第6讲指数与对数基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

指数与对数 指对幂的运算与性质 指对运算的落点只有三条。第一条是同底数幂的运算法则：相乘指数相加、相除指数相减、幂的幂指数相乘。第二条是对数的运算法则：积的对数等于对数的和、商的对数等于对数的差、幂的对数等于指数乘对数。第三条是互逆关系：指数式与对数式是同一件事的两种写法，把指数式改写成对数式或反过来，是指对运算最基本的变形动作。 底数不同的式子要先化成同底。换底公式把任意底的对数化成两个同底对数之商；同一个真数与底数对调位置得到的两个对数互为倒数 ——这两条是化同底的全部依据。做乘法时还有一条「链条式」的规律：一串首尾相接的不同底对数相乘，中间的底数与真数会两两抵消，只剩首尾。 含未知数的指数式，标准动作是两边取对数：取完对数，指数上的未知数就被搬到系数位置，原来的幂关系变成一次关系。取哪一底的对数有讲究 ——与题目里出现的记号保持一致：式子里出现常用对数就取常用对数，出现自然对数就取自然对数，最后才不用换算。 四个易错点。一是对数的真数必须大于零，化简约分之前先写定义域，否则会丢掉解或引入增根。二是运算法则只在同底时成立，不同底的对数不能直接相加。三是零次幂与负指数幂要求底数不为零。四是取对数前要确认两边都为正 ——只有正数才有对数，这一步漏掉就会凭空多出解。 例1（填空·★★☆☆☆） 若，则 = __________. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ________. 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 已知，，用，表示 = ______. 例2（填空·★★☆☆☆） = ________. 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ______. 变式2-2（填空·★★☆☆☆） 已知实数，且，若，则 = __________. 例3（填空·★★☆☆☆） 函数且的图象恒过的定点是_____________. 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 如果函数满足，则 = ______． 比较大小的三条路 比较几个数的大小，按代价从小到大依次试三条路。三条路都试完还分不出胜负，才考虑构造函数求导。这个顺序很重要 —— 前两条路往往几秒钟就能解决，一上来就用第三条会浪费大量时间。 第一条路是中间量零与一：把每个数分别与它们比。如果能把几个数分到不同的区间里（比如一个小于零、一个在零与一之间、一个大于一），题目就结束了。判断的依据只有两条：指数函数在底数大于一时递增、底数在零与一之间时递减；对数的符号由底数与真数是否同侧决定 —— 同侧为正、异侧为负。 第二条路是化成同底或同指数。同底的两个幂比大小，看指数；同指数的两个幂比大小，看底数，但要注意底数在零到一与大于一这两段的结论相反。对数之间比大小，能用换底公式化到同底的就化；化不了就两两相减，再通过交叉相乘比较两个分式的分子 ——这一步把「比两个对数」变成了「比两个乘积」。 第三条路是构造函数求导：把要比较的两个数看成同一个函数在两点处的取值，再研究这个函数的单调性。常见的一类构造是「对数除以自变量」，它专门用来处理底数与指数交叉出现的式子。三个易错点：底数在零与一之间时不等号要反向；取对数前先确认两边为正；构造函数后要写清定义域，比较的两个点必须都落在定义域内。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，那么a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★☆☆☆） 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数与对数 指对幂的运算与性质 指对运算的落点只有三条。第一条是同底数幂的运算法则：相乘指数相加、相除指数相减、幂的幂指数相乘。第二条是对数的运算法则：积的对数等于对数的和、商的对数等于对数的差、幂的对数等于指数乘对数。第三条是互逆关系：指数式与对数式是同一件事的两种写法，把指数式改写成对数式或反过来，是指对运算最基本的变形动作。 底数不同的式子要先化成同底。换底公式把任意底的对数化成两个同底对数之商；同一个真数与底数对调位置得到的两个对数互为倒数 ——这两条是化同底的全部依据。做乘法时还有一条「链条式」的规律：一串首尾相接的不同底对数相乘，中间的底数与真数会两两抵消，只剩首尾。 含未知数的指数式，标准动作是两边取对数：取完对数，指数上的未知数就被搬到系数位置，原来的幂关系变成一次关系。取哪一底的对数有讲究 ——与题目里出现的记号保持一致：式子里出现常用对数就取常用对数，出现自然对数就取自然对数，最后才不用换算。 四个易错点。一是对数的真数必须大于零，化简约分之前先写定义域，否则会丢掉解或引入增根。二是运算法则只在同底时成立，不同底的对数不能直接相加。三是零次幂与负指数幂要求底数不为零。四是取对数前要确认两边都为正 ——只有正数才有对数，这一步漏掉就会凭空多出解。 例1（填空·★★☆☆☆） 若，则 = __________. 【切入点】 是一个连等式，要求的是 —— 注意这里要的是倒数，所以想到用换底公式的「取倒数」这一面。 【关键】由 得 ，所以 。这一步用的是 。 同理 。两式相加，底数相同，对数的和等于积的对数：。 而 ，所以 。 答案为 。 【易错】这里最容易错的是把 、 各自解出来再取倒数 —— 那要先算 的小数近似，做不下去。正确做法是先把「取倒数」这个动作换成「对调底数与真数」，两个对数立刻变成同底，可以合并。 【答案】 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ________. 【切入点】已知 ，又给了一条指数式 ，要求 。把指数式化成对数式，让两个字母都变成对数。 【关键】由 得 。于是 。 这正好是「链条式」：。更保险的算法是全部换成常用对数：。 答案为 。 【易错】 这一点别看错 —— ，所以对数是 不是 。换底时分子分母的位置也要盯住：，真数在上、底数在下。 【答案】2 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 已知，，用，表示 = ______. 【切入点】两个指数式 、，要用 、 表示 。先把两条指数式都取常用对数，让 、 现出原形。 【关键】由 得 ；由 得 。 两式相除可以把 消掉： —— 但这没用上 、 的乘积。改成相乘：，也就是 。 再把分母改写：。于是 。 解出 ：，，所以 。 答案为 。 【易错】关键的一步是把 换成 。要把结果表示成 、 的式子，分母里就不能留 或 ；而 正好把它换掉。另外解方程时把 当成一个整体，别急着符号化。 【答案】 例2（填空·★★☆☆☆） = ________. 【切入点】这是一道纯计算题，三项各自独立，逐项算完再相加。注意第三项 是零次幂。 【关键】第一项：。这里要看清根号里是 而不是 ，前者先平方得 ，开方后是 ；后者的平方只作用在 上。 第二项：。把 写成 ，由 ，所以这一项等于 。 第三项：任何不为 的数的零次幂都是 ，而 ，所以这一项等于 。 三项相加得 。答案为 。 【易错】 与 完全不同：前者等于 ，后者在实数范围内无意义。另外 而不是 ，因为 ，指数就是对数值。 【答案】4 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ______. 【切入点】已知 ，要求 。式子里既有一元一次的 ，又有 ，把已知等式两边取自然对数，让这两样东西一起露面。 【关键】对 两边取自然对数。左边用「商的对数等于对数的差」拆开：。 所以 。再用 ，把左边整理成目标形状：。 两边同乘 ：。 答案为 。 【易错】 这条负号关系是本题的关键，用反了就会得到符号相反的答案。最后一步 用的是同一道理，两步都别把符号弄丢。 【答案】 变式2-2（填空·★★☆☆☆） 已知实数，且，若，则 = __________. 【切入点】底数里带着未知数 ，指数的位置上也带着 。这种到处是 的式子，最省力的动作是两边同取以 为底的对数 —— 取完之后 ，未知数立刻少掉一大批。 【关键】对 两边取以 为底的对数。左边：；右边：。 所以 。因为 ，两边同除 不改变等号：。 把 拆开：，所以 。 再由 把指数拉出来：，所以 。答案为 。 【易错】取对数的底数必须取成 （题目给的底），取成别的底就白取了。另外 要拆成两个对数之和而不是之积 —— 积的对数是和。最后一步 把 变成 ，这一步决定了答案里出现 。 【答案】 例3（填空·★★☆☆☆） 函数且的图象恒过的定点是_____________. 【切入点】求对数型函数图象恒过的定点。对数函数 的特点是无论底数取什么（只要 且 ），都过 这个点 —— 因为 恒成立。 【关键】把括号里的真数凑成 ：令 ，得 。此时 。 所以无论 取何值，图象都经过点 。答案为 。 【易错】定点不是 而是 —— 是裸的 过的点。本题的真数是 而不是 ，整个图象还向上平移了 个单位，两次变化都要跟上：横坐标 、纵坐标 。 【答案】 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 如果函数满足，则 = ______． 【切入点】给的是一条复合关系 ，要的是 。自变量对不上，先换元把 的真面目找出来。 【关键】令 ，则 。代回去得 ，所以 （把 改回 只是换个字母）。 于是 。 答案为 （或）。 【易错】换元之后必须把 也换成 的表达式（），只换左边不换右边，得到的会是 这种半成品。另外 与 是同一个数，填空题写哪个都对。 【答案】（或） 比较大小的三条路 比较几个数的大小，按代价从小到大依次试三条路。三条路都试完还分不出胜负，才考虑构造函数求导。这个顺序很重要 —— 前两条路往往几秒钟就能解决，一上来就用第三条会浪费大量时间。 第一条路是中间量零与一：把每个数分别与它们比。如果能把几个数分到不同的区间里（比如一个小于零、一个在零与一之间、一个大于一），题目就结束了。判断的依据只有两条：指数函数在底数大于一时递增、底数在零与一之间时递减；对数的符号由底数与真数是否同侧决定 —— 同侧为正、异侧为负。 第二条路是化成同底或同指数。同底的两个幂比大小，看指数；同指数的两个幂比大小，看底数，但要注意底数在零到一与大于一这两段的结论相反。对数之间比大小，能用换底公式化到同底的就化；化不了就两两相减，再通过交叉相乘比较两个分式的分子 ——这一步把「比两个对数」变成了「比两个乘积」。 第三条路是构造函数求导：把要比较的两个数看成同一个函数在两点处的取值，再研究这个函数的单调性。常见的一类构造是「对数除以自变量」，它专门用来处理底数与指数交叉出现的式子。三个易错点：底数在零与一之间时不等号要反向；取对数前先确认两边为正；构造函数后要写清定义域，比较的两个点必须都落在定义域内。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，那么a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数形态各异 —— 一个是幂、一个是指数、一个是对数。这种题先试最省事的中间量 与 。 【关键】：底数 、指数 ，由指数函数递减得 （具体算出来是 ）。 ：底数 、指数 ，由指数函数递增得 ，所以 。 ：底数 、真数 ，两者分居 的两侧，所以 。 三个数被 和 完全分开：，所以 。选 C。 【易错】 的符号容易判反。记法只有一句：底数与真数一个大于 、一个小于 ，对数值就是负的；同侧则为正。另外 与 的比较不必算出具体数值，只要说明一个在 内、一个大于 就够了。 【答案】C 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同型：一个幂、一个指数、一个对数，照例先用 与 分区间。 【关键】：底数 、指数 ，所以 ，即 。 ：底数 、指数 ，所以 。 ：底数 、真数 ，两者分居 的两侧，所以 。 三步就把三个数分开：，所以 。选 D。 【易错】 是「小于 的底数的正指数幂」，一定落在 内，不会变成负数 —— 负数要指数为负才会出现。这一条与 的符号判法不同，别混。 【答案】D 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个幂、一个对数。先把对数的范围夹住，把它当成一把标尺。 【关键】：由 ，且 递增，得 。 ：由 ，得 。所以 。 ，所以 最小，只需比 与 。 【关键】两边取自然对数：，，所以 。 合起来 。选 C。 【易错】 与 的比较靠「都与 比」这一手： 而 ，不必真去算 的近似值。而 与 都是大于 的幂，随便比不出来，必须两边取对数把指数拉到系数位置。 【答案】C 变式5-1（单选·★☆☆☆☆） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个都是对数，底数 都是 的幂，真数 都是 的幂。这种「上下都在开方」的结构，换底之后会整体约掉。 【关键】用 。 。 。 所以 。选 A。 【易错】 里的分数是 ：真数的指数在分子、底数的指数在分母。本题恰好 ，所以分数等于 ，三个对数全相等 —— 换成底数开方、真数不变（）就不会相等了。 【答案】A 例6（单选·★★☆☆☆） 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】、 的底数与指数是交叉的（ 与 换了位置），这是典型的 与 型； 是对数，先把它夹住。 【关键】：底数 、真数 且小于底数，所以 。而 、。所以 最小，只需比 与 。 【关键】两边取自然对数：、。两边同除 ，比较就等价于比较 与 。 研究 ：，在 时为正，所以 在 上递增。 与 都小于 ，且 ，所以 ，于是 ，。合起来 。选 D。 【易错】这类题不能直接比底数或指数任何一个 —— 底数和指数同时在变，只有两边取对数、把「幂的大小」转成「 的大小」才做得下去。另外用 的单调性之前要确认 、 都在 内，否则要分两段讨论。 【答案】D 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个对数的底数与真数都不同，而且真数都小于底数，所以三个数都落在 内 —— 用 与 分不开。改用换底后交叉相乘。 【关键】全部换成自然对数的商：、、。分母都为正，所以比 与 等价于比 与 （对角相乘）。 先比 与 ：比 与 。由基本不等式 ，而 ，所以 ，即 。 再比 与 ：比 与 。，，所以 ，即 。 最后比 与 ：，，所以 。 三条合起来 。选 D。 【易错】交叉相乘时方向要统一： 与 比大小，是拿 与 比（对角相乘），乘成同侧就反了。另外本题三个数都在 内、同在 的同一侧，所以「与 比」这一招从一开始就用不上。 【答案】D 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把 化简（负指数就是取倒数），再看 与 能不能把三个数分开。 【关键】：底数 、指数 ，所以 。 ：底数 、真数 ，两者分居 的两侧，所以 。 ：底数 、指数 ，所以 。 于是 且 —— 最小，只需比 与 两个大于 的数。 【关键】两边取自然对数：，，所以 ，。 合起来 。选 B。 【易错】 必须先化成 ：底数小于 配上负指数会变成大于 的幂，不化简极易判反符号。另外 与 都大于 ，只看「底数大」不够 —— 的 次方与 的 次方，指数也不一样，要取对数才能定。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $