精品解析：北京市昌平区第二中学2026-2027学年度高一第一学期数学学科十月月考试卷

昌平二中2026-2027学年度高一第一学期数学学科十月月考试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题中选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，都有 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是“，都有”， 其否定为：，使得. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，由不等式性质得，B正确； C选项，不妨设，此时满足，但，C错误； D选项，， 因为，所以，但不确定的正负，若，则， 若，则，若，则，D错误. 故选：B 4. 已知集合，则A的真子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】集合元素个数和子集个数的关系. 【详解】解不等式得，又因为，所以，集合A中有三个元素， 所以集合A的真子集个数为个. 5. 全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定，进而求得结果. 【详解】因为不等式的解集为， 所以， 解得. 所以不等式化简得，即， 解得. 故选：B. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再根据集合关系判断充分必要条件. 【详解】由得，整理得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 8. 已知函数，那么当取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合等号成立的条件，即可求解. 【详解】由，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以取得最小值时，的值是. 9. 关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是（ ） ①不等式的解集可以是 ②不等式的解集可以是 ③不等式的解集可以是 ④不等式的解集可以是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】①当且时，二次函数图象开口向上，与轴无交点，恒成立，解集为，①正确. ②若解集为，不等式只能是一次不等式，即， 不等式化为，解得，令，得，不等式为，解集为，②正确. ③若解集是空集，则要求对任意实数都不成立，即恒成立. 如果不可能恒成立；如果，二次函数要恒小于等于 0 必须， 此时二次函数最大值，但常数项为3，当时代入得，一定满足不等式，解集不可能为空集，③错误. ④若解集为，说明，方程两根为， 由根与系数的关系得，，解得，，得， 不等式，即，解集为，④正确. 综上，①②④正确，一共 3 个. 10. 设全集，集合、是的子集，若，就称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）（规定与是两个不同的“理想配集”） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定1、2必同时在、中，剩余3个元素各有3种归属方式，由分步乘法计数原理计算求解． 【详解】，元素必须同时在、中，剩下的元素中， 每个元素都有三种选择：在中不在中，在中不在中，既不在中也不在中， 故每个元素有3种情况，即种，符合此条件的个数是种． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 方程的两根为，，则_______，_______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】由韦达定理得． 12. 已知集合，集合，若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【详解】，解得，故， 已知，当时，无解，此时； 当时，若时，，解得； 若时，，解得； 综上，或或． 13. 已知函数，当_______时，有最小值且最小值等于_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值且最小值等于. 14. 若“关于的不等式在上恒成立”为假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得不等式恒成立时，实数的取值范围，进而得到答案. 【详解】由不等式在上恒成立，则，解得， 因为不等式在上恒成立为假命题，可得或， 所以实数的取值范围为. 15. 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么.某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有_______人. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设参加各类课外活动的学生的集合，找出各类课外活动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合参加舞蹈课外活动的学生，集合参加唱歌课外活动的学生，集合参加体育课外活动的学生， 由题意可得，，，， 设总人数为，图中三块阴影区域的人数分别为， 即，，，， 所以 ， 所以接受调查的小学生共有人. 三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； （3）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由交集，补集定义结合题设可得答案； （2）由题可得为子集，据此可得答案； （3）分为空集，不为空集两种情况讨论，结合题设可得答案. 【小问1详解】 ，则. 当时，，则或，； 【小问2详解】 由题可得为子集，又不为空集，则； 【小问3详解】 当时，满足题意，此时； 当时，，又，则或， 得，综上可得：或. 17. 已知函数. （1）若，求的解集； （2）若方程有两个实数根，，是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）不存在实数k，使成立. 方程有两个实数根，， 从而，解得， 由韦达定理可知，，，， 所以，解得. 又，矛盾，所以不存在实数k，使成立. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）先利用判别式法求得，再结合韦达定理列方程求得，即可判断. 【小问1详解】 当时，即，化简得， 解得或，所以的解集为或； 【小问2详解】 略 18. 以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为. （1）该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为） 【答案】（1）该单位每月处理成本的最小值百元，最大值百元. （2）每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数单调性求解最值. （2）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值. 【小问1详解】 对称轴. 函数在单调递增. 当时，. 当时，. 所以该单位每月处理成本的最小值百元，最大值百元. 【小问2详解】 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然. 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立. 故每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 19. 解关于的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，原不等式化为， 若，即，解得； 若，即时，解得或； 若，即时，解得或. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20. 设数集由实数构成，且满足①，；②若，则． （1）若，则在中必含有其他两个数，试求出这两个数； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】（1）、 （2）至少含个元素，理由如下： 任取，由条件②知，，， 若、、中有两个相等，不妨设，可得， ，则方程无实数解， 同理可知，，即、、两两不相等，故中至少含个元素． （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合递推规则，将反复代入迭代计算，求出另外两个元素； （2）任取集合内元素连续迭代生成三个表达式，证明三者互不相等，确定集合至少3个元素； （3）根据元素个数为的倍数先锁定元素数量，再结合乘积条件确定属于集合，利用总和求出另一组三元循环，合并得到集合． 【小问1详解】 已知，由条件②，将代入： ， 将代入：， 故中必含的另外两个数为、． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 集合元素为的倍数，且不超过，则元素个数为或， 若元素个数为，三元组乘积为，其中一个元素的平方等于总乘积， 即，无实数解，舍去； 若元素个数为，是组三元组循环，总乘积为，由得， 又，故， 含的三元组为，元素的和为， 已知所有元素和为，故另一组三元组的和为， 设另一组初始元素为，则， 则，解得，，， 对应三元组， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平二中2026-2027学年度高一第一学期数学学科十月月考试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题中选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，都有 D. ，使得 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合，则A的真子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 5. 全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，那么当取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是（ ） ①不等式的解集可以是 ②不等式的解集可以是 ③不等式的解集可以是 ④不等式的解集可以是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 设全集，集合、是的子集，若，就称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）（规定与是两个不同的“理想配集”） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 方程的两根为，，则_______，_______． 12. 已知集合，集合，若，则的值是_______． 13. 已知函数，当_______时，有最小值且最小值等于_______. 14. 若“关于的不等式在上恒成立”为假命题，则实数的取值范围是_______. 15. 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么.某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有_______人. 三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； （3）若，求实数m的取值范围. 17. 已知函数. （1）若，求的解集； （2）若方程有两个实数根，，是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由. 18. 以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为. （1）该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为） 19. 解关于的不等式. 20. 设数集由实数构成，且满足①，；②若，则． （1）若，则在中必含有其他两个数，试求出这两个数； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $