第4讲 三角函数的周期性、奇偶性与对称性专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

三角函数的周期性、奇偶性与对称性 周期、奇偶与对称的统一求法 最小正周期 提高题的第一个变化是反过来用公式：题目给出最小正周期，要求参数。这时把周期公式当方程解即可 —— 解出 ，再由 定下符号。要注意振幅与 可能是同一个字母：函数写成 时，前面的系数就是 ，求值域时要按 来算。 第二个变化是与单调性联用。解答题的标准流程是：先化简成 ，代公式求周期；再把 看作整体 ，由 的单调区间反解出 的区间。两问之间是连续的：求周期只是为了得到解析式里最完整的信息，真正的落点在单调区间或最值上。 第三个变化是把周期与对称联系起来。正弦（余弦）的相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半个周期，而相邻的对称轴与对称中心之间的距离是四分之一周期。题目常常给其中一种距离，要求另一种量 —— 把这三条换算关系记住，就能在周期与对称之间自由切换。 最后提醒一句关于整体换元。这一讲三个知识点（周期、奇偶、对称）看起来是三个问题，解法却是同一个动作：把 记作 ，于是问题变成「 取什么值时 取得最大值、等于零、或成为奇函数」。换元之后，复杂的复合函数就还原成了最熟悉的 、。凡是在这一讲卡住的地方，都可以先问一句： 在哪里？ 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 【切入点】条件给了最小正周期，先反求 ，得到完整解析式后再逐个选项判断。四个选项分别考求值、单调性与对称中心，每一个都要把 看作整体。 【关键】由 得 ，所以 。A 正确。，B 错误。 时 ，正弦在该区间上递增，C 正确。对称中心满足 ，取 得 ，D 正确。故选 ACD。 【易错】B 选项把相位代进去之后是 ，函数值为 而不是 ，不要因为题目问「是否等于零」就先入为主地以为它成立。C、D 两个选项都要落到整体换元上：把 看成 之后，「 递增」就是「 递增」，「 的对称中心」就是「 的零点」。 【答案】ACD 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 在上单调递增 D. 若，且，则a的最大值为 【切入点】条件给了正切型函数的最小正周期，先由 求 ，再逐个选项检查定义域、单调性与不等式。 【关键】由 得 ，A 选项说 ，错误。定义域要求 ，即 ，B 正确。 时 ，正切在该区间上递增，C 正确。由 知 ，而 ，在 上正切递增，且 ，故 ，解得 ，所以 的最大值为 ，D 正确。故选 BCD。 【易错】A 选项是专门设的陷阱：正切型的分子是 ，写成 就会算出 。D 选项要先看出 落在哪个单调区间，再用单调性把不等式翻译成相位的不等式。 【答案】BCD 例2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在上的最值． 【切入点】函数里同时有 与 ，都是二次的。先用二倍角公式把它们都化成 的一次式，再用辅助角合并成一个正弦 —— 这是「化简求性质」类解答题的固定开头。 【关键】。第一问：；令 ，解得 ，所以单调递减区间为 ，。 【关键】第二问：由 得 。正弦在该区间上的最大值为 ，此时 ，即 ，所以 的最大值为 ；最小值为 ，对应 ，所以 的最小值为 。综上， 的最小正周期为 ，单调递减区间为 ，，在 上的最大值为 ，最小值为 。 【易错】化简时 用的是二倍角余弦，这里的 是公式的一部分，不能与别的常数混淆。求减区间时把 整体代 的减区间，不等式两边同时减去 、再除以 ，两步都要做完整。 【答案】① 最小正周期为 ，单调递减区间为 ，；② 最大值为 ，最小值为 变式2-1（解答·★★★★☆） 设函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 【切入点】函数含 与 ，先降次再合并；第二问的 要换算成相位的区间。 【关键】。（Ⅰ）；令 ，解得 ，即单调递增区间为 ，。 【关键】（Ⅱ） 时 。最小值在 处取到，为 ，由题意 。最大值在 处取到，即 时，最大值为 。综上， 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ，，最大值为 ，此时 。 【易错】化简时 ，产生的常数 要与 合并，漏掉它会让第二问的 算错。另外先由最小值定出 、再求最大值，这个顺序不能颠倒 —— 最大值里含 ，必须先知道 。 【答案】① 最小正周期为 ，单调递增区间为 ，；② 最大值为 ，此时 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求函数的最小正周期、单调递增区间；（2）求时函数的值域． 【切入点】函数是两个同频率三角函数的差，用辅助角公式直接合并；再按整体换元求单调区间与值域。 【关键】。（1）；令 ，解得 。 【关键】（2） 时 ，正弦在该区间上的最小值为 ，最大值为 ，所以 的值域为 。综上， 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ，，在 上的值域为 。 【易错】合并后的相位是 （因为余弦项系数为负），写成 会得到完全不同的单调区间。求值域时要注意区间端点是否取到最值：这里 与 都不是 ，但 已经超过 ，所以最大值仍能在区间内部（）取到。 【答案】① 最小正周期为 ，单调递增区间为 ，；② 值域为 例3（单选·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 对一切 成立，意思是 处取到最大值。把 用 表示再代入相位， 会恰好约掉。 【关键】，所以 。最大值处相位为 ：，即 ，结合 得 。再由 在 上单调，可得 ，；结合 得 。故选 D。 【易错】第一段的代入之所以巧妙，是因为 里的 与相位里的 正好抵消，于是 可以不依赖 单独解出来。第二段求 的范围时，「在区间上单调」意味着整个区间落在同一个单调区间内，这个不等式要写成双向的，漏掉一侧就会得到错误的上下界。 【答案】D 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由最小正周期定出 ，把函数写清楚；再求全部正零点，观察它们的排列规律后求和。 【关键】。由 得 ，所以 。令 ：，得 或 ，即 或 。正零点从小到大为 ，奇数项是首项 、公差 的等差数列，偶数项是首项 、公差 的等差数列。前 项中各取 项：，，合计 。故选 A。 【易错】「前 项」是奇数项、偶数项各 项，不是各 项 —— 这是最容易数错的地方。等差数列求和用「项数 ×（首项 + 末项）÷ 2」，末项是首项加 倍公差；这里公差为 ， 项的和里含 个公差。 【答案】A 奇偶性 提高题的常见结构是两个条件定两个参数。例如给一个最值点（或相邻解的距离）定出 ，再给一个奇偶性条件定出 。两个条件之间通常独立：先从含周期的条件解出 ，代回去之后奇偶性条件里就只剩 一个未知量。求解时不要同时上两个方程，分两步走更清楚。 第二种结构是含参的辅助角。函数形如 ，平移后要求是偶函数 ——先把两项合并成 ，其中 ；再用平移与偶函数条件定出 ，最后由 反解 。这条链上的每一环都很短，但要按顺序走，中间跳一步就串不起来。 第三种结构是充分必要条件的判断。题目给一个关于 的等式，问它是「 为偶函数」的什么条件。判断要双向做：先由条件推出结论（充分性），再由结论推出条件（必要性）。这类题常见的陷阱是结论给出的是一族解（含 ），而条件只给其中一个子族（含 ），于是只有充分性成立。 最后是用定义证明奇偶性的解答题。步骤固定：先写定义域，说明它关于原点对称；再算 ，逐步化到 或 ；最后下结论。过程中最容易错的是符号： 里的两个负号（ 变成 、 的符号变化）要一起处理，只改一处就会得出错误的结论。 还有一处读题的习惯要养成：题目若说「平移后得到的图象关于 轴对称」，那就是偶函数；说「关于原点对称」，那就是奇函数。这两种几何说法与「 是偶函数」「 是奇函数」完全等价，读到时要立刻翻译过来 —— 用函数语言列方程比用「对称」二字推敲要可靠得多。 例4（多选·★★★☆☆） 已知函数是偶函数，设函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的值域是 D. 在区间上单调递减 【切入点】条件说 是偶函数，先把 的通式解出来，再逐个选项判断。注意 里出现了 ，所以 的奇偶会让 有两种不同的形状。 【关键】 为偶函数，所以 ，。A 正确。此时 ，在 上 递减、 递增，两种情形的单调性相反，B 错误。：当 为偶数（）时，，值域为 ；当 为奇数（）时，，值域同样是 。C 正确。两种情形下 在 上都递减（前者的相位落在 ，后者用的是负号），D 正确。故选 ACD。 【易错】C、D 都必须对 的奇偶分别讨论，两类都成立才能说「一定正确」。讨论时最容易错的是 那一支：，这个负号丢掉就会得到相反的值域。 【答案】ACD 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）判断的奇偶性并给出证明；（2）证明：在区间有且仅有一个零点. 【切入点】第一问用定义判断奇偶性，第二问用单调性加零点存在定理证明零点唯一。两问都要先把 或导数算清楚。 【关键】，定义域为 ，关于原点对称。，所以 为偶函数。 【关键】第二问：。在 上 ，且 ，所以 （仅在 处等于 ），即 在该区间上单调递减。又 ，，由零点存在定理知区间内至少有一个零点，再由单调性知至多有一个，所以在 上有且仅有一个零点。 【易错】第一问里 ，两个负号相消，这一步少写一个负号就会误判成奇函数。第二问证明唯一性要两句话：单调性保证「至多一个」，端点异号（零点存在定理）保证「至少一个」，两句缺一不可。 【答案】① 为偶函数；② 在 上有且仅有一个零点 变式4-2（解答·★★★★★） 已知函数，其中，若函数是偶函数，求的值． 【切入点】函数是二次式与正弦式之差，二次式本身是偶函数，所以偶函数的条件全部落在正弦那一项上。用定义写出 即可。 【关键】由 得 ，约去 并整理： 对一切 成立。由 得 或 ：前者给出 ，含 ，不能对一切 成立；后者给出 ，即 ，所以 。结合 得 或 。 【易错】 的通解有两种情形，都要写出来；含 的那一种要明确指出它不能对一切 成立，否则结论不完整。另外 是偶函数，约去它不影响条件 —— 这一步可以说一句「二次项本身为偶函数」，把注意力集中到正弦项上。 【答案】 或 例5（单选·★★★☆☆） 若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【切入点】函数含参数 ，要先合并成单一正弦并写出辅助角；再用「左移 后为偶函数」定出辅助角，进而解出 ，最后求区间上的最小值。 【关键】，其中 。左移 个单位得 ，它为偶函数，所以 ，得 。由 且正切以 为周期，。所以 。 时 ，最小值为 。故选 C。 【易错】辅助角那一步要写清 这个关系 —— 它是连接「相位」与「参数」的唯一通道。求出 的通式后不必逐一试 ：因为正切以 为周期， 对所有的 都取同一个值。最后求最小值时把 看成整体，注意区间右端 已经超过 ，最小值出现在左端而不是右端。 【答案】C 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】题目问的是充分必要性，先把「 为偶函数」等价的条件求出来，再与给定的参数条件比较包含关系。 【关键】右移 个单位得 。 为偶函数，所以 ，即 ，。再看过来的条件 ：代入得 ，此时 ，确为偶函数，所以充分性成立。反过来， 为偶函数时 可以是 中不属于 的值（例如 ），所以必要性不成立。故选 A。 【易错】判断充分必要性必须双向做：先由条件推结论，再由结论推条件。本题的关键是看出结论给出的是一族解（含 ），而条件只给了其中一个子族（含 ），一族比另一族小，于是只有充分性成立。 【答案】A 例6（单选·★★★★☆） 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给了两个独立条件：「 的两解最小距离为 」用来定 ，「左移 后为偶函数」用来定 。分两步走，先 后 。 【关键】由 得 或 。相邻两解的距离最小为 ，对应到 上就是 ，所以 。左移 后得 ，它为偶函数，故 ，得 ；结合 得 。所以 。令 得 。 时 ，该区间内恰有两个零点，即恰含 与 两个 ，所以 ，解得 。故选 D。 【易错】第一步的换算容易错：正弦的两个相邻解在相位上相距 ，对应到 上要除以 。第三步定 的范围时，要数清「恰有两个 」意味着区间包含哪两个 —— 这里是 与 ，于是右端介于 与 之间，且左端已由 保证。端点取舍也要留意：右端可以取到 （此时第三个零点尚未进入），而左端取不到 。 【答案】D 变式6-1（单选·★★★☆☆） 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【切入点】正切型平移后为奇函数 —— 注意正切的对称中心间隔是 ，列方程时用的是 而不是 。 【关键】左移 个单位得 。 是奇函数，所以 为奇函数时只需相位为 ：，即 ，解得 。 时取 得最小值 。故选 B。 【易错】正切的周期是 ，它「平移后仍为奇函数」所需的平移量是 的整数倍，这一点与正弦余弦（用 的整数倍）不同 —— 因为正切的对称中心每隔 就有一个。解出 的通式后取最小正值即可。 【答案】B 对称轴与对称中心 提高题的入口常常是三种距离的换算。正弦（余弦）图象上：相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半个周期，而相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一周期。题目给其中任何一种距离，都能反推出周期，再由 得到 。这三条换算要能脱口而出，它是本讲最常用的桥梁。 第二种结构是区间内恰有若干条对称轴（或中心）。处理办法是把相位区间写出来： 从 到 ，对应 从 到 。在这个相位区间里数一数包含了几个 （轴）或几个 （中心），「恰有 个」就翻译成「相位区间的右端点落在某个范围内」。这一步是这类题的题眼，数错了端点就会把范围写宽或写窄。 第三种结构是对称与单调联用。题目同时给「在某个区间上单调」与「某条直线是对称轴」两个条件，前者限定 落在某个范围，后者把 限定在一族离散值上，两者结合往往能把 唯一确定。求出解析式之后，题目问的方程根、单调区间也就都能算了。 最后一种是由图象读对称轴。题目给出一段图象，要求某条对称轴或某个对称中心。读图的顺序是：先从 轴上的截距或最值点定出 ，再由零点间距定出 ，最后代对称轴（中心）的公式。读图题的关键不在计算，而在把图上每个关键点的坐标看准 —— 看错一个点，后面全错。 例7（单选·★★★★☆） 已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由「相邻对称中心距离」定 ，再由「关于某点对称」定 ；最后把方程有两根翻译成「两根关于某条对称轴对称」，逐条对称轴算一遍。 【关键】相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，所以 ，，。又 关于 对称，故 ，得 ；结合 得 。所以 。 【关键】方程 在 上有两个根，即 （）在 上有两个解。这两根关于某条对称轴对称，而该相位区间内有三条可能的对称轴：、、。若关于 对称，则 ，，，；若关于 对称，同理得 ，；若关于 对称，得 ，余弦值又回到 。所以所有可能取值构成的集合为 。故选 A。 【易错】第一句换算要用「相邻中心距离 = 半个周期」，写成「等于一个周期」就会把 算错一半。第二段要数清相位区间内有哪些对称轴 —— 区间长度是 ，恰好含三条轴，三条都要试，不能只试中间那条。另外两根之和的公式是 = 对称轴值的两倍，不要漏乘 。 【答案】A 变式7-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递减 【切入点】两个条件：关于某点对称（给出一族 ）、区间内有且只有两条对称轴（给出 的范围）—— 两者结合把 定下来，再判断各选项的单调性。 【关键】。由关于 对称得 ，即 ，。对称轴满足 ，即 。在 内有且只有两条，要求 对应的 落在区间内而 的不在：，解得 。结合通式只有 （）符合。于是 ，它的单调递增区间满足 ，即 。取 得 ，而 是它的子区间，故 B 正确。故选 B。 【易错】「区间内有且只有两条对称轴」的不等式要写准： 时的轴是 ， 时是 ，两者都要小于 ，而 时的 要不小于 。偷懒只写一侧就会把 的范围放宽。另外判断单调性时用整体换元，把 代进 的增区间。 【答案】B 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先化简，再由「对称轴」与「单调递增」两个条件定 ；最后处理带绝对值的方程，把根逐一列出求和。 【关键】。由 是对称轴得 ，即 ；结合在 上递增，取 得 。 【关键】此时 。方程 ：当 时化为 ，即 ；当 时左边为 ，不成立。所以等价于 。解得 或 ，即 或 。在 内，第一族有三个：；第二族有三个：。六根之和为 。故选 C。 【易错】带绝对值的方程要分正负讨论：在 时等于 ，在 时等于 ，后者给不出解。数列根时要逐个验证落在 内 —— 本题两族各三个，取到第四个就越界了。 【答案】C 例8（解答·★★★★☆） 已知函数（1）求曲线的对称轴方程；（2）若关于x的方程 ()在上恰有2个解，求a的取值范围. 【切入点】先把函数化简成一个正弦，对称轴方程就能直接读出；第二问把 也看作频率的一部分，用相位区间内解的个数反求 的范围。 【关键】（1）。对称轴满足 （），解出 ，即对称轴的方程是 ，。 【关键】（2）由 得 ，即 。由 、 得 。而 的解为 或 。在给定的相位区间里，第一个解是 ，第二个是 ，第三个是 。恰有 个解，说明区间包含了前两个而不含第三个：，解得 。 【易错】第一问化简时 ，负号可以直接去掉。第二问的数解要注意解的排列： 的正弦值在一个周期内有两个解（一个在第四象限的 ，一个在第三象限的 ），它们交替出现，间隔是 ；数「恰有 个」时要把这两个先数上，再看第三个在哪里。 【答案】① 对称轴方程为 ，；② 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给了部分图象，要先由图上的关键点读出 与 ，再代对称轴的公式。 【关键】由图可知 时 ，代入 得 ，即 ；结合 得 。再由图象可知 时 ，且该点是下降段的零点，所以 ，即 ，。又由图象可知周期满足 ，即 ，代入 得 ，所以只能取 ，，故 。令 得 ，；取 得 。故选 D。 【易错】读图题有两个关口：一是把 轴上的截距 与下降段的零点 看准；二是用「 落在 与 之间」把 的无限多个可能值筛成一个。少了第二步， 取任何整数都成立，答案就不唯一了。 【易错】读图题的难点不在计算而在把点的坐标看准：先看 轴截距定 （本题是 ），再看相邻零点或最值点的横坐标差定 。求对称轴时要把相位写成整体，解出的是 的一族值，与选项逐一对照。 【答案】D 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给了两个计数条件（极大值点个数与对称中心个数），都翻译成「相位区间的右端点落在某个范围内」，取交集即可。 【关键】 时 。极大值点在相位等于 处，即 、、、。恰有 个，故右端介于 与 之间：。对称中心在相位等于 处，即 、、、。恰有 个，故右端介于 与 之间：。取交集：，解得 。故选 A。 【易错】两个条件要分别写成不等式再取交集，不能只看其中一个。写作时注意端点的开闭：左端是严格不等（再多一点就会多出一个点），右端可以取等（恰好落在最后一个点上）。另外极大值点的间隔是 （不是 ），而对称中心的间隔是 —— 两者数法不同，别混。 【答案】A 变式9-1（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 【切入点】区间内有且仅有 个零点和 条对称轴 —— 把相位区间的两个端点用 表示，再数该区间里含几个零点、几条轴。 【关键】 时 。余弦的零点在相位等于 处，对称轴在相位等于 处。恰有 个零点，说明区间包含 而不含 与 中的另一个（视端点位置而定）；恰有 条对称轴，说明区间包含 而不含 。两条件取交集，解得 ，即实数 的取值范围是 。 【易错】这道题的两个计数条件要一起用，单看一个条件只能得到很宽的区间。数点时要分清「零点」与「对称轴」在相位上的位置：余弦的零点是 ，对称轴是 ，两者交错排列，间隔都是 。端点取不取等要靠「再多一点会不会多出点」来判断。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 周期、奇偶与对称的统一求法 最小正周期 提高题的第一个变化是反过来用公式：题目给出最小正周期，要求参数。这时把周期公式当方程解即可 —— 解出 ，再由 定下符号。要注意振幅与 可能是同一个字母：函数写成 时，前面的系数就是 ，求值域时要按 来算。 第二个变化是与单调性联用。解答题的标准流程是：先化简成 ，代公式求周期；再把 看作整体 ，由 的单调区间反解出 的区间。两问之间是连续的：求周期只是为了得到解析式里最完整的信息，真正的落点在单调区间或最值上。 第三个变化是把周期与对称联系起来。正弦（余弦）的相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半个周期，而相邻的对称轴与对称中心之间的距离是四分之一周期。题目常常给其中一种距离，要求另一种量 —— 把这三条换算关系记住，就能在周期与对称之间自由切换。 最后提醒一句关于整体换元。这一讲三个知识点（周期、奇偶、对称）看起来是三个问题，解法却是同一个动作：把 记作 ，于是问题变成「 取什么值时 取得最大值、等于零、或成为奇函数」。换元之后，复杂的复合函数就还原成了最熟悉的 、。凡是在这一讲卡住的地方，都可以先问一句： 在哪里？ 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 在上单调递增 D. 若，且，则a的最大值为 例2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在上的最值． 变式2-1（解答·★★★★☆） 设函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求函数的最小正周期、单调递增区间；（2）求时函数的值域． 例3（单选·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 奇偶性 提高题的常见结构是两个条件定两个参数。例如给一个最值点（或相邻解的距离）定出 ，再给一个奇偶性条件定出 。两个条件之间通常独立：先从含周期的条件解出 ，代回去之后奇偶性条件里就只剩 一个未知量。求解时不要同时上两个方程，分两步走更清楚。 第二种结构是含参的辅助角。函数形如 ，平移后要求是偶函数 ——先把两项合并成 ，其中 ；再用平移与偶函数条件定出 ，最后由 反解 。这条链上的每一环都很短，但要按顺序走，中间跳一步就串不起来。 第三种结构是充分必要条件的判断。题目给一个关于 的等式，问它是「 为偶函数」的什么条件。判断要双向做：先由条件推出结论（充分性），再由结论推出条件（必要性）。这类题常见的陷阱是结论给出的是一族解（含 ），而条件只给其中一个子族（含 ），于是只有充分性成立。 最后是用定义证明奇偶性的解答题。步骤固定：先写定义域，说明它关于原点对称；再算 ，逐步化到 或 ；最后下结论。过程中最容易错的是符号： 里的两个负号（ 变成 、 的符号变化）要一起处理，只改一处就会得出错误的结论。 还有一处读题的习惯要养成：题目若说「平移后得到的图象关于 轴对称」，那就是偶函数；说「关于原点对称」，那就是奇函数。这两种几何说法与「 是偶函数」「 是奇函数」完全等价，读到时要立刻翻译过来 —— 用函数语言列方程比用「对称」二字推敲要可靠得多。 例4（多选·★★★☆☆） 已知函数是偶函数，设函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的值域是 D. 在区间上单调递减 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）判断的奇偶性并给出证明；（2）证明：在区间有且仅有一个零点. 变式4-2（解答·★★★★★） 已知函数，其中，若函数是偶函数，求的值． 例5（单选·★★★☆☆） 若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例6（单选·★★★★☆） 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 对称轴与对称中心 提高题的入口常常是三种距离的换算。正弦（余弦）图象上：相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半个周期，而相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一周期。题目给其中任何一种距离，都能反推出周期，再由 得到 。这三条换算要能脱口而出，它是本讲最常用的桥梁。 第二种结构是区间内恰有若干条对称轴（或中心）。处理办法是把相位区间写出来： 从 到 ，对应 从 到 。在这个相位区间里数一数包含了几个 （轴）或几个 （中心），「恰有 个」就翻译成「相位区间的右端点落在某个范围内」。这一步是这类题的题眼，数错了端点就会把范围写宽或写窄。 第三种结构是对称与单调联用。题目同时给「在某个区间上单调」与「某条直线是对称轴」两个条件，前者限定 落在某个范围，后者把 限定在一族离散值上，两者结合往往能把 唯一确定。求出解析式之后，题目问的方程根、单调区间也就都能算了。 最后一种是由图象读对称轴。题目给出一段图象，要求某条对称轴或某个对称中心。读图的顺序是：先从 轴上的截距或最值点定出 ，再由零点间距定出 ，最后代对称轴（中心）的公式。读图题的关键不在计算，而在把图上每个关键点的坐标看准 —— 看错一个点，后面全错。 例7（单选·★★★★☆） 已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递减 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 例8（解答·★★★★☆） 已知函数（1）求曲线的对称轴方程；（2）若关于x的方程 ()在上恰有2个解，求a的取值范围. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 变式9-1（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 学科网（北京）股份有限公司 $