第5讲 指数函数与对数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

指数与对数函数 函数与导数 · 专题篇 指对式的化简与求值 一、幂的运算 根式写成分数指数幂：；同底数幂相乘除，指数相加减，幂的乘方指数相乘。负指数取倒数，零指数等于 。 底数为负时先判断它是否在定义域内 —— 偶次根号下的负数没有意义。 二、对数的三条运算律 ，，。 三条律都对真数有要求：、，底数 且 。动手前先把这两条写下来。 三、换底与指对互化 ，特别地 ，即 （底数与真数同时互换）。 底数不同就换成同一个底； 与 随时可以互相改写。 四、嵌套对数由外向内脱 最外层一定是 的形状，由它先写出 ，再往里走一层。 脱的时候一层一层来，不要一次跨两层 —— 底层的真数还没解出来，上一层的写法就落不了笔。 层与层的底数通常各不相同，每一步的底数单独标一下，免得串层。 例1（填空·★★☆☆☆） 计算： = ___________ 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知实数，，若，，则 = （ ） A. B. C. D. 1 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. 8 B. C. D. 变式1-3（单选·★★★☆☆） 若，且，则 = （ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知实数满足，则 = （ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 变式2-2（填空·★★★☆☆） 若，则 = __________ 变式2-3（填空·★★★☆☆） 计算 = _________ 例3（单选·★★☆☆☆） 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式3-1（填空·★★★☆☆） 据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍。设该期间月度投资额的月均增长率为，则 = ________ 指对函数的图象与性质 一、定点 的图象过 ， 的图象过 ，这两个点与底数取什么值无关。 求含参指对函数的定点，就让真数整体等于 ，解出横坐标，再由解析式补出纵坐标。 二、值域 指数式的值域先换元：令 ，则 ，原式化成 的代数式后再按 的范围求。 外层的对数与分式要连着内层一起看，把 的范围丢掉，算出的值域一定偏宽。 三、单调性 时 与 都递增， 时都递减。 复合函数按同增异减判：外层递减时，内层递减才能让整体递增；区间端点落在对称轴的哪一侧，决定了参数取不取等号。 与 互为反函数，图象关于直线 对称。 四、图象变换 先把式子化到同一个底：，这是上下平移，不是左右平移。 同一个目标函数可能由几种不同变换得到，遇到多选题要逐条单独判，别见到一种就下结论。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知函数且的图象经过定点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，则的值域为_______ 变式4-2（单选·★★★☆☆） 若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -5 D. 5 变式4-3（单选·★★★☆☆） 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★☆☆☆） 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（多选·★★★☆☆） 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 变式5-2（单选·★★★☆☆） 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★☆☆☆） 已知函数恒过定点，则 = __________ 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-2（填空·★★★☆☆） 已知 ，且 ，则 的最小值为_____ 比较大小·以 0 和 1 为界 一、先看正负 负数一定小于正数。 在 时与 反号， 则恒为正。 对数式与底数为负的奇次幂，先别算具体值，直接判出它在 的哪一边。 二、再与 比 在 时与 的大小由底数决定： 时大于 ， 时小于 。 与 比，等价于真数与底数比 —— 真数比底数大则对数大于 ，比底数小则小于 （ 时）。 三、负指数与根式先化成幂 ，。化成同一个底之后，指数的大小关系就是数的大小关系。 四、指对互化 就是 ， 就是 。 把条件里的指数式全部改写成对数式，三个数才谈得上放在一起比。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 变式7-3（单选·★★☆☆☆） 设函数，若，则与0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 例8（单选·★★☆☆☆） 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★☆☆） 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 变式9-2（单选·★★★☆☆） 已知，，，则、、的大小关系是（ ）。 A. B. C. D. 比较大小·化归与构造 一、先去绝对值 在 时等于 ，在 时等于 。把绝对值拆掉，几个数才都化成同一类。 自变量小于 时对数为负，去绝对值要取相反数，把这件事做完再比。 二、同底作商与作差 两个对数底不同、真数也不同时，先换成自然对数再作商，分子分母交叉配对，看结果与 的大小。 作商与 比、作差与 比，两种都行；作商后若能凑成两个小于 的正数相乘，乘积小于 一步到位。 三、取对数把指数搬下来 比较 与 时两边取对数，指数搬到系数位置，变成比较 与 。 幂与常数比时，把常数也写成同一个底的幂，两边就能对上。 四、构造函数 几个数若是同一个函数在不同点上的取值，先把这个函数写出来，求导定出它的增减区间，再代点比较。 导数分子里再出现 这类结构时，把它记成一个新函数继续判号，不要停在第一步。 例10（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式10-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 变式10-3（单选·★★☆☆☆） 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 例11（单选·★★☆☆☆） 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式11-1（单选·★★★☆☆） 已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式11-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式11-3（单选·★★★☆☆） 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 例12（单选·★★☆☆☆） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式12-1（多选·★★★☆☆） 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 指对型函数的奇偶性 一、先把定义域摆平 奇偶性要求定义域关于原点对称。含分母的式子先让分母不为零，把定义域写出来，再看它是否对称 —— 不对称就一定不是奇函数或偶函数，参数的范围能先砍一刀。 二、定义域为 时用 函数在 处有定义时，奇函数必须满足 ，这是最快的一条。 求出的参数要回代核一遍，偶函数查 ，奇函数查 。 三、指数式的两个常用形状 与 本身就是奇函数， 是偶函数。 把一个指数式化成「奇函数加常数」的形式，就能看出它是由哪个奇函数平移得到的，对称中心一并读出来。 四、奇偶性与单调性合用 奇函数在关于原点对称的两段上单调性相同，偶函数相反。 解 这类不等式时，先用奇偶性把两边的自变量搬到同一个单调区间上，再用单调性脱掉函数记号。 例13（单选·★★☆☆☆） 若函数是奇函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 变式13-1（单选·★★☆☆☆） 若函数为奇函数，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 变式13-2（单选·★★☆☆☆） 已知是偶函数，且当时，，则 = ( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 变式13-3（单选·★★★☆☆） 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则 = （ ） A. B. C. D. 例14（填空·★★☆☆☆） 若函数（，且）是偶函数，且，则 = ______ 变式14-1（单选·★★★☆☆） 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 变式14-2（填空·★★★☆☆） 已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________ 例15（单选·★★☆☆☆） 已知函数，当函数为奇函数时，为（ ） A. B. C. 0 D. 变式15-1（多选·★★★★☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，记。若奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 变式15-2（填空·★★★★☆） 已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______ 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数与对数函数 函数与导数 · 专题篇 指对式的化简与求值 一、幂的运算 根式写成分数指数幂：；同底数幂相乘除，指数相加减，幂的乘方指数相乘。负指数取倒数，零指数等于 。 底数为负时先判断它是否在定义域内 —— 偶次根号下的负数没有意义。 二、对数的三条运算律 ，，。 三条律都对真数有要求：、，底数 且 。动手前先把这两条写下来。 三、换底与指对互化 ，特别地 ，即 （底数与真数同时互换）。 底数不同就换成同一个底； 与 随时可以互相改写。 四、嵌套对数由外向内脱 最外层一定是 的形状，由它先写出 ，再往里走一层。 脱的时候一层一层来，不要一次跨两层 —— 底层的真数还没解出来，上一层的写法就落不了笔。 层与层的底数通常各不相同，每一步的底数单独标一下，免得串层。 例1（填空·★★☆☆☆） 计算： = ___________ 【切入点】两项互不相干，各算各的：前一项用根式的性质，后一项把真数写成底数的幂。 【关键】；又 ，所以 。两式相减得原式等于 。 【易错】 不等于 —— 先平方再开方，得到的永远是绝对值，负数被平方吃掉了。后一项要先看出 ，才能用 ；直接报出 是背下来的，写不出依据。 【答案】 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知实数，，若，，则 = （ ） A. B. C. D. 1 【切入点】两个条件形式不同，先把第二个（右边不是对数的）化回指数式，再与第一个联立，把 、 一次解出来。 【关键】由 得 ；由 得 。两式联立，，因 故 ，两边同除以 得 ，于是 。所以 ，。故选 C。 【易错】两边同除以 之前要交代 ，这里靠题设的 兜住。最后一步不必换底，看出 就能直接报出指数。把 算成 是把真数当成底数了。 【答案】C 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. 8 B. C. D. 【切入点】三层嵌套，由外向内逐层脱；右边是 ，最外层脱出来就是 。 【关键】由 得 ；再由 ，得 。故选 C。 【易错】三层用的底数依次是 、、，要把这条链写清楚再代。可以顺着验一遍：、、，三段都对上就说明没串层。 【答案】C 变式1-3（单选·★★★☆☆） 若，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 与 通过同一个 搭上关系，把它们都换成以 为底的对数，条件里就只剩 一个未知数。 【关键】由 知 ，故 、，于是 、。代入条件：。所以 ，又 ，故 。故选 D。 【易错】取倒数这一步用的是 —— 底数与真数同时互换，写成 就丢了那个倒数。合并时 与 相除得到 ，符号别漏：结果是 ，不是 。 【答案】D 例2（单选·★★☆☆☆） 已知实数满足，则 = （ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 【切入点】两个等式并列，各自反解一个变量即可；嵌套对数由外向内逐层脱。 【关键】由 得 ，所以 ；由 得 ，所以 。两式相加得 。故选 D。 【易错】逐层脱时要盯住每层的底数：第一个等式外层底数是 、内层是 ，第二个恰好反过来，看反一处答案就变。另外脱外层时右边的数就是外层的幂 —— 这里右边是 不是 ，只有右边为 时幂才退化成 。 【答案】D 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】分母是两个平方根之和，分子是两个平方之差，正好是平方差公式，先约分再算。 【关键】由 知 ，分母不为零。分子 ，约去分母后原式等于 。又 ，故 。故选 C。 【易错】平方等于 的两个数都可能取到：由 解得 ，两种取法都合法，一个给 、一个给 ，所以答案必须带 ，只写 就丢掉一半。另外要先用 说明分母不为零，才能约分。 【答案】C 变式2-2（填空·★★★☆☆） 若，则 = __________ 【切入点】三处都以 为基本块，把它整体记作 ，对数方程就变成一个三次方程。 【关键】先写定义域： 且 。记 （），则 ，。原方程化为 ，两边乘 得 ，即 。左边分组分解：，故 或 。于是 或 ，所以 的取值为 或 。 【易错】换 时用的是 ，分母跟着换元后是 ，不算这一步整题接不下去。两边乘 需要 ，也就是 ，这条限制要在结尾回头核一遍： 与 都不等于 ，符合要求。 【答案】或 变式2-3（填空·★★★☆☆） 计算 = _________ 【切入点】七项相加，逐项看它属于哪一类：分数指数幂、换底、底数幂、对数零值、常用对数凑整、以及 。 【关键】逐项化简。，故第一项 。第二项 。第三项底数非零，等于 ；第四项 。第五、六项合并：。第七项 。所以原式的值等于 。 【易错】第一项的负指数作用在整个底数上：先算 再取倒数，不能只对分子取倒数。第二项两次「三倍」要一起用 —— 底数 、真数 ，两个 正好约掉。第七项是 的直接应用，不要再去取对数算一遍。 【答案】 例3（单选·★★☆☆☆） 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】真数里含字母，先由「真数为正」与「底数合规」把 的范围定下来，再把右边的 化成同底的对数。 【关键】真数 ，且底数 、，两式合起来给出 。此时 ，原不等式成为 。底数 时 递增，所以 ，即 ，整理得 ，解得 或 ；与 取交集得 。故选 D。 【易错】去对数时不等号方向由底数决定。本题要先由真数为正推出 ，才敢把不等号原样保留；若底数落在 里，方向要反过来。另一个滑手处是解完二次不等式忘了跟 取交集，把 也算进去。 【答案】D 变式3-1（填空·★★★☆☆） 据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍。设该期间月度投资额的月均增长率为，则 = ________ 【切入点】「三个月内翻倍」讲的是增长率与时间的关系，先把这个条件写成指数方程，再对两边取以 为底的对数。 【关键】月均增长率为 ，则每月是上月的 倍；三个月后翻倍，即 。两边取以 为底的对数，由 得 ，所以 。 【易错】「翻倍」是月末等于月初的 倍，方程右边写 而不是 ；把三个月的指数 丢掉会算成 。取对数时要把指数先提下来，再解一次一次方程，顺序别反。 【答案】 指对函数的图象与性质 一、定点 的图象过 ， 的图象过 ，这两个点与底数取什么值无关。 求含参指对函数的定点，就让真数整体等于 ，解出横坐标，再由解析式补出纵坐标。 二、值域 指数式的值域先换元：令 ，则 ，原式化成 的代数式后再按 的范围求。 外层的对数与分式要连着内层一起看，把 的范围丢掉，算出的值域一定偏宽。 三、单调性 时 与 都递增， 时都递减。 复合函数按同增异减判：外层递减时，内层递减才能让整体递增；区间端点落在对称轴的哪一侧，决定了参数取不取等号。 与 互为反函数，图象关于直线 对称。 四、图象变换 先把式子化到同一个底：，这是上下平移，不是左右平移。 同一个目标函数可能由几种不同变换得到，遇到多选题要逐条单独判，别见到一种就下结论。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知函数且的图象经过定点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】对数函数的图象恒过 —— 只要能凑出真数等于 ，函数值就是 ，与底数无关。 【关键】令真数 ，得 ，所以 。此时对任意 且 都有 ，即图象过定点 ，横坐标为 。故选 C。 【易错】是让真数等于 ，不是让真数等于 —— 后者会得到 ，没有意义。另外 在实数范围内只有 一个解，选项里那个带正负号的答案是按平方根写的。 【答案】C 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，则的值域为_______ 【切入点】分式的分母里含 ，先看分母能取到哪些值，再按分式的性质反推。 【关键】，所以分母 ，且分母不为零。把分母记作 ，。 时 ； 时 。两段合起来，所以 的值域为 。 【易错】 只能取正数，所以分母上界是 但取不到 ， 那一端必须是开的。分母为零的地方（）要单独剔掉，它把值域劈成两段，写成一个大区间就错了。 【答案】 变式4-2（单选·★★★☆☆） 若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -5 D. 5 【切入点】 是 的平方，令 就把函数化成 的二次函数。 【关键】令 ，则 ，。若 ，对称轴 落在区间外，函数在 上递增，最小值取不到 ，不合题意。若 ，对称轴 落在区间内，最小值在顶点处取得，为 。由 得 ，又 ，故 。故选 A。 【易错】换元后要写明 —— 这个二次函数的定义域不是全体实数，顶点落不落在区间里直接决定有没有最小值，只盯着顶点公式会漏掉 这一支的讨论。解出 有两解，要用 筛掉正的那一个。 【答案】A 变式4-3（单选·★★★☆☆） 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（ ） A. B. C. D. 【切入点】题给的反函数是哪个函数，先把它写出来，再去找让对数项归零的那个 。 【关键】 的反函数是 ，故 。于是 。令 ，得 ，此时 ，所以图象必过定点 。故选 D。 【易错】求定点是让括号里面的 等于 ，本题恰好也解出 ，但换成 就不同了，思路要按「括号整体归 」走。另外反函数要写成 ，只把字母换个位置不算求出来。 【答案】D 例5（单选·★★☆☆☆） 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】指数型复合函数的单调性，先判外层的增减方向，再定内层要往哪边走。 【关键】记 ，外层 。底数 在 内，所以外层在 上递减。要使 在 上递减，由同增异减知内层 在 上必须递增。 是开口向上的二次函数，对称轴 ，对称轴右侧递增，故 ，即 。故选 A。 【易错】外层是递减的，所以内层要取「异」，也就是递增 —— 这一步判反了会把答案选成另一支。另一个滑手处是端点：区间右端是开的，对称轴落在 上或 左侧都行，写成 就把 误删了。 【答案】A 变式5-1（多选·★★★☆☆） 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 【切入点】两个函数的底数不同，先把它们都化到同一个底，再谈变换。 【关键】。A 项：横坐标变成原来的 （纵坐标不变）得到 ，A 正确。B 项：横坐标变成原来的 倍得到 ，B 错误。C 项：由 知向上平移 个单位即可，C 正确。D 项：向左平移 个单位得到 ，它与 不是同一个函数，D 错误。故选 AC。 【易错】先把两个函数化到同一个底再谈变换 —— 看着复杂，换底之后就是 。同一个目标函数可以由不同变换得到（横坐标缩一半、向上平移一格都行），这种题要把每个说法单独判，不能见到一条对的就收工。 【答案】AC 变式5-2（单选·★★★☆☆） 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】外层是对数且底数 小于 ，所以真数那一层必须递减；同时真数还得恒为正。两件事一起管。 【关键】记 ，外层 ，底数在 内，外层递减。要使 在 上递增， 在 上必须递减且恒正。 开口向上、对称轴 ，在 上递减要求 ，即 。又 在 上递减，其最小值在 处取到，恒正只要求 ，即 ，解得 。两式合起来得 。故选 B。 【易错】真数恒正这一条最容易漏。本题因为 在 上递减，最小值落在右端点 上，所以只查 就够；若内层是递增的，就得改查左端点。另外区间的右端是开的， 也不违反「恒正」，所以 要保留，端点不能写成严格不等号。 【答案】B 例6（填空·★★☆☆☆） 已知函数恒过定点，则 = __________ 【切入点】函数里既有对数项又有一次项，定点由对数项决定 —— 让真数等于 就能把对数项消掉，剩下的部分与底数无关。 【关键】令 ，得 。此时 ，所以 ，即定点为 ，、，所以 。 【易错】定点是让对数项为零，不是让整个函数为零，令 解出的是另一个点。这个函数带一次项 ，纵坐标不是 而是 ，漏掉这一项就答成 。 【答案】 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个函数都要求递增，一个含对数之差、一个是两项指数之和，先把对数那一个换底整理成 的倍数。 【关键】由换底公式，。它递增要求方括号为正。若 ，两个对数都为正且 ，方括号反而为负，不合；若 ，，方括号恒正，符合。再要求 递增，即 在 上恒成立。整理得 ，而左边恒大于 ，故只要 ，即 ，，，解得 或 。与 取交集得 。故选 D。 【易错】 递增是要求 前面的系数为正，而 落在 还是 决定了两个对数的正负，必须先分类。处理 时不能只代 就完事：这里左边关于 递增，最小值在 处取到，所以查 那一端确实够，但要把这个理由写出来。 【答案】D 变式6-2（填空·★★★☆☆） 已知 ，且 ，则 的最小值为_____ 【切入点】两个对数都是「以字母为底、以 为真数」，按 拆开后，条件里的 正好能乘上去。 【关键】记 、，题设给 。。把和式乘上条件：。因为 、，由基本不等式 ，当且仅当 ，即 时取等号。所以 的最小值为 。 【易错】乘条件式这一步是本题的钥匙 —— 直接对 用基本不等式，取等的条件是 ，与 联立不出可行解，等号根本取不到。乘上条件等于把约束用进去，取等条件才与题设相容。还要注意 、 保证了 、，这是能用基本不等式的前提。 【答案】 比较大小·以 0 和 1 为界 一、先看正负 负数一定小于正数。 在 时与 反号， 则恒为正。 对数式与底数为负的奇次幂，先别算具体值，直接判出它在 的哪一边。 二、再与 比 在 时与 的大小由底数决定： 时大于 ， 时小于 。 与 比，等价于真数与底数比 —— 真数比底数大则对数大于 ，比底数小则小于 （ 时）。 三、负指数与根式先化成幂 ，。化成同一个底之后，指数的大小关系就是数的大小关系。 四、指对互化 就是 ， 就是 。 把条件里的指数式全部改写成对数式，三个数才谈得上放在一起比。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个量都算不出具体值，但 一定大于 ，把这个下界顺着等式往下传。 【关键】由 得 ，于是 。由 且 得 。又 ，底数 在 内递减，故 。所以 ，也就是 。四个选项里 B 项写的是 ，要求 ，与结论冲突。故选 B。 【易错】脱对数前要把右边的 写成 —— 底数小于 ，函数递减，直接写成 就把方向弄反了。题目问的是「不可能」，只要有一个选项与已确定的关系冲突就够，不必把 的大小也定出来。 【答案】B 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】第一个数与第三个数都能化成底数 的幂，先解决这一对；第二个数单独与 比。 【关键】。 递减，而 ，所以 。又 递减，而 ，所以 。于是 ，即 。故选 A。 【易错】 必须改写成 才能与 同底比较，这是本题的枢纽。比较 与 时，底数 小于 ，真数比底数小反而让对数大于 ，方向最容易反。 【答案】A 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个等式的右边结构差别很大，取一个公共值 ，把三个字母都写成 的式子，再按 落在 还是 分两段讨论。 【关键】记公共值为 ，则 ，由 得 ，由 得 。当 时，、，且 ，得 ；当 时，、、 落在 内，此时 恒成立； 接近 时 很小，得 ； 接近 时 很大，得 。四种排序里唯一不可能的是 ，因为它要求 ，而恒有 。故选 A。 【易错】公共值 必须为正 —— 右边的 与 都是正数，这是等式的自带约束。判断 与 的关系可以串两个不等式： 时 ，而 ，两式接起来就是 。不必去讨论 的具体取值，只要把三段情形各举出一种可能的排序。 【答案】A 变式7-3（单选·★★☆☆☆） 设函数，若，则与0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【切入点】底数 藏在条件 里，先把它解出来， 的增减方向就定了。 【关键】因为 而 ，指数大的反而小，所以 递减，即 ， 在 上递减。又 ，所以 。故选 A。 【易错】由「指数越大反而越小」判出 ，这一步反了后面全错。 要并成 才看得出它大于 ；直接看 ，系数 容易让人误判成比 小。 【答案】A 例8（单选·★★☆☆☆） 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】一个是幂、一个是幂、一个是对数，逐个与 、与 比，把它们钉进不同区间。 【关键】；；。三者依次落在「大于 」「 与 之间」「小于 」三个区间里，所以 。故选 A。 【易错】 的底数 小于 ，指数为正时结果落在 内，不能按「正指数一定变大」去想。 是与 比：真数 而底数 ，对数为负。 【答案】A 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】第一个数与第三个数都大于 ，要放在一起比；第二个数底数比真数大，先判它落在 内。 【关键】。又 ，所以 ，两边取以 为底的对数得 ，于是 。而 ，合起来得 。故选 D。 【易错】比较 与 不能去算 的近似值，要借 与 的大小把 与 挂上关系。 的底数 大于真数 ，底数与真数都大于 而真数更小时，对数落在 内，是正的。 【答案】D 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】第一个数是负指数的幂，先判它落在 内；第二个数能算成具体值；第三个数借 定出下界。 【关键】 的底数大于 、指数为负，故 。。又 ，因为两边平方得 ，所以 。于是 。故选 D。 【易错】负指数要先化成 再开方，写成 是把倒数漏掉了。比较 与 等价于比较 与 ，两边平方化成 与 ，比算对数近似值稳妥。 【答案】D 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数结构相近但底数各不相同，仍旧按「与 比、与 比」定区间。 【关键】 递增，故 ； 递增，故 ； 在 上递增，故 。于是 ，即 。故选 A。 【易错】 的底数小于 ，与 比要借 这个中间量：幂函数 递增，底数小则函数值小。三个数的底数分别是 、、，别看到两个 就以为它们同类。 【答案】A 变式9-1（单选·★★★☆☆） 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件给的是指数式，先把前两个改写成对数式，第三个算成具体值，三个数才谈得上比。 【关键】由 得 ；由 得 ；。因为 （两边立方得 ），所以 。又 （两边立方得 ），所以 。于是 。故选 D。 【易错】 要先算成 这个具体值，有了它才能把 、 各自与同一个数比。比较 与 时两边都立方：左边对应 ，右边对应 ，一步就能定序。 【答案】D 变式9-2（单选·★★★☆☆） 已知，，，则、、的大小关系是（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】第一个数的底数是负数、指数是分母为奇数的分数，先判它的正负；后两个数按与 、 比。 【关键】 就是 的五次方根，仍是负数，所以 。 的底数 在 内，而真数 ，故 。 的底数在 内、指数为正，故 。合起来得 。故选 D。 【易错】 是有意义的，因为根指数 是奇数；但它不是正数，把它当成「底数带负号就无意义」会卡住。判断 与 ：底数小于 ，真数比底数还小，两个「小」叠起来反而让对数大于 ，这一步最容易反。 【答案】D 比较大小·化归与构造 一、先去绝对值 在 时等于 ，在 时等于 。把绝对值拆掉，几个数才都化成同一类。 自变量小于 时对数为负，去绝对值要取相反数，把这件事做完再比。 二、同底作商与作差 两个对数底不同、真数也不同时，先换成自然对数再作商，分子分母交叉配对，看结果与 的大小。 作商与 比、作差与 比，两种都行；作商后若能凑成两个小于 的正数相乘，乘积小于 一步到位。 三、取对数把指数搬下来 比较 与 时两边取对数，指数搬到系数位置，变成比较 与 。 幂与常数比时，把常数也写成同一个底的幂，两边就能对上。 四、构造函数 几个数若是同一个函数在不同点上的取值，先把这个函数写出来，求导定出它的增减区间，再代点比较。 导数分子里再出现 这类结构时，把它记成一个新函数继续判号，不要停在第一步。 例10（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数里第一个与 的关系一眼可知，后两个都大于 ，要在它们之间作商。 【关键】 且 ；；。所以 最小，只需再比 与 。作商得 。因为 、，两个对数都落在 内，乘积小于 ，所以 ，即 。故选 C。 【易错】作商之后要把交叉配对看清楚： 与 重新组合，才有 与 两个形状。两个小于 的正数相乘，乘积也小于 ，这一步不必逐项估计。 【答案】C 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个幂都大于 且指数相同，作商最省事；对数单独判正负。 【关键】，。作商得 ，所以 。又 。于是 。故选 A。 【易错】第一个数带负指数，先化成 才能与第二个用同一个指数作商。两个同指数的幂作商，等于底数作商以后再乘上那个指数，底数小于 且指数为正时结果小于 。 【答案】A 变式10-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】真数与指数里都含 ，令 换出来，函数变成一个偶函数，比大小就变成比 。 【关键】，记 ，则 。，所以 是偶函数； 时 与 都递增，故 也递增。三个自变量对应的 依次是 、、。由 ，而 ，故 ，且它为正。所以 ，由 在 上递增得 。故选 D。 【易错】换成偶函数之后比的是 ：，漏掉这一步会把 当成最小的那个。判断 与 的大小，要比较 与 ，两边平方化成 与 。 【答案】D 变式10-3（单选·★★☆☆☆） 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数都是「以 为底、以 为真数」的形状，把它们看成一个函数在不同点处的取值，先构造这个函数。 【关键】令 （）。求导得 。分子里出现 ，再记 ，则 （）， 递增，所以 ，分子恒为负，即 在 上递减。因为 ，所以 ，也就是 。故选 A。 【易错】导数分子不能直接判号，要再引入 并说明它在 上递增，才能定出分子的正负，这一步不能省。三个数对应的自变量依次是 、、，代点时顺序别错。 【答案】A 例11（单选·★★☆☆☆） 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数形式各不相同：第一个要先解出字母，第二个先合并成一个对数，第三个直接判正负。 【关键】由 得 ，所以 ，而 ，故 。，因为 且 （两边平方得 ），所以 。。合起来得 。故选 B。 【易错】第一个条件要先解出 才能参与比较，拿 直接去和 、 比是比不了的。判断 与 时借 作桥，比较 与 只需平方后比 与 。 【答案】B 变式11-1（单选·★★★☆☆） 已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数带绝对值，三个自变量里有一个小于 ，先把它化到大于 的一侧去，去完绝对值再统一比较。 【关键】；；。三个数都化成了以 为底的对数，而 在 上递增，且 ，所以 。故选 B。 【易错】 小于 ，它的对数是负的，取绝对值时要把负号去掉，得到 而不是 。三个数都化成同底对数之后才能直接比，其中 与 的真数分别大于 ，不必再动。 【答案】B 变式11-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个自变量里有一个落在 内，它的函数值是负的取绝对值，先化到大于 的那一侧。 【关键】 在 上等于 ，在 上等于 。因为 在 上递增，所以 ；因为 递增，所以 。于是 。又 ，而 在 上递增，所以 ，也就是 。故选 A。 【易错】 落在 内，它的函数值要先取相反数再变回对数值：，这一步把第三个数量搬到了与前面两个同一段上，是本题的关键动作。三个数都比在同一段上之后才能直接用单调性。 【答案】A 变式11-3（单选·★★★☆☆） 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】后两个数是同一个函数 在不同点上的取值，先构造这个函数，求出它的增减区间。 【关键】令 （），则 ，所以 在 上递增、在 上递减。，。因为 ， 在 上递减，所以 ，即 。又 。所以 。故选 A。 【易错】 与 要凑成同一个函数在 与 处的取值： 分子分母同乘 才变成 。把 与 比时借 作桥 —— ，靠的是 。 【答案】A 例12（单选·★★☆☆☆） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】第三个数是幂，前两个是对数，先把幂与一个具体的数比，再把这个数写成以 为底的对数，三种形式就统一了。 【关键】因为 ，。又 ，所以 。再比 与 ，作差：。由基本不等式 ，而 ，因为 ，所以分子为正，即 。于是 。故选 C。 【易错】把 写成 是本题的枢纽 —— 这一步把幂、对数两种形式接上了。作差之后分子不能直接判号，要用基本不等式把 放大到 的平方，再与 的平方比，靠 定出正负。 【答案】C 变式12-1（多选·★★★☆☆） 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个等式共用右边的一个值，取这个公共值 ，把三个字母都写成 的式子，再讨论 的取值。 【关键】记公共值为 ，则 、、。A 项：取 ，得 、、，此时 ，A 项正确。B 项：取 ，得 、、，此时 ，B 项正确。C 项：取 ，得 、、，而由 得 ，此时 ，C 项正确。D 项：由 得 ，由 得 ，所以恒有 ，而 D 项要求 ，无法取到，D 项错误。故选 ABC。 【易错】D 项要用 这条对一切 都成立的链来排除，只代几个数看不出普遍性。A、B、C 三项属于「可能出现」型，各举一个符合条件的 就够，但要保证举出的 让三个数都落在定义域内 —— 这里只要 即可。 【答案】ABC 指对型函数的奇偶性 一、先把定义域摆平 奇偶性要求定义域关于原点对称。含分母的式子先让分母不为零，把定义域写出来，再看它是否对称 —— 不对称就一定不是奇函数或偶函数，参数的范围能先砍一刀。 二、定义域为 时用 函数在 处有定义时，奇函数必须满足 ，这是最快的一条。 求出的参数要回代核一遍，偶函数查 ，奇函数查 。 三、指数式的两个常用形状 与 本身就是奇函数， 是偶函数。 把一个指数式化成「奇函数加常数」的形式，就能看出它是由哪个奇函数平移得到的，对称中心一并读出来。 四、奇偶性与单调性合用 奇函数在关于原点对称的两段上单调性相同，偶函数相反。 解 这类不等式时，先用奇偶性把两边的自变量搬到同一个单调区间上，再用单调性脱掉函数记号。 例13（单选·★★☆☆☆） 若函数是奇函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】分母 恒不为零，定义域是整个实数集，直接用奇函数在 处的性质。 【关键】由 解得 。回代：，而 ，满足要求。故选 B。 【易错】 只能筛出候选值，还要回代验证奇函数的定义，有些参数代进去得到的是非奇非偶的函数。回代时把式子通分写成 最省事，也能顺手看出它是标准的奇函数形状。 【答案】B 变式13-1（单选·★★☆☆☆） 若函数为奇函数，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】分子 是奇函数，一个奇函数要变成奇函数，分母只能是偶函数。 【关键】分子 满足 ，是奇函数。奇函数除以偶函数仍是奇函数，所以分母 必须是偶函数。展开得 ，偶函数要求一次项系数为零，即 ，。故选 D。 【易错】也可以从定义域入手：分母为零的点是 与 ，奇函数的定义域必须关于原点对称，要求 ，同样得 。两条路都通，但都要说清依据 —— 只看分子是奇函数就下结论会漏掉分母的约束。 【答案】D 变式13-2（单选·★★☆☆☆） 已知是偶函数，且当时，，则 = ( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 【切入点】求和的自变量都是正整数，要用 的那一段表达式，先由偶函数把它翻出来。 【关键】设 ，则 ，由偶函数得 。所以 。故选 C。 【易错】把 换成 时，代进去的是 的那一段表达式，所以式子里的 要写成 ；直接把正数代进去会算成 ，符号就错了。求和时相邻两项的真数互为倒数，连乘起来首尾相消，只剩 。 【答案】C 变式13-3（单选·★★★☆☆） 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是正数，先由已知那一段的值域判断 落在哪一侧，再决定用哪一段解析式。 【关键】当 时 ，所以 时必有 。此时 ，由奇函数得 。由 得 ，所以 。故选 A。 【易错】用 的表达式时自变量是 而不是 ，写成 就把符号用反了。还要说明另一支不成立：若 ，由 解得 ，与 矛盾。 【答案】A 例14（填空·★★☆☆☆） 若函数（，且）是偶函数，且，则 = ______ 【切入点】偶函数的定义就是 ，先由它把 定出来，再用 解底数。 【关键】由偶函数得 ，于是 。两边平方整理得 对定义域内一切 成立，故 ，即 。由 得 ，即 ，又 且 ，所以 。 【易错】去掉 的绝对值时，不能只取 这一支 —— 它解出 ，只在一个点上成立，说明它不是恒等式；要取两式互为相反数的那一支才给出 。另外 有两个根， 与 把负根筛掉。 【答案】 变式14-1（单选·★★★☆☆） 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都是把 平移后的函数，奇函数的图象关于原点对称，所以先找 的对称中心。 【关键】记 。注意到 ，把两式的分母同乘 可以验证这个和为 ，所以 的图象关于点 对称。把对称中心搬到原点，得到 ，它就是奇函数，C 项正确。也可逐项排除：A、B、D 三项定义域都是 ，而它们在 处的函数值都不是 ，所以都不是奇函数。故选 C。 【易错】上下平移的量要取对称中心的纵坐标 ，不是 ； 是两头函数值之和，用反了选项就选错。判断 A、B、D 三项最快的办法是看 处的函数值 —— 定义域含 时奇函数在 处必须取 。 【答案】C 变式14-2（填空·★★★☆☆） 已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________ 【切入点】两个对数相加，先合并成一个对数，再由偶函数的定义把参数定出来。 【关键】。由 得 ，两边展开后二次项与常数项都相同，比较一次项系数得 ，所以 。此时真数为 ，定义域由真数为正给出 。真数在 处取到最大值 ，两端趋于 ，取值范围是 ，而 递增，所以 的取值范围是 。 【易错】比较一次项系数之前要先把两个括号展开到同一次幂，只看常数项两边都是 ，读不出任何信息。真数配方后写成 ，最大值一眼可见；两端的取值由定义域的开闭决定， 取不到 ，所以 是开的一端。 【答案】 例15（单选·★★☆☆☆） 已知函数，当函数为奇函数时，为（ ） A. B. C. 0 D. 【切入点】先用 定出参数，再把自变量化成一个好算的数。 【关键】定义域是 ，由 得 ，所以 ，确实是奇函数。又 ，代入得 。故选 A。 【易错】 要先把底数取倒数换成 ，才能用 把自变量算成 。另外求出的 要回代确认是奇函数，这一步不能只当成例行公事。 【答案】A 变式15-1（多选·★★★★☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，记。若奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是奇函数能推出 是偶函数；把条件里的 换成 ，两式联立就能把 与 都解出来。 【关键】由 是奇函数得 ，两边求导得 ，即 ，所以 是偶函数。把 中的 换成 ，得 。两式联立解得 ，。A 项：由两式相加得 ，与 A 项写的 差一个负号，A 项错误。B 项：因为 与 互为倒数，，等号在 时取到，所以 ，B 项正确。C 项：对 求导得 。由 与解出的 比较，得 ，即 。此时 ，C 项正确。D 项：，而 ，两者相等，D 项正确。故选 BCD。 【易错】C 项的关键是先由 把 定出来：两边的表达式都是 与 的组合，对应系数比较即得 。漏掉这一步会以为 与 相差一个系数，从而把正确项判成错的。B 项用的是基本不等式，靠的是 与 乘积为 。 【答案】BCD 变式15-2（填空·★★★★☆） 已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______ 【切入点】 是奇函数，先从「定义域关于原点对称」把 定出来，再由 定 。 【关键】定义域要求 ，且对数真数为正，即 。奇函数的定义域必须关于原点对称，所以这个不等式的解集要对称，两个端点 与 关于原点对称，得 。此时 ，由 展开比较，对数项两边相同可以消去，剩下 ，即 ，所以 ，。于是 ，定义域为 。 时 且递增，倒数递减； 递增且落在 内，取对数后为负且递增，取相反数后递减。两段都递减，所以 在 上递减，在 上也递减。 【关键】不等式 即 。两个自变量必须都落在定义域内，这要求 且 ，即「 或 」且「 或 」。分两种情形：两个自变量都落在 时得 ，此时左边函数值为正、右边为负，不等式自动成立；两个自变量都落在 时得 ，该段上 递减，不等式等价于 ，解得 ，与 取交集得 。所以不等式 的解集为 。 【易错】定 这一步靠的是定义域对称，不写就下不去手； 代回后 的解集确实是 ，可以回头验一遍。解不等式时最容易犯的错是把 当成整个定义域上的减函数 —— 它在两段上各自递减，但跨段没有单调性，所以必须先按自变量落在哪一段分类，再在段内用单调性脱函数记号。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $