精品解析：云南省昭通市文屏镇中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的轴截面为，在空间直角坐标系中，点，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 8. 山东省大力推广山地光伏发电项目，光伏板由钢制支架支撑.支架设置斜向支撑钢杆，用来抵抗风力，保证支架稳定，为进行自动化监测，在光伏板边缘安装传感器.数学建模：以地面锚固点A为原点建立空间直角坐标系，坐标系中1个单位长度表示1米.若斜支撑钢杆所在空间直线l经过地面锚固点，且其方向向量为，传感器安装在光伏板边缘，位置记为点，则传感器所在位置P到斜支撑钢杆l的距离约为（参考数据：）（ ） A. 2.04米 B. 2.05米 C. 2.06米 D. 2.08米 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线与直线平行，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在圆柱中，分别是圆､圆的直径，四边形是边长为4的正方形，是弧的中点，是弧上更靠近的三等分点，且在平面的同侧.以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，点的坐标为，则（ ） A. 的坐标为 B. 的坐标为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 11. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，平面，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则________. 13. 已知空间中任意一点满足，且四点共面，则__________. 14. 如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，在平行六面体中，，且. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求异面直线与所成的角. 18. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. （1）求的截距式方程； （2）已知与关于直线对称，求； （3）在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 3. 在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为分别为的中点， 所以且，且， 与相交，与异面， 所以与向量相反的向量为. 4. 若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若向量与共面，则存在实数，，使得， ， 对各选项逐一验证： 对于A：，假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B：假设， 比较系数使 由得，方程组无解， 不存在实数得等式成立，三个向量不共面，可以构成基底，故B正确； 对于C：假设， 比较系数使，方程组有解， ，向量共面，不能构成基底，故C错误； 对于D：假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故D错误. 5. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意可设所求直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 故所求直线的方程为. 6. 已知圆锥的轴截面为，在空间直角坐标系中，点，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意圆锥底面的半径，圆锥的高， 所以圆锥的体积为. 7. 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平面与平面的法向量分别为，，求出，再结合逐一判断即可. 【详解】，设平面与平面的法向量分别为，. ，令，，. 由平面平面，. 当时，，A错误. 当时，，B错误. 当时，，C错误. 当时，，D正确. 8. 山东省大力推广山地光伏发电项目，光伏板由钢制支架支撑.支架设置斜向支撑钢杆，用来抵抗风力，保证支架稳定，为进行自动化监测，在光伏板边缘安装传感器.数学建模：以地面锚固点A为原点建立空间直角坐标系，坐标系中1个单位长度表示1米.若斜支撑钢杆所在空间直线l经过地面锚固点，且其方向向量为，传感器安装在光伏板边缘，位置记为点，则传感器所在位置P到斜支撑钢杆l的距离约为（参考数据：）（ ） A. 2.04米 B. 2.05米 C. 2.06米 D. 2.08米 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得，因此， 因为方向向量，所以 所以，，所以， 故P到斜支撑钢杆l的距离为， 因为，得米. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线与直线平行，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两直线平行的系数关系列式，求出参数后要检验，排除使直线方程不成立或两直线重合的情况. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或. 当时，即为，这显然不成立，所以.经检验，符合题意. 10. 如图，在圆柱中，分别是圆､圆的直径，四边形是边长为4的正方形，是弧的中点，是弧上更靠近的三等分点，且在平面的同侧.以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，点的坐标为，则（ ） A. 的坐标为 B. 的坐标为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据和的长度代入即可得出点的坐标，根据圆的性质即可得出点的坐标，分别用向量表示和，代入计算即可得出异面直线与所成角的余弦值，判断的外接圆心的位置进而推出三棱锥外接球的球心的所在直线的位置，将点和点的坐标代入球的方程即可得出半径. 【详解】由题可得，，， 因为四边形是边长为4的正方形，且平面， 所以点坐标为，故A正确； 因为点是弧上更靠近点的三等分点，且点在平面上连接， 所以，所以，即点坐标为，故B错误； 设异面直线和所成角为， 因为，， 则，故C正确； 如图可得，圆是的外接圆，圆心为点， 所以的外接圆的圆心坐标为，则三棱锥外接球的球心在轴上， 设三棱锥外接球的球心坐标为，半径为， 则外接球方程为， 将点和代入方程得， 解得，所以三棱锥外接球的半径为，故D正确. 11. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，平面，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质即可判断A，根据线线平行即可求解B，根据投影向量的定义即可求解C，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A,由于平面，平面，故,进而，A正确， 对于B,取中点，连接,由于,故且，因此四边形为平行四边形，故，由于点在线段上，不在直线上，因此与不平行，因此不存在，使得，B错误， 对于C,由于 故向量在向量上的投影向量为，C正确， 对于D, 如图，建立平面直角坐标系，设，则， 当时，取到最小值12，当或8时，取到最大值，故的取值范围为，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知空间中任意一点满足，且四点共面，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【详解】由空间中任意一点满足，得点可以不在平面内， 而四点共面，则，解得. 14. 如图，已知四边形为正方形，记所在直线的斜率分别为.若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 四边形是正方形，为正方形对角线， 直线倾斜角为，直线倾斜角为， 于是： ， ， ， 已知，代入： ， 通分整理： ， ， ， ， ， 因式分解：，得或， ①当时， ，， ， ②当时， ，此时，与题图中对角线斜率为正矛盾，舍去， 综上，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 【答案】（1） （2）5 （3）. 【解析】 【分析】（1）首先根据两点坐标求直线斜率，再代入点斜式方程整理为斜截式即可； （2）利用点C在直线上，将C点坐标代入方程求解； （3）首先利用中点坐标公式求出AB边的中点坐标，再根据两点坐标求该直线的斜率，写出点斜式方程后整理为一般式即可. 【小问1详解】 因为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 若，，三点共线，则点在直线上， 所以点的坐标满足方程，则. 【小问3详解】 由题意得线段的中点为. 若，则，则， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线，结合平行线的传递性，可得，进而根据线面平行的判定求解即可， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，，两两垂直．设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17. 如图，在平行六面体中，，且. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求异面直线与所成的角. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间的基底表示向量. （2）利用空间向量数量积的运算律列式求出. （3）利用空间向量数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在平行六面体中， ， . 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 而，且， 于是， 所以. 【小问3详解】 由（1）知， 由（2）得， 又， 则 ， 因此， 所以异面直线与所成的角的大小为. 18. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为1. （1）求的截距式方程； （2）已知与关于直线对称，求； （3）在（2）的情况下，若一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，最后回到点，求该光线所经过的路程长度. 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解； （2）设直线上任意一点的对称点坐标，通过坐标关系求解； （3）计算点关于直线和的对称点分别为，该光线所经过的路程长度即两个对称点间的距离. 【小问1详解】 设的截距式方程为：，将点代入方程，则，解得，， 则的截距式方程为：. 【小问2详解】 设直线上任意一点为，其关于直线的对称点为，将代入直线的方程得，化简得， 所以. 【小问3详解】 设点关于直线的对称点为， 则解得，所以， 设点关于直线的对称点为，直线的方程可化为：， 则解得，所以， 所以该光线所经过的路程长度为：. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】（1）因为，是的中点，所以， 因为是正方形，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求证平面即可； （2）①以为原点建系，计算平面的法向量，再利用距离公式计算； ②设，得出，结合得出，再利用公式求出线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角为，，，所以， 因为，，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，所以， 因为，所以，则， 则点到平面的距离为； ②设， 则， 因为在平面上的射影为，所以， 则，得，则， 设，其中，则， 则， 则， 若，则； 若，则， 因为，所以，则当时，有最大值， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $