精品解析：江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

南航苏州附中2026-2027学年第一学期高一年级10月限时练习 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，下列对应关系能构成从集合到的函数的是（ ） A. ，，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，，对应关系 D. ，，对应关系 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为或,则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 6. 定义一种运算：.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．错选不得分，漏选得部分分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 设集合，若，则或 C. 命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 D. 已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则的真子集的个数为7 10. 设集合或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数，满足，则的最小值为3 D. 设，且，则的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是______． 13. 已知为正实数，则的最小值为__________． 14. 已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知集合， （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知、均为正数． （1）若，求的最小值，并求出此时和的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时的值： （3）若，求的最小值，并求出此时和的值． 18. 某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2026-2027学年第一学期高一年级10月限时练习 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，则. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有存在量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论． 【详解】命题“，”的否定为“，”． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，解得， 由，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 4. 托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，下列对应关系能构成从集合到的函数的是（ ） A. ，，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，，对应关系 D. ，，对应关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念进行判断即可. 【详解】对A：因为，但是，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应， 所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：集合中存在元素，按对应法则计算得对应的像为,而，集合中无元素与对应，所以不合题意； 对C：对，中存在对应元素且唯一存在，故能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为或,则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】A 【解析】 【详解】选项 A 因为不等式 的解集为 或 ， 所以且是方程 的两个根； 由韦达定理得 ， ， 所以 ，选项 A 正确； 选项 B 由选项 A 知 ，所以 ， 选项 B错误； 选项 C 不等式 即 ，因为 ，所以 ， 其解集为 ，选项 C 错误； 选项 D 不等式 即 ，两边同除以 （ ）得 ，即 ，解得 或 ， 其解集为 或 ，选项 D 错误. 6. 定义一种运算：.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 7. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 8. 已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围. 【详解】若，解不等式，即，解得，即， 当时，集合中的所有整数之和取最大值为，不合乎题意； 若，则，不合乎题意； 若，则，，且集合中所有整数元素之和为， 且，因此，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．错选不得分，漏选得部分分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 设集合，若，则或 C. 命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 D. 已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则的真子集的个数为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A根据不等式性质的同向可加性可求； 选项B若 ，则 ，得 ；或 ，求解后验证是否符合集合元素的互异性； 选项C原命题是假命题，可以先求原命题为真命题时的取值范围，然后取补集即可； 选项D因为，所以的所有可能取值为 -2，0，2 ，真子集个数可求. 【详解】选项 A：因为 ，所以 ；又 ，所以 ，两式相加得 ，选项 A 正确； 选项 B：若 ，则 ，得 ；或 ，即 ，解得 或 ；当 时， ，与集合中元素 2 重复，不合集合中元素的互异性，舍去，故 或 ，选项 B 正确； 选项 C：命题＂＂为真命题时， ，得 ；故其为假命题时， 或 ，而非 ，选项 C 错误； 选项 D：因为，所以的所有可能取值为 -2，0，2 ，即 有 3 个元素，故 M 的真子集个数为 ，选项 D 正确. 10. 设集合或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值即可判断选项A；利用元素和集合关系即可判断选项B；应用交集及并集结果建立不等关系即可判断选项C，D. 【详解】对于A，由，取，则，此时不成立，故A错误； 对于B，若，则满足解得：，故B正确； 对于C，若，则，解得：，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解， 所以若，则，故D错误. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数，满足，则的最小值为3 D. 设，且，则的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】换元后利用基本不等式可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；完全平方后，再利用基本不等式分析即可得出选项D. 【详解】对于A，令，则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以等号不成立，所以的最小值不等于2，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，则， 又，所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 ⫋ ，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意可解得, ，由题意可得⫋ 则，解得， 所以的取值范围是. 13. 已知为正实数，则的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为6. 故答案为：6 14. 已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用列举法，结合并集的定义即可求解. 【详解】时，，则满足的有: 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上可得. 故答案为：27 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由， 则； 【小问3详解】 由或，， 则或或 16. 已知集合， （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先解出分式不等式，得到集合．再分析得集合是集合的子集，则得到不等式组，解出即可． （2）由，得．按照和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 ，即，即， 等价于，解得，所以． 由，可得集合是集合的子集， 则，解得， 故实数的取值范围是． 【小问2详解】 由，得． 又，， ①当时，，解得； ②当时，则，解得， 综上，，所以实数的取值范围为． 17. 已知、均为正数． （1）若，求的最小值，并求出此时和的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时的值： （3）若，求的最小值，并求出此时和的值． 【答案】（1）最小值为16，此时 （2）最小值为，此时 （3）最小值为9，此时 【解析】 【小问1详解】 由，、均为正数， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时. 【小问2详解】 由，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，此时. 【小问3详解】 由，、均为正数， 而，当且仅当时等号成立， 则，即或（舍去），则， 所以的最小值为9，此时. 18. 某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值． 【答案】（1）2 （2） （3）投入3万元时，厂家的利润最大，利润最大为29万元 【解析】 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售收入减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2027年的利润. 【小问3详解】 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2027年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19. 已知函数，． （1）当时，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）或 （2） （3）当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，当时和当时，列出不等式组求解即可； （3）分类讨论，，，，，，结合一元二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 当时，，解得或， 所以的解集为或． 【小问2详解】 当时，，符合题意； 当时，不等式对一切实数恒成立， 则有，即， 综上所述，． 【小问3详解】 ， ①当时，； ②当时，或； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $