)≥h(1)=ae-1≥0,不等式恒成立. 综上,实数a的取值范围为[片,+】 (17分) 19.命题透析本题考查函数与导数. 解析(1)当a=-1时x)=(x2-1)nx,则(x)=2nx+- …(2分) 当0<x<1时,2xhx<0,-1<0,所以(x)<0)单调递减: 当x>1时,2xnx>0,-1>0,所以r()>0x)单调递增 因此,(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). …(5分)) (2)(i)由题意知,(x)=2xnx+2+ 令h(x)=2x2lnx+x2+a,则h'(x)=4x(lnx+1). 当0<x<时,h()<0,当x>时,h()>0, 所以(x)在(0,)上单调递减,在(日,+)上单调递增 所以6()=h(日)=a-点 w (7分) 又当x0时,h(x) a,当x +∞时,h(x) +o, —6— h(x)m=a- 要使h(x)=0有两个不等实根,则 解得0<a<言, a>0 即实数a的取值范围为0,) (9分) (i)要证新名<,即证h()<n,即证n新+n<-2. (i)可知,是了(x)=0的两个正根,且e(0,日)e(日+) [2xiIn x++a=0, 所以 作差,得2(xlnx2-xln)=x-. (11分) 2xln2+x号+a=0, 令1=点>l,则,=,代入上式,得2[n(x)-xnx]=号-, 整理,得n名-分- 2(2-1) 121nt 所以ln名=lnt+ln名=lnt-2-P- (13分) 所以h+h6=-1+h1-2-1+-加1=-1-2 2-1 要证h+h6<-2.即证-1-片1<-2,即证1>1,即证n> -(u>1) 令0=h>1).则p0=20-D=. (2+1)7 (0+1)>0, 所以-(0在1,+)止单测递0放p0>g)=0,即a>成立 所以nx+ln名<-2成立,故x<二得证 (17分) -7