精品解析：安徽阜阳市颍州区程集镇中心学校等校2026-2027学年上学期九年级教学质量检测（一）数学(沪科版)

九年级教学质量检测（一） 数学（沪科版） 注意事项： 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次函数的图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点A在点B的下方 B. 点C在点A的上方 C. 点B在点C的上方 D. 点A，B均在x轴的下方 6. 二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 8. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点 M 的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点 P，使得的周长最小，则点 P 的坐标为（ ） A. (0 ，2） B. ( ，0） C. (0 ，2）或( ，0） D. 以上都不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是____________． 12. 把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 13. 如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 14. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知点和点在反比例函数的图象上，求的值． 16. 已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，抛物线与直线交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，若与的距离为5，求的值． 20. 如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 21. 如图，反比例函数（）与一次函数交于一点． （1）求b与k的值； （2）将一次函数向上平移n（）个单位与反比例函数交于一点B，连接A、O、B，当时，求n的值． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）、月销售利润（元）的部分对应值如表： 售价（元/件） 40 45 月销售量（件） 300 250 月销售利润（元） 3000 3750 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求的取值范围． 23. 已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点A，B，点A在点B 的左侧． （1）当抛物线L经过点时， （i）若 ，求抛物线L的顶点坐标； （ii）若 求a的值． （2）当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学质量检测（一） 数学（沪科版） 注意事项： 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次函数的图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：二次函数的图象开口向下，则二次项系数小于0，观察四个选项，只有符合． 2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入解析式得，， ． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标．根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案．抛物线顶点式顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即． 5. 已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点A在点B的下方 B. 点C在点A的上方 C. 点B在点C的上方 D. 点A，B均在x轴的下方 【答案】C 【解析】 【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点中心对称，根据题意画出对应图象，结合图象判断选项即可． 【详解】解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确． 6. 二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 7. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∵与之间的函数关系式为，在第一象限，随的增大而减小， ∴当由 升到时，并结合图像，应该将张力减小至， 故选：D． 8. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知交点的坐标求出反比例函数的解析式，再联立反比例函数与一次函数的方程求解，排除点对应坐标后即可得到点坐标． 【详解】解：点在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数解析式为， 联立两个函数的方程：  整理得：， 因式分解为， 解得（对应点的横坐标），（对应点的横坐标） 将代入一次函数， 得， ∴点B的坐标为． 9. 已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向，对称轴和与y轴的交点位置得到，，，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标得到，即可判断②；将代入得到，表示出，然后代入即可判断③；由图象得，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和0之间，另一个交点坐标为 ∴抛物线的对称轴 ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ∴ ∴ 由图象得，当时， ∴ 整理得，，故③正确； 由图象得，当时，，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为3． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点 M 的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点 P，使得的周长最小，则点 P 的坐标为（ ） A. (0 ，2） B. ( ，0） C. (0 ，2）或( ，0） D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点， 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数上中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随的增大而增大是解答此题的关键． 根据图象经过第二、四象限得出k的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 故答案为：． 12. 把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 13. 如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 14. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 【答案】 ①. 6 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点的坐标，可得到n的值，即可求解． 【详解】解：（1）当时，抛物线的表达式 它的对称轴是直线． 故答案为：6 （2）当时，抛物线的表达式， 它的对称轴是直线， 是的中点， 点的坐标为， 把它代入，得：， 解得． 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是和1，与图象不符，应舍去； 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是1和5，符合题意， 的值为3． 故答案为：3． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知点和点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入，求出k的值，得出反比例函数解析式，再将代入即可求出b的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：． 16. 已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象经过三点， ∴， 解得， ∴ 该二次函数的表达式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，抛物线与直线交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，图象法求不等式的解集，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出和的值即可； （2）联立解析式，求出点的坐标，再根据图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知抛物线和直线的解析式分别为：，， 联立，解得或， ∴， 由图象可知：不等式的解集为． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可设该抛物线的函数解析式为，整理并化简，结合常数项相同可得，求解即可确定的值，然后计算的值即可； （2）根据二次函数图像的对称性可得，整理即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线的顶点为， 可设该抛物线的函数解析式为， 化简得，则， ， ， ，即，； 【小问2详解】 ∵点，在该抛物线上， ， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，若与的距离为5，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】由点A、C在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点B、D的坐标，再根据得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：设，， 又∵点B、D在反比例函数的图象上，轴， ∴，， 由题意得，，， ∴，， ∵与的距离为5， ∴， ∴， 解得：． 20. 如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） 解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下： 如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E 根据题意得，， ∴ ∴ ∴将代入 ∴ ∴ ∴他能刷到正上方的玻璃隧道． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E，首先求出，，然后求出，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 21. 如图，反比例函数（）与一次函数交于一点． （1）求b与k的值； （2）将一次函数向上平移n（）个单位与反比例函数交于一点B，连接A、O、B，当时，求n的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点分别代入反比例函数，一次函数即可求解； （2）分别过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，过点作轴的垂线，垂足为，根据，建立方程求解得到，由一次函数平移的规律得到平移后的解析式为，将代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，则，解得； 将点代入一次函数，则，解得； 【小问2详解】 解：分别过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，过点作轴的垂线，垂足为， 则四边形是矩形，，，， 设， ∵， ∴， 整理得 解得或（舍去）， 则， ∴， 将一次函数向上平移n（）个单位后的解析式为， 则，解得． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）、月销售利润（元）的部分对应值如表： 售价（元/件） 40 45 月销售量（件） 300 250 月销售利润（元） 3000 3750 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元 （3）m的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润（单件利润）销售量列出函数解析式，再根据时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由表中数据知，每件商品进价为（元）， 设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为4000， ∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，为整数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴m的取值范围为． 23. 已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点A，B，点A在点B 的左侧． （1）当抛物线L经过点时， （i）若 ，求抛物线L的顶点坐标； （ii）若 求a的值． （2）当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： 【答案】（1）（i）抛物线L的顶点坐标为，（ii）a的值为或 （2） 证明：当时，则 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（i）先理解题意，当时，把代入解得，即，故抛物线L的顶点坐标为； （ii）依题意，把代入得则抛物线L的对称轴为直线，再进行分类讨论，根据，列式计算，即可作答． （2）当时，则，结合，故，得，再整理得，因为，，即． 【小问1详解】 解：（i）当时，把代入 得， 解得， ∴抛物线L的顶点坐标为． （ii）将代入得， ∴， ∴ ∴抛物线L的对称轴为直线． 当点A在y轴左侧时，设，其中， ∵， 则， ∴ 将代入得， 解得 当点A在y轴右侧时， 设，其中， ∵ 则， ∴ 将代入得 解得 综上，a的值为或； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $