第3讲 对称性与周期性专项训练-2027届高三数学一轮复习

对称性与周期性 函数与导数 · 专题篇 对称性的判定 一、轴对称的判据 （两个括号的自变量之和为常数），等价于 ，图象关于直线 对称。 就是那两个自变量之和的一半。 二、对称中心的判据 ，等价于 ，图象关于点 对称。 两个括号之间是「加号」为点对称、是「等号」为轴对称 —— 一字之差，别混。 三、由解析式求对称中心：先分离常数 形如 （分子次数不低于分母）的，先做除法写成「整式 ＋ 真分式」。 让真分式的分母为零定横坐标；把整式在该处的值作为纵坐标。 四、指数型分式：让两个指数项配成同一个幂 分母含指数项的分式，横坐标由「两个指数项相乘为定值」这一条件定出 —— 这个定值应当恰是分母里的那个常数。定出横坐标后，两个分式就能通分相约，右端化为常数。 五、定义域是第一道关 定义域不关于 对称的，图象不可能关于 对称 —— 含对数、分式的题先用这一条定参数。 例1（单选·★★☆☆☆） 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分式函数求对称中心，先把分子次数不低于分母的假分式化成「整式 ＋ 真分式」。 【关键】。真分式 在 的两侧反号，所以横坐标是 ；整式部分 在 处取值 ，这就是纵坐标。故对称中心为 。故选 D。 【易错】纵坐标不是 。只盯分母为零得到 ，就把中心写成 ，是最常见的错。正确做法是把整式部分在 处求值。另外 与 相差一次，属于假分式 —— 必须除，不能直接看分母。 【答案】D 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 函数的对称中心坐标为______。 【切入点】对数相减先并成一个对数，再验奇偶性 —— 奇函数的对称中心就是原点。 【关键】。定义域由 且 定为 ，关于原点对称。计算 ，所以 是奇函数，对称中心为 。 【易错】定义域必须先定： 关于原点对称，才谈得上对称中心。并成商的时候容易漏掉分母不为零这一条。得到奇函数后中心是 ，不要写成 —— 纵坐标看的是函数值，不是常数项。 【答案】 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 【切入点】中心对称的判据是 为常数。指数型的分式要先找出让两个指数「配对」的那个 。 【关键】分母里的 提示取 ，即算 。记 ，则 ，，是常数。故 ，，对称中心为 。 【易错】 是算出来的：要让 与 相乘为同一个常数，需 ，即 ，两个分式才可能通分约掉。硬试 或 都得不到常数。纵坐标别漏掉： ⇒ ，不是 。 【答案】 变式1-3（填空·★★★☆☆） 函数的图象的对称中心为________。 【切入点】和式里每一项都是 ，先每项减 ，把整式部分提出来，剩下的是若干个 相加。 【关键】，共 项，故。记括号里那一串为 。把 换成 ，则 变成 ，而 当 取 时恰好取遍 ，所以 ，即 关于点 对称。 便关于点 对称。 【易错】横坐标是 的相反数，即 ，不是 ——口诀是把「首尾分母之和的一半」取相反数：，令它为零。纵坐标别写 ：整式部分 要保留。 【答案】 例2（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 就是 ，读作「关于直线 对称」。比大小的题由此转成比「到 的距离」。 【关键】两个括号的自变量之和恒为 ，因此轴是 。又 在 上递增，所以离 越近函数值越小。三个数先搬到轴上同侧：（ 关于 的对称点是 ），到 的距离分别是 、、。由 知 ，故 ，距离排序是 。于是 。故选 A。 【易错】三个数里只有 小于 ，先把它搬过轴同侧再比距离，否则会拿 与 直接比。另外 要卡进 才好用 —— 用 与 卡，别记成 附近。 【答案】A 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【切入点】先把条件读成对称轴，再把 用对称搬到已知区间 上。 【关键】 中两括号自变量之和为 ，故图象关于直线 对称，可记作 。求点 处的切线斜率即求 。在 两边对 求导，得 ，取 得 。而 落在 内，，故 。故选 C。 【易错】「对称轴处导数为零」是极值点的性质，本题的轴是 ，问的是 ，不能直接套。正确做法是对对称式求导：，右边那个负号表示对称两侧的切线斜率互为相反数。 【答案】C 变式2-2（单选·★★★☆☆） 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两条对称轴一凑得到周期，再把 用周期搬到已知区间。 【关键】偶函数给轴 ，条件 给轴 。两条轴相距 ，周期是距离的 倍，即 。于是 ；再用轴 把 折过来：。而 ，代解析式得 。故选 B。 【易错】两条轴对应的周期是距离的 倍，两条中心才是 倍，别用错系数。另外 不在已知区间 内，必须先用轴折一次（或先用周期搬一次）才能代解析式，两步都要写出来。 【答案】B 变式2-3（多选·★★★☆☆） 若，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的单调递增区间是 C. 的最小值为－4 D. 方程的解集为 【切入点】条件只给了一条对称轴，已知区间在轴的右侧 ——先把左边半支的解析式推出来，再逐项判断。 【关键】 ⇒ 图象关于直线 对称，A 对。B 项： 时令 ，则 ，于是 时 、 时 。左侧在 上递增、右侧在 上递增，但两个单调区间不能用并集连起来，B 错。C 项：两段都取到 （、），C 对。D 项：解 ：左侧得 、右侧得 ，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项是最常错的一处：单调区间之间只能用「和」或逗号分开，写成 表示的是「并起来看成一个区间」，不成立。另外左侧解析式要化简到底：把 代进 后整理成 ，才看得出它很简单。 【答案】ACD 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知函数的图象关于直线对称，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 【切入点】题干只说「关于直线 对称」，却有两个未知数。定义域必须也关于 对称，这一条先定下一个。 【关键】真数 的解集是 ，它关于 对称，说明两段端点的中点落在 上：，得 。再把 换成 ：，恰好是 的倒数，于是对数部分差一个负号。要 ，需 ，即 ，解得 。故 。故选 C。 【易错】 是由定义域对称定出来的，这一步最容易被跳过、直接去代点。另外 两边开立方时要连符号一起开，写成 会得到 无解。 【答案】C 例3（多选·★★★☆☆） 已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 【切入点】两个条件各给一种对称：偶函数给一条对称轴， 给一个对称中心。两种对称一凑，周期就出来了。 【关键】偶函数 ⇒ 轴 ； 中两括号自变量之和为 、右端为 ，⇒ 对称中心 。轴与中心的横坐标相距 ，周期是它的 倍，即 ，A 对。B 项：这一项把中心当成了轴 —— 条件里是「加号」不是「等号」，本来就不是轴对称，B 错。C 项：，故 与 只差整数个周期；由中心 有 ， 上递增等价于 上递增，C 对。D 项：用 把 搬到 ，再用偶函数搬到 代解析式，得 ，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项最容易误选：判断是不是轴对称只看两个括号之间是「等号」还是「加号」。C 项要说清「平移整数个周期单调性不变」，漏掉 这一步就说不通。D 项搬家走了两步（先中心、后偶函数），少一步就会把解析式写成 的相反数之外的东西。 【答案】ACD 复合奇偶型对称的判定 一、两条翻译 为偶函数 ；把 记成 ，得 ，图象关于直线 对称。 为奇函数 ；同法得 ，图象关于点 对称。 二、翻译只认括号里的常数项 轴或中心的横坐标就是 ，与系数 无关 —— 翻译时只把括号里的常数项取出来，不要先把系数除掉。 三、 型 「 是奇函数」等价于 的图象关于点 对称。先看纵向平移（常数 决定中心的纵坐标），再看横向平移（ 决定中心的横坐标）。 四、翻译完再看周期 轴＋轴、中心＋中心 ；轴＋中心 。 五、凑不出周期就回定义代值 把 与已知的周期式联立，注意取特殊值时要挑让两个式子都有意义的那种。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则 = （ ） A. 2025 B. C. D. 【切入点】两个条件都是「 型」，各自翻译成 的对称性：「 为奇函数」给中心，「 为偶函数」给轴。 【关键】 为偶函数即 。把括号里的 记成 ，右边就是 ，于是 ，图象关于直线 对称。又 是奇函数，对称中心为 。轴与中心的横坐标相距 ，故 。把 与 合起来，得 。由 知 ，一步一步往回搬：，而 ，继续搬到 上共需五步，符号为负。最终。，其对数落在 内，代解析式得 ，故所求为 。故选 D。 【易错】搬家的步数最要紧： 每减 就要添一个负号，减 是奇数次，符号为负。另外 要用指数律算，别硬估数值。本题的四个选项里 是给「把 当成 」的人准备的。 【答案】D 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数是奇函数，为偶函数，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同款：奇函数给中心，另一个条件给轴。注意这回括号里是 的复合，翻译时别把符号弄反。 【关键】 为偶函数即 ，令 得 ，图象关于直线 对称。又 是奇函数，中心为 。轴与中心横坐标相距 ，故 。，，故 ；，由轴 得 。所以和为 。故选 C。 【易错】这里轴与中心相距 ，周期是 ，不是 。另外 落到 上，要用轴再折一次才回到已知的 ，少折这一步就会算出 未知。 【答案】C 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】一个条件给轴、一个给中心，横坐标一正一负，先各自翻译再凑周期。 【关键】 为偶 ⟹ ，令 得 ，轴为 。 为奇 ⟹ 令 得 ，中心为 。轴与中心相距 ，故 。由中心得 ；由轴 取 得 ，所以 A 中 不成立。把 与 联立，得 ，令 得 。取 得 ，而 给出 ，故 ，C 正确。B 项：由轴与中心联立得 ，而 没有任何条件约束（它可以取非零值），故 未必成立，B 错误。D 项：由中心取 得 ，由轴取 得 ，所以 ，同样未必等于 ，D 错误。故选 C。 【易错】A 项最容易误选： 与 只差一个符号，由轴 只知道 ，推不出 。B、D 两项的共同毛病是「把 当成了 」——题目只给了 的对称性，没有给 在 处的值，凡是结论里出现 的地方都不能当成零。 【答案】C 变式4-3（单选·★★★☆☆） 若定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 【切入点】括号里带系数的复合奇偶（、），翻译时只取常数项定横坐标。 【关键】 为奇 ⟹ 。令 ，则 ，，得 ，中心为 。 为偶 ⟹ 令 得 ，轴为 。轴与中心相距 ，故 。由中心得 ；由轴取 得 。由中心取 得 ，而 给出 ，所以 。由轴取 得 ，而 给出 。于是 ，四项之和为 。又 每隔四项增加 （即一个周期），故数列 以 为周期。，所求为 ，而 、、，对应值 ，和为 。故选 B。 【易错】求和时的周期是下标 的周期： 每 个 循环一次（因为 ），不是每 个。另外翻译时 给的中心是 ：系数 只影响「怎么代换」，不影响横坐标的取值。 【答案】B 例5（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件一个是「 是奇函数」（复合奇偶），一个是 （递推）。前者给中心，后者给周期。 【关键】 是奇函数即 。令 ，则 ，得 ，图象关于点 对称，于是 ，A 正确。另一条件令 得 ，故 。由 与 得 ；取 得 ，而 给出 ，故 ，B 正确。取 得 ，再由 得 ，C 正确。对 D：（减一个周期 ）；由 取 得 ，而 给出 ，故 ，即 。所以 ，D 错误。故选 D。 【易错】翻译中心时易错： 是奇函数给的是中心 而不是 ——令 后括号里剩的是 ，和的一半才是横坐标。另外 D 项要连着用两次 的对称式，最后落在 上，这一步是「自反」的典型信号，说明该点函数值必为零。 【答案】D 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 【切入点】题里有 和 两条线索，先把 用 表示出来，再找 的对称性。 【关键】 是奇函数 ⟹ 令 得 ，中心为 ，于是 。由 得 ；由 换元得 。两式消去 得 ，令 得 ，即 关于直线 对称。轴 与中心 相距 ，故 。由中心得 。A 项要求 为奇函数，但中心在 而非原点，错。C 项：一个周期取 ，其中 ，由 得 ，再由中心得 ，故四项之和恒为 ，，错。D 项：，由中心 ，故 ，。而 以 为周期、一个周期的和为 ， 项恰为 个周期，故后一项为 ，，D 正确。故选 D。 【易错】B 项要看清： 里的常数 决定了 不可能关于原点对称 ——由中心 得 ，与 差在常数 与 上，所以 不是奇函数。C 项里一个周期的和恰好是 （两两抵消），这是「中心在 」的直接后果。 【答案】D 变式5-2（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】 被定义成 ，先把 换元成单变量，再找它的对称性。 【关键】令 ，得 。由 为奇函数知 也是奇函数，故 。又把 换成 ：，所以 关于直线 对称。中心 与轴 相距 ，故 ，于是 。；。对导数求同样的对称性：由 两边求导得 ，故 也以 为周期；再由轴 得 ，于是 。所求为 。故选 A。 【易错】本题的周期是 ，不是 ：轴与中心横坐标相距 ，系数是 ，。算成 会让 ，符号正好反掉，选到 B（）—— 这正是本题设的两个对称选项。另外 不能直接说「周期函数求导仍为周期」就了事，要说明轴处的导数为零：。 【答案】A 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则 = （ ） A. 1 B. 0 C. D. 【切入点】两条都是复合奇偶型，先各自翻译成轴与中心，再凑周期，最后把一个周期的值算出来。 【关键】 为偶 ⟹ ，令 得 ，即关于直线 对称。 为奇 ⟹ 令 得 ，即关于点 对称。轴与中心横坐标相距 ，故 。由中心得 ；由 得 。由轴 得 ，再由中心取 得 。由中心取 得 ，而 给出 ，故 。由轴得 ，再由中心取 得 。于是 。，故所求为 。故选 C。 【易错】一个周期取哪四个值可以自己定，本题取 ，就必须每个都用轴或中心搬到已知区间 附近，不能直接断言。另外 的求法最绕：要先用轴把 折到 ，再用中心把 与 联立，得到 。 【答案】C 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【切入点】两条复合奇偶条件，先各翻译一次，注意第二个条件的括号里 带在 的前面。 【关键】 为偶 ⟹ 令 得 ，轴为 。 为奇 ⟹ 令 得 ，中心恰为原点 ，即 是奇函数。轴 与中心 相距 ，故 。A 项：由轴 得 ，而 为奇函数给出 ，故 ，A 正确。B 项：、；由轴 得 ，而 ，故 ，B 错误。C 项： 上 ，由轴得 上 （把 折回去），也落在 ；于是 。由奇函数， 等价于 ，即 ；再加上周期 平移，解集为 ，C 正确。D 项：、、、，一个周期的和为 ；，故 ，D 正确。故选 ACD。 【易错】C 项的区间端点要不要取，取决于题目里的不等号： 的两头一个开一个闭，折过来之后是 全开 ——因为 在 处取到 （取不到），在 处取到 （取得到）。另外 B 项比较大小要用轴把 落到的位置折回已知区间，不能直接代。 【答案】ACD 变式6-2（单选·★★★★☆） 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两条复合奇偶给对称性， 上的解析式带两个待定字母，先用对称性把 、 定下来。 【关键】 为奇 ⟹ 令 得 ，中心为 。 为偶 ⟹ 令 得 ，轴为 。轴与中心相距 ，故 。由中心得 ；由 得 ，再由中心取 得 ，两者合起来给出 。已知 ，即 ，得 ，再由 得 ，即 上 。由 知 ，故 ，即 。故选 C。 【易错】先用对称性定参数、再用周期求值，顺序不能反 —— 离已知区间很远，但 只需搬一次就落到 内。另外 是由 定出来的（中心在 上，函数值必为 ），这一步容易只盯着 而漏掉。 【答案】C 周期性的判定 一、四种递推式各自的周期 ；。 ；。 右边带负号或取倒数的，周期都要翻倍。 二、自变量之差就是周期 。 三、三项递推 ⟹ 六倍步长 形如 的，先把 解出来，再逐次代换，得到 。 四、求值先搬家 把自变量反复加减 ，直到落进已知区间；落不进的，再用对称性折回来。 五、分段递推型 分段给出的递推式（自变量超过某个值时用 定义），反复代入把自变量减到已知的那一段，每代一次自变量减 ，减到不能再减为止。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知的定义域为，满足，则 = （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【切入点】递推式右边带负号，这类周期要翻倍 —— 的周期是 。 【关键】由 把 换成 ，得 ；两式联立消去 ，得 ，故 。，故 。再由 把 搬回 ：。最后用递推式：，而 ，所以 。故选 D。 【易错】周期是 不是 。右边那一个负号让周期翻倍，把 记成 会得到 （选项 C）。另外 是负数，还要再用一次递推式才能落到已给的 上。 【答案】D 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数满足，且当时，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 【切入点】 的两个自变量之差是 ，周期直接就是它。 【关键】把 换成 ，得 ，故 。，所以 。故选 D。 【易错】周期是自变量之差 ，不是 。另外搬家只需一步就落到 内，不用来回折；但要注意落在哪一段就代哪一段的解析式 —— 走对数那支，若搬到 上就要换成 。 【答案】D 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. 1 B. C. 4 D. 【切入点】条件里既有偶函数给的轴，又有 。 一步搬不到已知区间 ，得先用轴折一次。 【关键】。由偶函数把 折到 ：；再由 把 搬到 ：。，代解析式得 。故选 C。 【易错】 直接加 得到 ，而 不在 内 ——加一个周期不够就再加一个，或者先用偶函数把负号去掉。本题两条路都行： 不在区间内， 也不在，所以先用偶函数折到 再搬 最省事。 【答案】C 变式7-3（填空·★★★☆☆） 已知函数，则 = ________. 【切入点】递推式写在分段函数里： 时把自变量减 再代，一直减到 的那一段为止。 【关键】，代入 得 ，每代一次自变量减 。连续代下去， 是偶数，最终落到 。而 ，走第一段 ，得 。所以 。 【易错】 是偶数，减到 就停；若题目给的是奇数（比如 ），就要落到 上，代 得 。另外分段点是 归属第一段（），别代到第二段去。 【答案】1 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三项递推 ，先把前几项用两个字母表示出来，看什么时候回到原处。 【关键】递推式即 。记 、，则，，，，，故 。已知 即 ，代入得 ，即 ； 即 ，代入得 ，即 。把 记作 、 记作 ，两个条件就是 且 ，于是 ，推出 ，即 。而 ，，故 、。只有 C 一定成立。故选 C。 【易错】两个条件只能定出 与 ，单个的 、 符号都定不下来 —— 所以 A、B、D 三项里的 、谁正谁负不能只看一个条件。把 当成一个新量 再联立，是判断「一定成立」这类题的稳妥写法。 【答案】C 变式8-1（多选·★★★★☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，记。若，为偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】递推式是「 等于同一个常数」，——右边带的是常数而不是负号，先把它移项成 。 【关键】由 得 ，于是 ，故 ，A 对。两边求导得 。 为偶，即 ；令 ，右边为 ，故 ， 关于直线 对称。把轴与「」联立：，故 是奇函数，，B 错。由 取 得 ，C 对。记 ，则 ， 以 为周期且关于点 对称，故 ，即 ；又 ，即 ，得 ； 得 ，。一个周期内 。，故 ，D 对。故选 ACD。 【易错】 的右端是常数减 ，周期是 ；把它误读成 也一样，但要求值时必须先算出 。 的求法要借辅助函数 ：把常数 减掉之后， 关于点 对称，这才是 的来源。 【答案】ACD 变式8-2（单选·★★★☆☆） 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【切入点】两个条件一个给周期、一个给对称轴，两式联立能把轴搬到原点上去。 【关键】。，把 记成 得 ，即图象关于直线 对称。再由 把左边降一个周期：。两式合起来就是 ，把 记成 ，得 ，故 是偶函数，B 对。A 项：由 知它是偶函数而非奇函数，错。C、D 两项：题干只给了对称性与周期性，没有任何单调性信息，都无法判断。故选 B。 【易错】把 直接读成「周期是 」是错的 ——这是轴对称（两括号自变量之和恒为 ，轴是 ）。周期来自另一个条件 。两个条件各管一件事，混起来会把轴算成周期。 【答案】B 例9（单选·★★★☆☆） 已知偶函数对于都有，且当时，. 若有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是偶函数又以 为周期， 上 ——先把它的图象画成「三角波」，再看 与它交几次。 【关键】由偶函数与 得： 上 ， 上 ，波峰在 处取 ，零点在 处。 是偶函数，6 个零点意味着正半轴上有 3 个。在 上 而 ，无交点；在 上 处 、 处 ，必有一个交点。要到 3 个， 上还得有 1 个：需 处 ，即 。同时不能出现第 4 个： 上要无交点，需 处 ，即 。于是 。故选 C。 【易错】三个交点分别在 、、 内，端点 、 处的比较决定了 的两个界限，两边都要卡。只卡出 会选到 B（），只卡出 会选到 A。另外别忘 是偶函数，正半轴 3 个交点对应整轴 6 个零点。 【答案】C 变式9-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【切入点】条件给了一条对称轴和一个周期，已知区间是 ，四个选项都要用轴或周期搬过来判断。 【关键】 的两括号自变量之差为 ，故 。A 项：轴 加上周期 ，得轴 。在轴 处把 换成 ：，即 ，而 给出 ，故 ， 是偶函数，A 正确。B 项： 上的图象就是 上的图象左移 个单位，而 在 上递增（两项都递增），B 正确。C 项：轴 由 A 的推导已得，C 正确。D 项：，故 ；由轴 折回来：，不是 ，D 不正确。故选 D。 【易错】 搬到 后不能直接代解析式（），还要用轴 折到 上。另外 A 项的推导要走两步（先轴后周期），只在轴上取 会得到 ，什么都推不出来。 【答案】D 变式9-2（单选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个自变量 、、 跨度很大，先用偶函数与周期把它们全搬进已知区间 。 【关键】 的两括号自变量之差为 ，故 。：用偶函数得 ，再用 搬回 ，再用一次偶函数得 。：由 得 。：由 知 ，先减一个周期：，再用偶函数折到 。而 ，故 。因为 ，所以 。故选 C。 【易错】比较时不必算出精确值，只需把三个数都搬到同一区间后再比：，， 对应的自变量 ，而 远大于 ，所以 最大。另外 中的底数是 不是 ——把 误估成 就会错选 D。 【答案】C 由对称性推出周期性 一、三条周期公式（系数最要紧） 两条对称轴 、：；两个对称中心：。 一条对称轴 加一个对称中心 ：。 两条同类（轴轴／心心）系数是 ，一轴一心系数是 —— 记反了整道题全错。 二、先把条件翻译成轴或中心 给轴； 给中心 ； 的奇偶性给中心或轴，横坐标取括号里的常数项。 三、右端是常数的递推式先减常数 时令 ，则 ， 关于点 对称，。 四、递推式里带「另一个括号」时先对称化 递推式里两个括号的自变量不同步（一个含 ，另一个是常数减 ）时，先把 平移一步，把式子整理成「两个函数值相加等于第三个函数值」的形状；再把同一个自变量换成它的相反数写一遍，与前一式比较：两式的左边完全一样，于是右边必须相等，即得 ，奇偶性（也就是一条对称轴）就到手了。 五、有了周期再求值 把自变量反复减 落进已知区间；减不到就用轴或中心折回来。 例10（单选·★★☆☆☆） 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件各给一种对称：一个是「两括号相等」（轴），一个是「复合奇偶」（中心）。凑出周期后，选项里的 到 就都能算。 【关键】 中两括号自变量之和恒为 ，故图象关于直线 对称。 为奇函数即 ，令 ，则 ，得 ，故图象关于点 对称。轴与中心的横坐标相距 ，属于「一轴一心」，故 。由中心得 ；而 可由轴 折过来：。故选 C。 【易错】四个选项都要的是「某个点处函数值为零」，能直接定出零点的只有中心（中心横坐标处函数值等于中心的纵坐标），所以先看 能不能被轴折到 上去。另外「一轴一心」的系数是 ：相距 得到 ，不是 。 【答案】C 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 定义在R上的函数满足，且为奇函数。当时，，则 = （ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【切入点】与例 1 同款：一个方程给轴，一个复合奇偶给中心。注意这回括号里是 ，翻译时容易把中心算错。 【关键】 中两括号之和恒为 ，故轴为 。 为奇函数即 ，令 ，则 ，得 ，故中心为 。轴与中心相距 ，故 。，故 ；而 落在已知区间 上，代解析式得 。故选 A。 【易错】 给的中心横坐标是 ：令 后另一个括号是 ，两个端点 与 的中点是 。写成中心 （把系数 也除了）会得到错误答案。 【答案】A 变式10-2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足，，当时，，则 = （ ） A. 2 B. C. D. 4 【切入点】条件之一直接就是「奇函数」，另一个给轴 —— 先凑周期，再把大数搬回已知区间。 【关键】 给中心 ； 给轴 。轴与中心相距 ，故 。，故 ；由轴 得 ，再由奇函数得 。，代解析式得 ，所以 。故选 A。 【易错】搬到 后还差一步： 不在 内，要用轴折到 、再用奇函数翻成正的 。两步缺一不可；只折一次会算成 ，在选项里没有对应值。 【答案】A 变式10-3（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件都是「两括号相等」型，分别给周期与轴，题目本身不问周期，而是用它们把三个自变量搬到同一个区间里比大小。 【关键】； 中两括号之和恒为 ，故轴为 。于是 本来就在 内； 用轴 折过来：；。三个自变量 、、 都在 内，而 在此区间上递减（题干给的差商小于零），由 得 ，即 。故选 A。 【易错】 与 都要先搬进 再比： 用周期减 得 ， 用轴折得 。另外题干给的 说明是递减，看反了会把四个选项倒着选。 【答案】A 例11（单选·★★★☆☆） 已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】三个条件：一条轴、一个中心、一个具体函数值。求出周期后再把「一个周期的和」算出来。 【关键】① 给轴 ；② 给中心 。轴与中心相距 ，故 。由中心得 ，再由轴取 得 。由 与中心取 得 。记 ，由轴得 、由中心得 、、由轴得 、由周期得 。于是 。，故所求为 。故选 A。 【易错】一个周期取 到 ，其中 是未知数，但它在和里两两抵消，这正说明「不必求出每一个值」也能求和。另外余数要数对： 除以 余 ，多出来的是 而不是别的。 【答案】A 变式11-1（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件各给一条轴与一个中心，本题只问「哪个值等于 」，不必把周期全用上，先找中心横坐标处的函数值。 【关键】 给轴 ； 即两括号之和为 、右端为 ，给中心 ，于是 。再用轴 把 折到 ：。故选 C。 【易错】中心 的纵坐标 就是「横坐标为 处的函数值」，这一步是白送的。另外选项里有 ：由中心取 得 ，而 没有任何条件约束，不能选。 【答案】C 变式11-2（多选·★★★☆☆） 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递减 【切入点】递推式右端不是 而是 ，先想办法把它变成 —— 取一个合适的 就能做到。 【关键】 的图象关于直线 对称，把 代进去：，即 ，所以 是偶函数，A 对。在 中取 ：，由偶函数 ，代入得 ，故 ，于是 ，，B 对。，C 对。 在 上递增，由偶函数知在 上递减，再由 平移得在 上也递减，D 说递增，D 错。故选 ABC。 【易错】先取 把 消掉，是本题的关键一步；直接对 硬推会卡住。D 项要连着用两次对称性（偶函数把区间翻到 ，再平移 ），少一次就会把单调方向判反。 【答案】ABC 例12（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的函数，且，，若，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 【切入点】条件一个给轴、一个是递推式。递推式本身就是「半周期」的形式，与轴一配合，周期立刻缩一半。 【关键】 中两括号自变量之和恒为 ，故轴为 。 给出 ，周期本应是 ；再由轴把它压到中心：把 中的 换成 ，得 ，而轴给出 ，两式比较得 ，即对称中心为 。于是 、（轴）、（已知），（中心 与周期 ）。一个周期的和 。，故所求为 。故选 A。 【易错】本题有两个对称信息（轴 与中心 ），相距 ，「一轴一心」故 。求 时用中心最快： 是中心，把 关于 折过去得到 ，再用周期 搬成 ，取相反数得 。 【答案】A 变式12-1（单选·★★★☆☆） 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】递推式里同时出现 与 ，两个括号的「中心」不一样。先把 换成 整成对称的形状，再作比较。 【关键】在 中把 换成 ，得 ，即 。……(I)再把 (I) 中的 换成 ：。……(II)比较 (I)、(II) 得 ，所以 是偶函数。利用偶性把原式中的 换成 ，得 ，即 。在 (I) 中取 得 。逐项算：，，，，，，故 。一个周期内立方和 。，故所求为 。故选 C。 【易错】(I) 与 (II) 的比较是本题的核心：两式的左边完全一样，所以右边必须相等，这才得出 。得出偶函数后，把 换成 是关键一步 ——没有这一步就只能停在「关于 对称」的错误结论上。另外立方和要一项一项算， 的立方是 。 【答案】C 变式12-2（多选·★★★☆☆） 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 8为的一个周期 C. 为偶函数 D. 【切入点】与变 5 同一套路（递推式里带「另一个括号」），只是这回两个括号隔得更远。先取特殊值定 ，再作对称化。 【关键】在 中取 ：，由 得 ，A 对。C 项：把 换成 ：，即 。……(I)再把 (I) 中的 换成 ：。……(II)比较 (I)、(II) 得 ， 是偶函数，C 对。B 项：在 (I) 中把 换成 ：，由偶性得 ，再把 换成 得 ，两式相减得 ，故 ，而 不是周期，B 错。D 项：逐项算：，，，，，故 。，所求为 ，不等于 ，D 错。故选 AC。 【易错】「两式相减得 」这一步要写成 与 两式消去 ，直接目测容易漏项。另外 的周期是 （因为 ，故 ），判断余数时按 而不是按 。 【答案】AC 用对称性与周期性求和与零点 一、求和的三步 先求周期 ，再算清一个周期内的各函数值并求和，最后看项数里含几个整周期、余几项。 二、余数按「前 项」数 中 时，剩下的是前 项（ 到 ），不是最后 项。 三、求和项带下标时，周期按下标算 求和项写成自变量是一次式 的形式时，下标 的周期等于 的周期除以 。 四、右端是常数的递推式先减常数 时令 ， 关于点 对称，。 五、零点个数 ＝ 两个图象的交点个数 把 的零点问题化成 与 的交点问题，按周期逐段数，注意偶函数的图象左右对称，正半轴有几个负半轴就有几个。 例13（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，，且，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【切入点】递推式右边是 ，能直接读出周期；求和就按「几个整周期 + 余几项」算。 【关键】 即 ，把 换成 得 ，再代一次得 ，故 。 是奇函数，故 ，。由 ：，，。一个周期的和 。，故所求为 。故选 D。 【易错】 要用奇函数从 翻过来，得 ；直接写 会让整题符号反掉。另外余数按「前 项」数：多出来的是 与 ，不是末尾两项。 【答案】D 变式13-1（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且满足。若，则 = （ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2 【切入点】与例 1 同款：先由「奇函数 + 一条对称轴」凑出周期，再按整周期求和。 【关键】 给轴 ， 为奇函数给中心 ，两者相距 ，故 。由中心得 ；由轴取 得 ；由奇函数得 ；由 得 。一个周期的和 。，故所求为 。故选 D。 【易错】 要用奇函数从 翻过去，得 ；写成 会让一个周期的和变成 ，末项再一乘就全错。另外本题的周期是 而不是 ——「一轴一心」的系数是 ，看清轴与中心相距多远（）再乘。 【答案】D 变式13-2（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足，当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】求和项是 ，下标带步长 ，所以按下标数周期时要换成 的周期。 【关键】 中两括号之和恒为 ，故轴为 ； 为奇函数给中心 ，两者相距 ，故 。于是 关于 的周期是 （因为自变量要增加 需要 增加 ）。用轴与奇函数把 对应的八个值都搬到已知区间 上：，，，，，，。八个值之和为 。，故所求为 。故选 D。 【易错】按下标数周期： 的周期是 ，而自变量是 ，要让自变量走满 需要 走 —— 周期变成 ，这是本题最容易错的地方。另外余数是 项（ 除以 余 ），对应 ，即自变量 、、。 【答案】D 变式13-3（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】递推式右端是 ，是个常数而不是具体的数 ——把它记成一个字母，先求出周期的长度，再回代定值。 【关键】记 。由 得，再代一次 ，故 。 给轴 。取 ：；而 ，故 ，代入得 。再由 与轴得 ，而轴给出 ，所以 ，即 。于是 ：，；又轴给出 ，故 。一个周期 为 ，和为 。，故所求为 。故选 D。 【易错】 必须求出来才能往下走：求法是取 造出 与 的关系，再用轴把 与 联系起来。另外轴是 （两括号之和为 ），不是 。 【答案】D 例14（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为.若对任意实数，有，则 = （ ） A. 210 B. 420 C. 2870 D. 0 【切入点】求和的项带 这个权重，所以不光要算 的值，还要看清哪些项是零。 【关键】 给轴 ； 令 ，得 ，即中心 。轴与中心相距 ，故 。由中心得 ，再由轴 与 得 。于是所有「半整数」处的函数值都是 ，求和里只有整数部分有用。 在 为奇数时等于 ； 为偶数时 是整数，由 与中心得： 为奇数时等于 、为偶数时等于 。合起来所求为 ，两两配对得 。故选 A。 【易错】本题的关键是「半整数处的值全是零」：中心 直接给出 ，轴 又把 折到 上，其余半整数由周期 平移得到。漏掉这一层会多算 项，答案会大得离谱。 【答案】A 变式14-1（多选·★★★☆☆） 已知为定义在R上的奇函数，，在上单调递增，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的减区间为 C. D. 函数的零点个数为8 【切入点】一条轴、一个中心、一段单调性，四个选项分别问对称性、单调区间、求和、零点。先把对称与周期全找齐，再逐项过。 【关键】 是奇函数 ⟹ 中心 ； ⟹ 轴 。两者相距 ，故 。A 项： 为奇函数等价于 关于点 对称。由中心 与 知 全是中心，取 即 ，A 对。B 项： 在 上递增且 、，由轴 知在 上递减，再由中心 知在 上也递减，故减区间为 ，B 对。C 项：、、，故一个周期的和为 ；，所求为 ，而 没有确定值，不能断定等于 ，C 错。D 项： 的零点即 与 的交点；后者是偶函数，过 、。 的图象是周期 的波浪（峰 在 、谷 在 ）且以原点为中心对称，画草图可见交点共 个，D 对。故选 ABD。 【易错】B 项容易只数到「 递减」就停 ——还要用中心 把 也判成递减，两段合起来才是 。C 项的关键是看清 没有被任何条件钉住，凡是结论里带 的都不能当成定值。 【答案】ABD 变式14-2（多选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件给一条轴（偶函数）和一个带纵坐标的中心，两者相距 ，周期不是整数 —— 算的时候要小心分数。 【关键】偶函数给轴 ； 中两括号之和为 、右端为 ，给中心 。两者相距 ，故 。A 项：。 偶 ⟹ 奇，；，；由 得 ，由 奇得 ，故 ，A 对。B 项：中心 只给出 ，而 无从确定，B 错。C 项： 以 为周期，求导后 也以 为周期，C 对。D 项：由中心 取 得 ，由 得 ；由轴（偶）与中心得 、，再由中心取 得 。于是一个周期 的和为。，故所求为 ，而 、，所以所求为 ，D 对。故选 ACD。 【易错】本题的周期是 不是 —— 中心与轴相距 ，「一轴一心」乘 得 。D 项求和时， 与 各自的值不必知道，只要知道它们的和等于 （由中心取 得到），一个周期的和就等于 。 【答案】ACD 例15（单选·★★★★☆） 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【切入点】 是周期为 的「抛物线拱」， 是一个分段函数，零点个数就是两条曲线的交点个数。 【关键】，且 上 ，即每段 上都是一条开口向下的抛物线，在奇数处取 、在偶数处取峰値 ，值域为 。负半轴： 且递增。三段拱 、、 上， 在中点取 、在两端取 ，而 始终在 内且递增；前两段各交 次（中点两侧各一次），第三段在 内交 次，再加上 处 也是一个交点，负半轴（含原点）共 个。正半轴：。在 内它从 降到 ，与上升段的拱交 次，再加上 处两者同时为 ，共 个； 上 从 升到 ，而拱在 处取 、在 与 处取 ，只在 内交 次； 上 从 升到 ，拱在 处取 ，两端取 ，故在 两侧各交 次，共 个。正半轴共 个，合计 。故选 D。 【易错】必须一段一段数，不能笼统说「每段交两次」： 在 时虽然小于 ，但它递增，在靠近 的那一段只会交 次而不是 次。另外 与 处两曲线同时取到相等的值，是交点而不是相切，别漏掉。 【答案】D 变式15-1（填空·★★★★☆） 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有个不同的实数根，则实数的值为________. 【切入点】先把 的对称性与周期都翻出来，画出它在 上的图象；方程有 个根就是两条曲线有 个交点。 【关键】 的图象关于直线 对称，把 代进去得 ，即 ，所以 是偶函数，图象关于 轴对称。 的两括号自变量之差为 ，故 。由 上 与偶性、周期性推得： 上从 降到 ， 上从 升到 （偶性）， 上从 降到 ， 上 从 升到 ， 上从 降到 （偶性）。方程 有 个根，即 与这条折线交 次。 时 而 ，交点最多只有端点，不够 个，故 。要让交点恰为 个， 必须与线段 （）相切：设切点为 ，则 且 ，两式相比得 ，即 ，回代得 。 【易错】 关于 对称推出的是 为偶函数（把 代进去后括号里变成 与 ），不是「 关于 对称」。第二处是切点条件：相切要求「函数值相等」与「导数值相等」两式同时成立，只写一个会解不出 。 【答案】 变式15-2（多选·★★★★☆） 已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 【切入点】一个复合奇偶条件加一条已知单调性，四个选项问对称性、函数值、单调区间与求和式的不等关系。 【关键】 是偶函数 ⟹ 轴 ； 为奇函数 ⟹ ，令 得 ，即中心 。轴与中心相距 ，故 。A 项：中心正是 ，A 对。B 项：，故 ，B 对。C 项： 减去一个周期 就是 ；由偶性， 在 上递减（题干说 上递增），C 错。D 项：由中心 与偶性可推出 ，故一个周期 内的和为 。，所求为 。 在 上递增且 ，故 ，于是 ，D 对。故选 ABD。 【易错】C 项要看清「平移整数个周期后区间落在哪里」：，这一段是 的镜像，单调方向相反。D 项不必算出 的具体值，只要知道「它比 还小」就能断定和小于 ——这类不等式型的选项，用单调性定序即可。 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $ 对称性与周期性 函数与导数 · 专题篇 对称性的判定 一、轴对称的判据 （两个括号的自变量之和为常数），等价于 ，图象关于直线 对称。 就是那两个自变量之和的一半。 二、对称中心的判据 ，等价于 ，图象关于点 对称。 两个括号之间是「加号」为点对称、是「等号」为轴对称 —— 一字之差，别混。 三、由解析式求对称中心：先分离常数 形如 （分子次数不低于分母）的，先做除法写成「整式 ＋ 真分式」。 让真分式的分母为零定横坐标；把整式在该处的值作为纵坐标。 四、指数型分式：让两个指数项配成同一个幂 分母含指数项的分式，横坐标由「两个指数项相乘为定值」这一条件定出 —— 这个定值应当恰是分母里的那个常数。定出横坐标后，两个分式就能通分相约，右端化为常数。 五、定义域是第一道关 定义域不关于 对称的，图象不可能关于 对称 —— 含对数、分式的题先用这一条定参数。 例1（单选·★★☆☆☆） 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 函数的对称中心坐标为______。 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 变式1-3（填空·★★★☆☆） 函数的图象的对称中心为________。 例2（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 变式2-2（单选·★★★☆☆） 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-3（多选·★★★☆☆） 若，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的单调递增区间是 C. 的最小值为－4 D. 方程的解集为 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知函数的图象关于直线对称，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 例3（多选·★★★☆☆） 已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D. 若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 复合奇偶型对称的判定 一、两条翻译 为偶函数 ；把 记成 ，得 ，图象关于直线 对称。 为奇函数 ；同法得 ，图象关于点 对称。 二、翻译只认括号里的常数项 轴或中心的横坐标就是 ，与系数 无关 —— 翻译时只把括号里的常数项取出来，不要先把系数除掉。 三、 型 「 是奇函数」等价于 的图象关于点 对称。先看纵向平移（常数 决定中心的纵坐标），再看横向平移（ 决定中心的横坐标）。 四、翻译完再看周期 轴＋轴、中心＋中心 ；轴＋中心 。 五、凑不出周期就回定义代值 把 与已知的周期式联立，注意取特殊值时要挑让两个式子都有意义的那种。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则 = （ ） A. 2025 B. C. D. 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数是奇函数，为偶函数，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★★☆☆） 若定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 变式5-2（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 2 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则 = （ ） A. 1 B. 0 C. D. 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 变式6-2（单选·★★★★☆） 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则 = （ ） A. B. C. D. 周期性的判定 一、四种递推式各自的周期 ；。 ；。 右边带负号或取倒数的，周期都要翻倍。 二、自变量之差就是周期 。 三、三项递推 ⟹ 六倍步长 形如 的，先把 解出来，再逐次代换，得到 。 四、求值先搬家 把自变量反复加减 ，直到落进已知区间；落不进的，再用对称性折回来。 五、分段递推型 分段给出的递推式（自变量超过某个值时用 定义），反复代入把自变量减到已知的那一段，每代一次自变量减 ，减到不能再减为止。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知的定义域为，满足，则 = （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数满足，且当时，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. 1 B. C. 4 D. 变式7-3（填空·★★★☆☆） 已知函数，则 = ________. 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 变式8-1（多选·★★★★☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，记。若，为偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★★☆☆） 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 例9（单选·★★★☆☆） 已知偶函数对于都有，且当时，. 若有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 变式9-2（单选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 由对称性推出周期性 一、三条周期公式（系数最要紧） 两条对称轴 、：；两个对称中心：。 一条对称轴 加一个对称中心 ：。 两条同类（轴轴／心心）系数是 ，一轴一心系数是 —— 记反了整道题全错。 二、先把条件翻译成轴或中心 给轴； 给中心 ； 的奇偶性给中心或轴，横坐标取括号里的常数项。 三、右端是常数的递推式先减常数 时令 ，则 ， 关于点 对称，。 四、递推式里带「另一个括号」时先对称化 递推式里两个括号的自变量不同步（一个含 ，另一个是常数减 ）时，先把 平移一步，把式子整理成「两个函数值相加等于第三个函数值」的形状；再把同一个自变量换成它的相反数写一遍，与前一式比较：两式的左边完全一样，于是右边必须相等，即得 ，奇偶性（也就是一条对称轴）就到手了。 五、有了周期再求值 把自变量反复减 落进已知区间；减不到就用轴或中心折回来。 例10（单选·★★☆☆☆） 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 定义在R上的函数满足，且为奇函数。当时，，则 = （ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 变式10-2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足，，当时，，则 = （ ） A. 2 B. C. D. 4 变式10-3（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（ ） A. B. C. D. 例11（单选·★★★☆☆） 已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 变式11-1（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 变式11-2（多选·★★★☆☆） 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递减 例12（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的函数，且，，若，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 变式12-1（单选·★★★☆☆） 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式12-2（多选·★★★☆☆） 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 8为的一个周期 C. 为偶函数 D. 用对称性与周期性求和与零点 一、求和的三步 先求周期 ，再算清一个周期内的各函数值并求和，最后看项数里含几个整周期、余几项。 二、余数按「前 项」数 中 时，剩下的是前 项（ 到 ），不是最后 项。 三、求和项带下标时，周期按下标算 求和项写成自变量是一次式 的形式时，下标 的周期等于 的周期除以 。 四、右端是常数的递推式先减常数 时令 ， 关于点 对称，。 五、零点个数 ＝ 两个图象的交点个数 把 的零点问题化成 与 的交点问题，按周期逐段数，注意偶函数的图象左右对称，正半轴有几个负半轴就有几个。 例13（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，，且，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 变式13-1（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且满足。若，则 = （ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2 变式13-2（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足，当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式13-3（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 例14（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为.若对任意实数，有，则 = （ ） A. 210 B. 420 C. 2870 D. 0 变式14-1（多选·★★★☆☆） 已知为定义在R上的奇函数，，在上单调递增，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的减区间为 C. D. 函数的零点个数为8 变式14-2（多选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 例15（单选·★★★★☆） 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 变式15-1（填空·★★★★☆） 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有个不同的实数根，则实数的值为________. 变式15-2（多选·★★★★☆） 已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 学科网（北京）股份有限公司 $