精品解析：北京市丰台区怡海中学2026-2027学年高一年级第一学期10月统测数学试卷

怡海中学2026-2027学年度第一学期高一年级10月统测 数学试卷 命题人：高一数学教研组 考试时间：90分钟 考试分值：100分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各项中不能构成集合的是（ ） A. 方程的实数解 B. 所有的正方形 C. 跑得比较快的运动员 D. 怡海中学具有教师资格证的所有人 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，．”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知 ，则函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 无最小值 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 设，，，若，则_______． 12. 已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为______，______. 13. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 14. 如图，怡海中学高一年级数学组需要从纸壳边角料上截取矩形纸片加以利用．已知，设，当截取的矩形纸片的面积最大时，___________，___________ 15. 设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是________ ①．正整数集是“闭集合” ②．集合是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 ④．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设集合 ，，，求： （1）； （2）； （3） 17. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知集合． （1）当时，求； （2）请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 20. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怡海中学2026-2027学年度第一学期高一年级10月统测 数学试卷 命题人：高一数学教研组 考试时间：90分钟 考试分值：100分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各项中不能构成集合的是（ ） A. 方程的实数解 B. 所有的正方形 C. 跑得比较快的运动员 D. 怡海中学具有教师资格证的所有人 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：方程的实数解为，，元素确定，故A能构成集合； 选项B：所有的正方形对象明确，可以构成集合； 选项C：“跑得比较快” 没有明确统一的判定标准，无法确定谁属于这个群体，不满足确定性，不能构成集合； 选项D：怡海中学具有教师资格证的所有人，有没有证书是客观可判定的，元素确定，可以构成集合． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 因为，， 所以． 3. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 4. 命题“，．”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念直接可得. 【详解】命题“，．”的否定是，， 故选：D. 5. 已知 ，则函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则函数 的最小值为． 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项根据不等式性质直接表示出来，C选项利用交叉相乘作比较，D选项用作差法进行求解。 【详解】选项A：因为且为正数，两边同乘以负数，则. 选项B：由于，则. 选项C：因为，，所以， 由，，得，即 则，两边同时加，即，即， 两边同时除以正数，得. 选项D：分母，，用作差法比较： 分子：，，故； 分母：，，故. 因此，即. 7. 用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 8. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 9. 已知，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ． 10. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 设，，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】，，且， 根据集合相等条件可得，，即， 所以． 12. 已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为______，______. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用不等式性质，分析使得该命题为假命题的满足的条件，再取一组值即可. 【详解】根据题意，若，则，又，则， 故要说明该命题为假命题，则只需即可， 也即在的前提下，满足的均可； 故可取，（答案不唯一）. 故答案为：，，（答案不唯一）. 13. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解． 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是． 14. 如图，怡海中学高一年级数学组需要从纸壳边角料上截取矩形纸片加以利用．已知，设，当截取的矩形纸片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【详解】设矩形纸片的面积为， 因为，所以，解得 ， 所以 ，则 ， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时 ． 15. 设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是________ ①．正整数集是“闭集合” ②．集合是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 ④．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】①③④ 【解析】 【详解】对于①，对任意的、，必有成立，故正整数集是“闭集合”，①正确； 对于②，对于，因，故集合不是“闭集合”，②错误； 对于③，若取，因、、均在集合中，即为“闭集合”，③正确； 对于④，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，④正确． 三、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设集合 ，，，求： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）； （2）； （3）或； 【解析】 【小问1详解】 由，，可得. 【小问2详解】 因为或，，所以． 【小问3详解】 因为或，或， 或． 17. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）或 （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 由，得，即， 所以或， 故不等式的解集为或 【小问2详解】 由，得，所以， 故不等式的解集为． 【小问3详解】 由，得，所以， 故不等式的解集为． 【小问4详解】 因为， 所以无解，即不等式的解集为． 18. 已知集合． （1）当时，求； （2）请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2）选择①或选择②或选择③， 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得； （2）选不同条件，都可得，分为空集、为非空集合两种情况，列不等式组求解的范围． 【小问1详解】 已知， 当时，． 因为，所以， . 【小问2详解】 选条件①：因为，所以． 当时，满足，即，解得． 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件②：因为，所以． 当时，满足，即，解得． 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为 选条件③：因为是的充分条件，所以． 当时，满足，即，解得． 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为. 19. 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）元 （2）当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件定价为元，依题意得 ， 整理得 ，解得 ． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【小问2详解】 依题意知，当 时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 20. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $