北京市东直门中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高二数学 2026.10 考试时间：120分钟 总分150分 班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________ 第一部分 一．选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知直线经过点和点，则的倾斜角为 A． B． C． D． 2．若，，则直线不经过的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是 A． B． C． D． 4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列四个命题正确的是： A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 5．在中，，则 A． B． C． D． 6．设、，向量，，，且，，则 A． B． C．4 D．3 7．已知点，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是 A． B． C． D．或 8．已知直线，直线，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则 A． B． C． D． 10．过点且与点、距离相等的直线方程为 A．或 B． C． D．或 11．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”．若在四面体中存在“完美顶点”，，，，为的中点，则与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 12．点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动．若面，则的长度范围是 A． B． C． D． 第二部分 二．填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分） 13．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则的坐标为___________． 14．已知向量在向量上的投影向量是，且，则___________． 15．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，则___________． 16．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为___________． 17．已知过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角的取值范围为___________． 18．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是___________． ①．对于任意点，都有 ②．对于任意点，不存在平面 ③．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④．存在点，使得三棱锥体积为 三．解答题：（本题有6道小题，共72分） 19．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （Ⅰ）以为一组基底表示向量； （Ⅱ）若，，，求． 20．在中，角，，所对的边为，，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为18． 21．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求点到平面的距离． 22．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （Ⅰ）求垂心的坐标（垂心是三角形三条高线的交点）； （Ⅱ）求所在的直线方程． 23．如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．设为正整数，集合． 对于集合中的元素和， 记为元素与的相异系数． （Ⅰ）当时，写出与元素的相异系数为3的所有元素； （Ⅱ）当时，证明：对于集合中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3； （Ⅲ）当时，集合中是否存在10个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于11？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $