北京市东直门中学2025-2026学年高二上学期12月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2025-2026学年度第一学期阶段考试 高二数学 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 10. 已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④ 第二部分 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 点到直线距离的最大值为___________. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________． 13. 若双曲线的离心率为，则实数__________． 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则__；__． 15. 曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上的任意两点间的距离不超过4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2． 其中正确的结论序号是___________． 三、解答题：本题共6小题，共85分． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求及的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过，交于，连接． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 19. 设椭圆的右焦点为，过的直线l与交于两点，点的坐标为. （1）当l与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：． 21. 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. （1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； （2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； （3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 北京市东直门中学2025-2026学年度第一学期阶段考试 高二数学 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 第二部分 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①⑤ 三、解答题：本题共6小题，共85分． 【16题答案】 【答案】（1） 证明：矩形中，连接交于点，则为的中点. 连接，因为是的中点，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）选择①，，，选择②，， 【18题答案】 【答案】（1）因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 直角梯形中，， 所以四边形为矩形，所以. ，，所以. 由正弦定理，得，所以. 中，. 所以，所以. 因为平面，所以平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）的方程为或； （2）［方法一］： 当l与轴重合时，. 当l与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为，， 则，直线，的斜率之和为. 由，得. 将代入，得. 所以. 则. 从而，故，的倾斜角互补，所以. 综上，. ［方法二］： 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为， 交椭圆于，． 由，得． 由韦达定理得． 点A关于x轴的对称点， 则直线的方程为． 令，， 则直线过点M，． ［方法三］： 设直线l的参数方程为（t为参数）．（*） 将（*）式代入椭圆方程中，整理得． 则，． 又， 则 ， 即．所以． ［方法四］： 当直线l与x轴重合时，． 当直线l与x轴不重合时，如图，过点A，B分别作准线的垂线， 垂足分别为C，D，则有轴． 由椭圆的第二定义，有，，得，即． 由轴，有，即， 于是，且． 可得，即有． ［方法五］： 椭圆以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得. 设，得到． 所以，． 由角平分线定理的逆定理可知． ［方法六］： 设点O（也可选点F）到直线的距离分别为， 根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证． 当直线l的斜率为0时，易得． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为． 由，得恒成立， 由韦达定理得．． 直线的方程为：． 因为点A在直线l上，所以，故． 同理，则． 因为，所以，即． 综上，． ［方法七］： 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，． 由，得． 由韦达定理得． 所以， 故，的倾斜角互补，所以. ［方法八］： 设，， 所以，由， 作差可得 ， 所以，又，所以， 故， 而，的倾斜角互补，所以. 当时，l与轴垂直，为的垂直平分线， 所以，故． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 由题意可知直线的斜率存在，设其方程为． 则，直线的方程为， 由，得， 由，得， 设，则， 直线的方程为， 联立直线和得， 解得， 同理可得， 所以， 因为 ， 所以，即点和点关于原点对称， 所以． . 【21题答案】 【答案】（1），，， （2）由题意， 假设不存在使得成立， 根据数列定义可知，， 所以，则， 即， 所以，所以，这与已知矛盾， 故若此数列中存在使得， 则存在使得成立． （3）由题意， 必要性： ，，， 则． 因为为单调递增数列， 所以对所有的，或， 否则． 因此，所有的同号或为，即， 所以为单调递增数列． 充分性： 因为为单调递增数列，，且， 所以只能，所以同号或为， 所以对所有的，或， 所以． 所以，即为单调递增数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $