第4节 指数函数、对数函数、幂函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第4节 指数函数、对数函数、幂函数 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分数指数幂运算 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 对数运算性质 数学运算 基础 B 3 单项选择题 5 指数函数定点 直观想象 基础 D 4 单项选择题 5 对数函数定义域 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 幂函数辨析 数学抽象 基础 B 6 单项选择题 5 中间量比较大小 逻辑推理 基础 C 7 单项选择题 5 反函数与对称 直观想象 基础 A 8 单项选择题 5 对数不等式 逻辑推理 基础 D 9 多项选择题 6 指数函数性质 直观想象 中档 ABC 10 多项选择题 6 对数恒等式判定 数学运算 中档 ABC 11 多项选择题 6 幂函数定义域值域 数学抽象 中档 AB 12 填空题 5 对数方程求解 数学运算 基础 7 13 填空题 5 复合函数定义域 数学运算 中档 （2，+∞） 14 填空题 5 图象平移与定点 直观想象 中档 （−2，0） 15 解答题 6 对数方程与唯一性 数学运算 中档 见解析 16 解答题 6 定义域与值域综合 数学运算 中档 见解析 17 解答题 7 大小比较与对数不等式 逻辑推理 略难 见解析 18 解答题 8 图象变换与反函数 直观想象 略难 见解析 难度分布：基础 9 题，中档 7 题，略难 2 题。全卷共 18 题，满分 100 分。前八道单选与三道多选集中考查指数幂与对数式的化简求值、三类基本初等函数的定义域与值域、以及借助 0 与 1 作中间量比较大小；填空题覆盖对数方程、复合型定义域与图象平移后的定点；四道解答题依次处理对数方程的求解、对数型函数的定义域与值域、大小比较与对数不等式、图象变换与反函数求参，突出"算得准、看得清、写得全"的基础过关要求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第4节 指数函数、对数函数、幂函数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某数据中心扩建后，工程师把单机柜日均耗电量的折算系数记为 E = × − ，则 E 的值等于 A. 1 B. C. 10 D. 14 2． 某即时零售平台把三个前置仓的日订单量（单位：万单）取对数后汇总填报，三项记录依次为 27、 4、 25，则这三项记录之和为 A. 11 B. 5 C. 56 D. 2 3． 某动力电池实验室用 V(t) = + 3（a > 0，且 a ≠ 1）描述电池容量保持率随测试轮次 t 的变化，则该函数图象恒过的定点坐标为 A. (0, 4) B. (2, 3) C. (−2, 4) D. (2, 4) 4． 某县碳汇林项目组用 S(x) = (x − 1) 记录第 x 年新增碳汇面积（单位：万亩），则该函数的定义域为 A. （1，+∞） B. ［1，+∞） C. （0，+∞） D. （−∞，1） 5． 某县域文旅局在民宿入住率调研中，要求从下面四个模型里挑出幂函数模型，符合要求的是 A. y = 2 B. y = C. y = D. y = + 1 6． 某算力中心三台机组本月的负载系数分别记为 a = ，b = ，c = ，把三者由小到大排序，正确的大小关系是 A. c < a < b B. a < b < c C. a < c < b D. b < c < a 7． 某卫星互联网运营商用曲线 y = 记录用户数随月份的增长，把这条曲线关于直线 y = x 对称后得到的另一条曲线记为 C，则曲线 C 对应的函数解析式为 A. y = x B. y = C. y = x D. y = − 8． 某社区团购平台规定：当单仓日订单量 Q（单位：万单）满足 (Q − 1) < 1 时启动一级调度，则启动一级调度时 Q 应满足的条件是 A. 1 ≤ Q < 3 B. 1 < Q ≤ 3 C. Q < 3 D. 1 < Q < 3 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某数据中心用 f(x) = （a > 0，且 a ≠ 1）描述算力规模随月份 x 的变化。下面给出的四个判断中，成立的有 A. 当 a > 1 时，f(x) 在 R 上单调递增 B. 无论 a 取何值，f(x) 的图象都经过点 (0, 1) C. f(x) 的值域为（0，+∞） D. 当 0 < a < 1 时，f(x) 在 R 上单调递减，且值域为［0，+∞） 10． 某 mRNA 疫苗车间把产量数据取对数后归档处理，设 m > 0，n > 0，且 m ≠ 1，n ≠ 1。下列四个等式中，一定成立的有 A. (mn) = 1 + n B. n × m = 1 C. = 1 − n D. (m + n) = 1 + n 11． 某县域文旅局用幂函数 φ(x) = 描述各景区客流随热度指数 x 的分布规律。下列四个结论中，正确的有 A. 当 α = 2 时，φ(x) 的值域为［0，+∞） B. 当 α = −1 时，φ(x) 的定义域为 {x | x ≠ 0} C. 当 α = 时，φ(x) 的定义域为 R D. 当 α = 3 时，φ(x) 的图象关于 y 轴对称 三、填空题（5×3=15分） 12． 某高标准农田项目组把第 x 年的土壤有机质增量记为 G(x) = (x + 2)，若某一年测得的增量记录为 G(x) = 2，则 x = ___________。 13． 某短视频平台用 H(t) = ( − 4) 记录内容热度指数随时间 t 的变化，则 H(t) 的定义域为 ___________。 14． 某即时零售平台把订单量预测曲线 y = 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的新曲线恒过定点 P，则点 P 的坐标为 ___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某 mRNA 疫苗车间的批次合格率 y 满足关系式 y + y = 3，其中 y > 0。求 y 的值，并说明满足条件的 y 是否唯一。 16． 某县碳汇林项目组用 f(x) = (4 − ) 描述第 x 年新增固碳面积（单位：万亩）。求 f(x) 的定义域与值域。 17． 某短视频平台把甲、乙两个运营区的月活用户数（单位：百万人）分别记为 A = 5 与 B = 3。 （1）比较 A 与 B 的大小，并写出比较过程； （2）若某运营区的月活用户数 x 满足 (x − 1) > −1，求 x 满足的取值集合。 18． 某卫星互联网运营商把用户数增长曲线记为 ：y = （a > 0，且 a ≠ 1），把 向右平移 1 个单位长度、再向上平移 3 个单位长度得到曲线 。 （1）求 的解析式，并求出 恒过的定点坐标； （2）当 a = 2 时，若曲线 ：y = (x − m) + n 与 关于直线 y = x 对称，求 m、n 的值，并写出 的定义域。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第4节 指数函数、对数函数、幂函数 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某数据中心扩建后，工程师把单机柜日均耗电量的折算系数记为 E = × − ，则 E 的值等于 A. 1 B. C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】三项分别化简：先处理负指数， = = ； 再算分数指数幂， = (){^|3|} = = 8； 第三项 = = 2。 所以 E = × 8 − 2 = 12 − 2 = 10，选 C。 选项 B 来自漏掉负号把第一项算成 ；选项 D 来自把"减去 2"误写成"加上 2"，负指数只表示取倒数，绝不表示取负号。 【考查知识点】分数指数幂与负指数的运算 【易错点】把负指数当成负号，得出 12 + 2 = 14；或漏掉倒数关系把第一项算成 2． 某即时零售平台把三个前置仓的日订单量（单位：万单）取对数后汇总填报，三项记录依次为 27、 4、 25，则这三项记录之和为 A. 11 B. 5 C. 56 D. 2 【答案】B 【解析】第一项直接由对数定义得到：因为 = 27，所以 27 = 3。 后两项同底，可用"对数相加等于真数相乘"： 4 + 25 = (4 × 25) = 100 = 2。 于是三项之和为 3 + 2 = 5，选 B。 选项 C 是把对数相加误当成真数相加，写成 (27 + 4 + 25)；选项 A 是把 27 错算成 27 ÷ 3 = 9 再加 2；选项 D 则是漏掉了第一项。 【考查知识点】对数的运算性质与对数恒等式 【易错点】把"对数相加"当成"真数相加"，得到 56；不同底的对数必须先各自化简再相加 3． 某动力电池实验室用 V(t) = + 3（a > 0，且 a ≠ 1）描述电池容量保持率随测试轮次 t 的变化，则该函数图象恒过的定点坐标为 A. (0, 4) B. (2, 3) C. (−2, 4) D. (2, 4) 【答案】D 【解析】指数式 与底数 a 的取值无关的唯一情形是指数为 0，此时 = 1。 令 t − 2 = 0 得 t = 2，代入得 V(2) = 1 + 3 = 4。 所以图象恒过定点 (2, 4)，选 D。 选项 A 是令 t = 0 得到的点，它随 a 变化而移动，并不"恒过"；选项 B 忘了真数式 = 1 还要再加 3；选项 C 把 t = 2 错写成 t = −2。 【考查知识点】指数函数图象恒过定点与平移后的定点 【易错点】误把指数为 0 的条件写成 t = 0；或求出 = 1 后忘记加后面的常数项 3 4． 某县碳汇林项目组用 S(x) = (x − 1) 记录第 x 年新增碳汇面积（单位：万亩），则该函数的定义域为 A. （1，+∞） B. ［1，+∞） C. （0，+∞） D. （−∞，1） 【答案】A 【解析】对数有意义的前提只有一条：真数必须大于零，底数 2 已满足大于零且不等于 1。 由 x − 1 > 0 得 x > 1，写成区间即（1，+∞）。 所以定义域为（1，+∞），选 A。 选项 B 错在端点：x = 1 时真数为 0， 0 无意义，端点必须取开；选项 C 忽略了自变量被替换成了 x − 1；选项 D 把不等号方向写反了。 【考查知识点】对数型函数定义域的求法 【易错点】真数大于零误写成大于等于零而选 B；对数定义域只能由真数条件确定，与底数无关 5． 某县域文旅局在民宿入住率调研中，要求从下面四个模型里挑出幂函数模型，符合要求的是 A. y = 2 B. y = C. y = D. y = + 1 【答案】B 【解析】幂函数的标准形式是 y = ，必须同时满足三点：系数为 1、底数就是自变量 x、只有一项。 选项 B 的 y = = ，系数是 1、底数是 x、指数是常数 −2，完全符合，选 B。 选项 A 前面多了一个系数 2，不是幂函数；选项 C 的底数是常数 2、指数是自变量，属于指数函数；选项 D 多出常数项 1，属于幂函数加常数的平移形式。 辨认定型时先看系数再底数，这一步漏看系数最容易失分。 【考查知识点】幂函数的定义与辨析 【易错点】忽略"系数必须为 1"，把 y = 2 当成幂函数；还要区分指数函数与幂函数谁在指数位置上 6． 某算力中心三台机组本月的负载系数分别记为 a = ，b = ，c = ，把三者由小到大排序，正确的大小关系是 A. c < a < b B. a < b < c C. a < c < b D. b < c < a 【答案】C 【解析】先各找一个中间量把三者分开。因为 < 1 而底数 2 > 1，所以 a = < 0。 b 由换底公式得 = = = 5 > 2 = 1。 c = 是指数式，底数在（0，1）内、指数为正，故 0 < c < 1。 三句话合起来就是 a < 0 < c < 1 < b，即 a < c < b，选 C。 本题的关键是"先分正负、再比 1"，不要一上来就算近似值。 【考查知识点】借助 0 与 1 作中间量比较指数式、对数式的大小 【易错点】底数小于 1 时对数函数是减函数，把 误判为负数 7． 某卫星互联网运营商用曲线 y = 记录用户数随月份的增长，把这条曲线关于直线 y = x 对称后得到的另一条曲线记为 C，则曲线 C 对应的函数解析式为 A. y = x B. y = C. y = x D. y = − 【答案】A 【解析】关于直线 y = x 对称的两条曲线，对应的两个函数互为反函数。 由 y = 反解 x：按照对数的定义，指数式 y = 等价于对数式 x = y。 再互换 x 与 y，得反函数为 y = x，这正是选项 A。 选项 B 是原曲线关于 y 轴对称的结果，选项 C 把底数错写成了 ，选项 D 是原曲线关于 x 轴对称的结果，三者都不是关于直线 y = x 的对称图形。 同底的指数函数与对数函数互为反函数，记住这一句可直接写答案。 【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数 【易错点】把关于直线 y = x 对称与关于坐标轴对称混为一谈；反解后不要漏掉互换 x、y 这一步 8． 某社区团购平台规定：当单仓日订单量 Q（单位：万单）满足 (Q − 1) < 1 时启动一级调度，则启动一级调度时 Q 应满足的条件是 A. 1 ≤ Q < 3 B. 1 < Q ≤ 3 C. Q < 3 D. 1 < Q < 3 【答案】D 【解析】解对数不等式要"定义域与单调性两条腿走路"。 先看定义域：真数 Q − 1 > 0，得 Q > 1。 再把右边的 1 写成同底对数 1 = 2，原不等式化为 (Q − 1) < 2。 底数 2 > 1，对数函数单调递增，于是 Q − 1 < 2，即 Q < 3。 两个条件取交集得 1 < Q < 3，选 D。 选项 A、B 在端点上出错，选项 C 漏掉了真数大于零的限制，这三处正是解对数不等式最常丢分的地方。 【考查知识点】对数不等式的解法与真数条件 【易错点】只由单调性得出 Q < 3 而漏掉 Q > 1；端点能否取等要看真数条件与不等号是否严格 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某数据中心用 f(x) = （a > 0，且 a ≠ 1）描述算力规模随月份 x 的变化。下面给出的四个判断中，成立的有 A. 当 a > 1 时，f(x) 在 R 上单调递增 B. 无论 a 取何值，f(x) 的图象都经过点 (0, 1) C. f(x) 的值域为（0，+∞） D. 当 0 < a < 1 时，f(x) 在 R 上单调递减，且值域为［0，+∞） 【答案】ABC 【解析】A 项：底数大于 1 的指数函数在 R 上单调递增，这是教材的基本结论，A 正确。 B 项：因为 = 1 对一切符合条件的 a 都成立，所以图象恒过点 (0, 1)，B 正确。 C 项：指数幂 恒为正，且能取遍所有正数，故值域为（0，+∞），C 正确。 D 项：底数在（0，1）内时函数确实单调递减，但值域仍是（0，+∞）而不是［0，+∞）——指数幂可以无限接近 0，却永远取不到 0，D 错误。 综上答案为 ABC。值域端点开与闭是这类判断题的第一失分点。 【考查知识点】指数函数的单调性、定点与值域 【易错点】把递减时右端的值域写成［0，+∞）；指数函数的值域永远是（0，+∞），取不到 0 10． 某 mRNA 疫苗车间把产量数据取对数后归档处理，设 m > 0，n > 0，且 m ≠ 1，n ≠ 1。下列四个等式中，一定成立的有 A. (mn) = 1 + n B. n × m = 1 C. = 1 − n D. (m + n) = 1 + n 【答案】ABC 【解析】A 项：由"真数相乘等于对数相加"得 (mn) = m + n = 1 + n，A 正确。 B 项：换底公式给出 n = ， m = ，两式相乘正好约成 1，B 正确。 C 项：由"真数相除等于对数相减"得 = m − n = 1 − n，C 正确。 D 项：对数只对乘除有运算性质，对加法没有， (m + n) 无法拆成两项之和，D 错误。 所以答案为 ABC。判定这类等式最快的方法是取 m = 2、n = 4 代入检验。 【考查知识点】对数的运算性质与换底公式 【易错点】误以为对数对加法也能拆开而选 D；换底公式中的分子分母不要颠倒 11． 某县域文旅局用幂函数 φ(x) = 描述各景区客流随热度指数 x 的分布规律。下列四个结论中，正确的有 A. 当 α = 2 时，φ(x) 的值域为［0，+∞） B. 当 α = −1 时，φ(x) 的定义域为 {x | x ≠ 0} C. 当 α = 时，φ(x) 的定义域为 R D. 当 α = 3 时，φ(x) 的图象关于 y 轴对称 【答案】AB 【解析】A 项：φ(x) = 在 R 上的取值非负，且能取遍所有非负数，值域为［0，+∞），A 正确。 B 项：φ(x) = = ，分母不能为 0，故定义域为 {x | x ≠ 0}，B 正确。 C 项：φ(x) = = ，偶次根号下的被开方数必须非负，定义域是［0，+∞）而不是 R，C 错误。 D 项：φ(x) = 满足 φ(−x) = −φ(x)，是奇函数，图象关于原点对称而不是关于 y 轴对称，D 错误。 答案为 AB。判断幂函数的定义域时，先把负指数与分数指数还原成分式或根式再看限制条件。 【考查知识点】幂函数的定义域、值域与奇偶性 【易错点】把 的定义域写成 R；分数指数要先还原成根式，负指数要先还原成分式 三、填空题（5×3=15分） 12． 某高标准农田项目组把第 x 年的土壤有机质增量记为 G(x) = (x + 2)，若某一年测得的增量记录为 G(x) = 2，则 x = ___________。 【答案】7 【解析】由 (x + 2) = 2，按对数的定义把它改写成指数式。 对数式 (x + 2) = 2 等价于 x + 2 = = 9。 解得 x = 7，代入检验： (7 + 2) = 9 = 2，符合题意。 答案为 7。 【考查知识点】对数方程的解法与对数式同指数式的互化 【易错点】把 误算成 6 而答 4；对数方程解出后要代回真数检验其大于零 13． 某短视频平台用 H(t) = ( − 4) 记录内容热度指数随时间 t 的变化，则 H(t) 的定义域为 ___________。 【答案】（2，+∞） 【解析】这是对数与指数复合的函数，定义域仍只由"真数大于零"确定。 令真数 − 4 > 0，得 > 4。 把 4 写成同底的幂 4 = ，由底数 2 > 1 时指数函数单调递增，得 t > 2。 所以定义域为（2，+∞）。 【考查知识点】复合型对数函数的定义域 【易错点】只写对数真数条件而没解出指数不等式；底数大于 1 时不等号方向保持不变 14． 某即时零售平台把订单量预测曲线 y = 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的新曲线恒过定点 P，则点 P 的坐标为 ___________。 【答案】（−2，0） 【解析】原曲线 y = 恒过定点 (0, 1)，这一点在两次平移中要跟着一起移动。 向左平移 2 个单位，横坐标减 2，点变为 (−2, 1)；再向下平移 1 个单位，纵坐标减 1，点变为 (−2, 0)。 也可直接写出新曲线的解析式 y = − 1，令 x + 2 = 0 得 x = −2，此时 y = − 1 = 0，同样得到 (−2, 0)。 答案为 (−2, 0)。 【考查知识点】指数函数图象的平移变换与定点坐标 【易错点】把"向左平移 2 个单位"写成横坐标加 2 而答 (2, 0)；左加右减是针对 x 本身而言的 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某 mRNA 疫苗车间的批次合格率 y 满足关系式 y + y = 3，其中 y > 0。求 y 的值，并说明满足条件的 y 是否唯一。 【答案】解：两个对数的底数不同，先统一成同底再合并。 由换底公式， y = = = × = y。 于是原方程化为 y + y = 3，即 y = 3。 解得 y = 2，再改写成指数式得 y = = 4。 检验：y = 4 > 0 满足真数条件，且 4 + 4 = 2 + 1 = 3，符合题意。 再说明唯一性：函数 F(y) = y + y 在（0，+∞）上是两个增函数之和，因而单调递增，方程 F(y) = 3 至多有一个解。 所以 y = 4，且满足条件的 y 是唯一的。 【解析】思路点睛：底数不同的对数相加，先用换底公式统一底数，这是解这类方程的固定起手式。 关键步骤：注意到 4 = ，可直接得 y = y，比逐项换底更快。 唯一性不要凭感觉下结论，用"两个增函数之和仍为增函数"来说明，步骤分才拿得稳。 最后务必把 y = 4 代回原方程检验，确保真数大于零且等式成立。 【考查知识点】换底公式与对数方程的求解、解的唯一性说明 【易错点】把 y 误当成 2 y（方向颠倒），会解出 y = 2；求出值后不检验真数条件 16． 某县碳汇林项目组用 f(x) = (4 − ) 描述第 x 年新增固碳面积（单位：万亩）。求 f(x) 的定义域与值域。 【答案】解：先求定义域。对数有意义必须真数大于零，即 4 − > 0， 于是 < 4 = ，由底数 2 > 1 时指数函数单调递增，得 x < 2。 所以定义域为（−∞，2）。 再求值域。当 x 在（−∞，2）内变化时， 的取值范围由指数函数的性质可知是（0，4）： 一方面 > 0 恒成立；另一方面由 x < 2 得 < 4；且 能取遍（0，4）内的每一个值。 于是真数 t = 4 − 的取值范围是（0，4）。 底数 2 > 1，对数函数 t 在（0，4）上单调递增，故当 t 取遍（0，4）时，f(x) 的取值没有下界， 且由 t < 4 得 f(x) < 4 = 2；反过来对任意小于 2 的实数，也都能找到相应的 t 与之对应。 于是 f(x) 的值域为（−∞，2）。 所以 f(x) 的定义域为（−∞，2），值域为（−∞，2）。 【解析】思路点睛：求复合型对数函数的值域，标准动作是"先求真数的取值范围，再把它整段代进对数函数"。 关键步骤：由 0 < < 4 得 0 < 4 − < 4，这一步的端点都不能取到，因此值域两端都是开的。 说明"能取遍"时用单调性一句话带过： 随 x 增大而增大，x 从很小增大到接近 2 时，它从接近 0 增大到接近 4。 最容易写错的是把值域右端写成 2 却加了方括号，注意真数取不到 4。 【考查知识点】复合型对数函数的定义域与值域 【易错点】真数取值范围写成（0，4］或［0，4）；值域端点随真数端点一起取开 17． 某短视频平台把甲、乙两个运营区的月活用户数（单位：百万人）分别记为 A = 5 与 B = 3。 （1）比较 A 与 B 的大小，并写出比较过程； （2）若某运营区的月活用户数 x 满足 (x − 1) > −1，求 x 满足的取值集合。 【答案】解：（1）两个数都夹在 0 与 2 之间，用 1 作中间量把它们分开。 因为底数 3 > 1 且真数 5 > 3，所以 A = 5 > 3 = 1； 因为底数 5 > 1 且真数 3 < 5，所以 B = 3 < 5 = 1。 于是 A > 1 > B，即 A > B。 （2）先写定义域：真数 x − 1 > 0，得 x > 1。 再把右端的 −1 写成同底对数：−1 = 3， 原不等式化为 (x − 1) > 3。 此时底数 在（0，1）内，对数函数单调递减，不等号方向要改变，得 x − 1 < 3，即 x < 4。 与 x > 1 取交集，得 1 < x < 4。 所以 x 满足的取值集合为 {x | 1 < x < 4}。 【解析】思路点睛：两个对数不同底也不同真数时，先各与 1 比，若落在 1 的两侧，大小关系立刻明朗，无需换底。 关键步骤：第（2）问的底数 小于 1，函数单调递减，去掉对数符号时必须把大于号改成小于号。 定义域条件 x > 1 要单独列出来并与单调性所得结果取交集，漏写会丢掉一半分数。 答题时建议把"−1 = 3"这一步明写出来，方便阅卷看到同底化的过程。 【考查知识点】用中间量比较对数大小、底数小于 1 的对数不等式 【易错点】第（2）问忘记底数小于 1 时不等号要变向，错得 x > 4；或漏掉真数大于零的约束 18． 某卫星互联网运营商把用户数增长曲线记为 ：y = （a > 0，且 a ≠ 1），把 向右平移 1 个单位长度、再向上平移 3 个单位长度得到曲线 。 （1）求 的解析式，并求出 恒过的定点坐标； （2）当 a = 2 时，若曲线 ：y = (x − m) + n 与 关于直线 y = x 对称，求 m、n 的值，并写出 的定义域。 【答案】解：（1）把 y = 向右平移 1 个单位长度，自变量换成 x − 1；再向上平移 3 个单位长度，函数值加 3。 所以 的解析式为 y = + 3。 求恒过定点：与 a 无关的情形出现在指数为 0 时，令 x − 1 = 0 得 x = 1， 此时 y = + 3 = 1 + 3 = 4，故 恒过定点 (1, 4)。 （2）当 a = 2 时， 的解析式为 y = + 3。 关于直线 y = x 对称的两条曲线对应的函数互为反函数，于是从 y = + 3 中反解 x。 先移项得 = y − 3，再由对数的定义写成 x − 1 = (y − 3)， 即 x = (y − 3) + 1，互换 x 与 y 得反函数为 y = (x − 3) + 1。 与 ：y = (x − m) + n 对比，得 m = 3，n = 1。 的定义域由真数大于零确定：x − 3 > 0，即 x > 3，写成区间为（3，+∞）。 所以 m = 3，n = 1， 的定义域为（3，+∞）。 【解析】思路点睛：平移变换要记牢"左加右减、上加下减"，向右平移 1 个单位是把自变量 x 整体换成 x − 1，而不是在解析式末尾减 1。 关键步骤：求反函数的三步是"移项使指数式单独在一边、改写成对数式、互换 x 与 y"，顺序不能颠倒。 对比系数时要把 的形式与求出的反函数逐项对齐，m 对应真数里的平移量，n 对应整个式子后面的平移量。 最后别忘了对数函数还要交代定义域，这一步常常被漏掉。 【考查知识点】图象的平移变换、指数函数与对数函数互为反函数 【易错点】把向右平移 1 个单位写成 y = + 3；求反函数时漏掉互换 x、y 或漏写定义域 学科网（北京）股份有限公司 $