精品解析：安徽省铜陵市枞阳县2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　） A. B. C. D. 6. 在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（ ） A. B. 方程有两个相等的实数根 C. 当时， D. 抛物线与轴的另一个交点是 10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 12. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______． 13. 若抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为_________． （2）当点M在上移动时，的最小值为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 16. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？ 18. 如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园作为学生的实践基地．已知矩形菜园的一边靠墙（墙足够长），另三边一共用了木栏．请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数的图像的顶点为． （1）求，的值； （2）当时，求的取值范围． 20. 已知二次函数（是常数）． （1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． （2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 六、（本题满分12分） 21. 如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． （1）求的值； （2）若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 七、（本题满分12分） 22. 又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）． （1）当日销售量不低于时，的取值范围是______； （2）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； （3）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意； B、，是二次函数，符合题意； C、，是一次函数，不符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：B ． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的顶点坐标为．利用抛物线顶点式的特点即可求得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线顶点坐标为， 故选：C． 3. 把抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，平移后抛物线的表达式是， 故选：A． 4. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据顶点式可得顶点坐标为，即对称轴为，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴顶点坐标为， ∴对称轴为， 故选：D ． 5. 下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出各二次函数图象与y轴的交点，即可求解． 【详解】解：A：令，，交点在x轴上方，不符合题意； B：令，，交点在x轴下方，符合题意； C：令，，交点在x轴上方，不符合题意； D：令，，交点在坐标原点，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．注意计算的准确性． 6. 在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，图像开口向下，根据函数的增减性即可求解． 【详解】解：已知， ∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当 随 的增大而减小时， 的取值范围为， 故选：A ． 7. 二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据表格可得二次函数的对称轴为，图形经过，把代入二次函数可得，由此即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ∴二次函数图象的对称轴为， ∴， 当时，， ∴， 故选：B ． 8. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故选：A ． 9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（ ） A. B. 方程有两个相等的实数根 C. 当时， D. 抛物线与轴的另一个交点是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据二次函数图象可得判定A选项；根据二次函数的顶点坐标可判定B选项；根据图示信息可判定C选项；根据对称轴与二次函数与轴的交点可得另一个交点，判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象开口向下，与轴的交于正半轴， ∴， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， ∴，故A选项错误，符合题意； ∵二次函数的顶点坐标为，即当时，， ∴有两个相等的实数根，，故B选项正确，不符合题意； 根据图示可得，当时，，故C选项正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的横坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故D选项正确，不符合题意； 故选：A ． 10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点； ∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意； B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意； C、D选项均不符合该种情况； 当时，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意，把原点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴，且 解得，，， ∴的值为， 故答案为： ． 12. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．把二次函数配方可得，推出，求出，最后根据即可求解． 【详解】解：， 二次函数由一般式化成顶点式为， ， 解得：， ， 故答案为：． 13. 若抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．由关于的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】解：抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，， 联立二次函数及一次函数解析式可得，即， 关于的方程的解为，； 故答案为：，． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为_________． （2）当点M在上移动时，的最小值为_________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意作图，可证，可得，由此即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接，，可得为等腰三角形，可得点在直线上运动，当时，的值最小，作轴，由（1）的证明方法可得，设，可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，可得是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， （1）当是的中点，如图所示， ， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：4； （2）， ， ， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， ，即是等腰三角形， 点在上运动时，始终是等腰三角形， 点在直线上运动， 当时，的值最小， 如图所示，过点作轴于点， 在和中， ， ∴， ，， 设，则， ，点，且， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为：， 设直线与轴交于点，当时，， ， ， ， ， ，且， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，轴对称等知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质及运用是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 16. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【答案】点的横坐标为，点的横坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组得， ，整理，得， 解得，或， ∴交点坐标为， ∵点在点 的左侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】（1）该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （2）当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大 【解析】 【分析】（1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据对称轴方程及顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的随的增大而减小和增大而增大时x的值； 【小问1详解】 解：∵，， ∴该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键 18. 如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园作为学生的实践基地．已知矩形菜园的一边靠墙（墙足够长），另三边一共用了木栏．请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大． 【答案】当长为，宽为时，矩形菜园的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设，则，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式得到关于、的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则，设矩形菜园的面积为， ， 当时，最大，最大值为， ， 当长为，宽为时，矩形菜园的面积最大，最大值为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数的图像的顶点为． （1）求，的值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． （1）根据题意可设二次函数的顶点式为，再将其化简即可求解； （2）结合的函数图像，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像的顶点为， 设该二次函数的顶点式为，化简得， ，； 【小问2详解】 当时， ， ， ， ， ，， 由图可知，当时，或． 20. 已知二次函数（是常数）． （1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． （2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图形与轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，计算即可． （2）根据题意把x=－1代入=0求出m，得到关于x的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程=0有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac＞0，即0，解得； （2）∵二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为(-1，0)， ∴，解得， ∴一元二次方程=0为0，解得，． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，方程ax2+bx+c=0的两根就是抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标． 六、（本题满分12分） 21. 如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． （1）求的值； （2）若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，二次函数图象的平移， （1）根据的值确定，运用待定系数法可求出直线的解析式，根据题意，设，再根据，可求出，点，再运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”确定二次函数解析式，再把点代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵二次函数与直线在第一象限交于点， ∴设，则点到轴的距离为， ∵，即， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得，． 七、（本题满分12分） 22. 又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）． （1）当日销售量不低于时，的取值范围是______； （2）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； （3）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）根据利润（售价成本价）销售量，进行求解即可； （3）根据（2）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元． ， 故答案为：； 【小问2详解】 当时，即日销售量不低于时，； ∵， ∴， 当时，即每日销售量低于时，； 综上所述，日获利与销售单价之间的函数关系式为； 【小问3详解】 当时，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大，最大值为（元）； 当时，， 当时，最大，最大值为元， ， 当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数解析式为：； （2）①点E的坐标为；②点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数图象的性质求最值的方法，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段的数量关系是解题的关键． （1）把A，C的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据二次函数图象的性质可得，运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，由此可得，关于p的代数式，根据列式求解即可；②根据，运用二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把A，C的坐标代入得：， 解得，， ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：①由（1）可得二次函数解析式为， ∴令时，， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点P是第一象限内抛物线上点， ∴设， ∵轴交直线于点E， ， ， 当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， ， ∴当时，点E的坐标为； ②已知， ， ∴当时，有最大值，且最大值为， 此时， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $