精品解析：云南昆明市第八中学2026-2027学年上学期学情检测一高二数学试卷A卷

昆八中高2026-2027上学期学情检测一 高二数学试卷A卷 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 若角的终边上一点的坐标为，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离， ∴， 故选：C. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 4. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以. 5. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 6. 已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ） A. 存在，使得相交 B. 存在，使得 C. 存在，使得的夹角为 D. 存在，使得 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可. 【详解】解析：对于选项A，若，任意直线不相交，矛盾； 对于选项B，若与相交，不存在直线，使得，矛盾； 对于选项C，若，任意直线，矛盾； 对于选项D，若，任意直线； 若，存在直线，令，则； 若与相交，存在平面，令，则，D正确． 7. 某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用全概率公式求出顾客加珍珠的总概率，再用贝叶斯公式计算在加珍珠条件下点乌龙奶芙的概率． 【详解】设事件为“顾客点乌龙奶芙”，事件为“顾客点生椰拿铁”，事件为“顾客点单加珍珠”， 由题意：， 所以， 所以， 因此，某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为． 8. 设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及先求；再推出为等比数列，并逐项验证各选项. 【详解】对任意有. 当时，，又，故，得，故A正确. 当时，，代入得. 结合可推得（）， 故是首项为4、公比为的等比数列，，故B正确. 进而，即，从而，，故C错误. 又，且随增大而趋近于8但取不到8，故恒成立，故D正确. 10. 如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于30° 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆台的基本概念，线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由母线的概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点， 连接， 可知，因为，所以， 因为为中点，为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面，所以， 因为为中点，所以，所以B正确； 因为平面，所以，因为， 又因为面，面，， 所以平面，所以，所以C正确； 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以面， 所以平行于平面与平面的交线， 因为平面，， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D正确； 故选：BCD. 11. 设向量，，满足，，，则的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】利用题目的条件，得到，设，，，分点在的内部以及外部两种情况，结合得到点的轨迹，最后根据圆的性质即可得到的范围． 【详解】因为，所以， 设，，，则， ①如图，若点在的内部，则， 由题意与的夹角， 所以，故四点共圆， 因为，所以圆的直径， 因此，即； ②如图，若点在的外部， 此时有，， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 此时， 综上所述，，因此的值可以是2或4． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程化成一般式，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，若对于任意，恒成立，则符合条件的公差的一个取值为_________． 【答案】（答案不唯一，均可） 【解析】 【分析】根据求出，由题意可知，解不等式组即可求解. 【详解】由得，解得， 由得，即，解得. 14. 已知球的体积为，，，，四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的边长等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式求出半径，设边长为，求出正三棱锥的高，在中，列方程即可求解. 【详解】因为球的体积为，所以，解得， 设的边长为， 为的中心，则， 因为， 所以球心位于直线上，且， 所以， 在中，，即， 解得，即的边长等于. 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意列出方程组，进而求解即可； （2）先分组求和，再结合等差数列及等比数列前项和的公式求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，（）， 因为，故， 又，则，解得或（舍去）， 则，所以． 【小问2详解】 结合（1）得， 所以的前项和为 ． 16. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知， 由余弦定理， 即，代入得：， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理，得：代入，得. 三角形面积公式：， 代入， . 【小问3详解】 由余弦定理：， 由，得， 代入上式：. 由基本不等式，时：， 当且仅当时取等号. 因此：，又， 结合三角形两边之和大于第三边，得：. 17. 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率； （2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解； （3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望． 【小问1详解】 “3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． 【小问2详解】 小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． 【小问3详解】 的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 19. 已知向量，，函数. （1）求的周期和单调递增区间； （2）若对任意，方程都有解，求实数的取值范围； （3）设，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的周期为，单调增区间为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量数量积的运算法则结合三角恒等变换公式化简函数解析式，再分析三角函数的性质. （2）转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （3）先把问题转化为.求得，结合换元法和二次函数的值域求，由可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得： 所以，，． 由正弦曲线的单调区间为，， 可知，， 解得：，. 综上，的周期为，单调增区间为，. 【小问2详解】 当时，， 故，即． 令，于是方程在有解， 可转化为在有解． 当时，取得最小值； 当或时，取得最大值2． 故的取值范围为． 【小问3详解】 因为对任意，总存在，使成立， 所以有 由（1）可知，显然， 下面求的最大值， ． 令，则． 当时，在处取得最大值：， 由，得； 当时，在处取得最大值：， 由，得． 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中高2026-2027上学期学情检测一 高二数学试卷A卷 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 若角的终边上一点的坐标为，则( ) A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. 3 C. D. 9 5. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 6. 已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ） A. 存在，使得相交 B. 存在，使得 C. 存在，使得的夹角为 D. 存在，使得 7. 某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于30° 11. 设向量，，满足，，，则的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为______． 13. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，若对于任意，恒成立，则符合条件的公差的一个取值为_________． 14. 已知球的体积为，，，，四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的边长等于_________． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 17. 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 已知向量，，函数. （1）求的周期和单调递增区间； （2）若对任意，方程都有解，求实数的取值范围； （3）设，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $