第1讲 定义域与值域专项训练-2027届高三数学一轮复习

定义域与值域 函数与导数 · 专题篇 具体函数定义域 一、四处基本限制 分式的分母不为零；偶次根号下大于等于零；对数的真数大于零、底数大于零且不等于 ；零次幂的底数不为零。 把式子从头到尾看一遍，每一处限制单独写成一个不等式。 二、正切另加一条 需 。 写成 时，把 整体代进这条式子再解 。 三、解法是一律取交集 每个不等式各自解出范围，最后取交集。含绝对值或三角的不等式，画数轴或单位圆定位区间。 四、定义域为 反求参数 「定义域为 」等于说「使式子有意义的不等式对一切实数成立」，于是化成恒成立问题。 分母型化为二次式恒正（二次项系数大于零且判别式小于零）；根式型化为恒非负（二次项系数大于零且判别式小于等于零）。 二次项系数含参数时，必须先单独检验它为零的情形 —— 那个分支往往也是一个解。 例1（单选·★☆☆☆☆） 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【切入点】式子里有两处限制：一个偶次根号，一个分式。把它们各自写成不等式，解出来取交集。 【关键】根号给出 ，解得 ；分母给出 ，解得 。两条同时成立，所以定义域是 且 。故选 C。 【易错】两处限制分属两个方向：根号管的是上界、分母管的是排除一个点。写成「 且 」就是把两处的结论对调了；选项 A、B、D 正是这么设的，落在区间端点与排除点上的差别。 【答案】C 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同一套路：根号一处、分式一处，分别列式再取交集。 【关键】根号给出 ，解得 ；分母给出 ，解得 。合起来是 且 ，写成区间就是 。故选 C。 【易错】这里的分母只排除一个点，区间要在 处断开，不能写成 （那是选项 D）。断点的写法是「左闭右开接左开」，即 那头收、 那头放。 【答案】C 变式1-2（单选·★★★☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分式与对数各一处限制，解法同例 1。 【关键】分式给出 ；对数的真数给出 ，解得 。两条取交集： 且 ，即 。故选 A。 【易错】对数的真数是 而不是 ，解出来是 而不是 。另外 处真数为零，取不到，所以右端是开的 —— 选项 B 写成 就是把右端点收进来了。 【答案】A 变式1-3（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为____________。 【切入点】分式与对数各一处限制，与例 1 同类。 【关键】分母给出 ，即 ；对数的真数给出 ，即 。两条取交集： 且 ，即 。 【易错】 恰在 的右边，所以区间要在 处断开： 与 各写一段，中间那个点单独排除。填空题要写成区间的并集形式，不能只写「 且 」。 【答案】 例2（单选·★☆☆☆☆） 函数的定义域是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【切入点】对数给出一个二次不等式，根号给出另一个二次不等式。两条都解出来，再取交集 —— 这类题的重点在取交集这一步。 【关键】真数大于零：，即 ，解得 或 。根号下非负：，即 ，解得 或 。两条取交集：在负半轴上要同时满足 与 ，得 ；在正半轴上要同时满足 与 ，得 。所以定义域是 或 。故选 C。 【易错】两条不等式在同侧时取更严的那一条：负半轴上 比 更左，所以取 ；正半轴上 比 更右，所以取 。选项 A 把负半轴取成了 ，正是漏掉了「还要满足根号」这一半。 【答案】C 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三处限制：根号、分式的分母、对数的真数。这道题的第二个看点是：分母里的对数除了「真数大于零」，还多一条「对数本身不为零」。 【关键】根号给出 ，解得 ；真数给出 ，解得 ；分母给出 ，即 ，解得 。三条取交集：由后两条先得 且 ，即 。故选 D。 【易错】「对数在分母上」这件事容易被当成只有真数限制，漏掉 就会把 收进来，得到 （选项 B）。判据很直接：分母不为零这条限制对分母里是什么式子都成立。 【答案】D 变式2-2（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为_____. 【切入点】三项各有各的限制：指数式在根号下、零次幂、还有一个分式根号。逐项列式，最后取交集。 【关键】，解得 ；零次幂要求底数不为零，即 ，解得 ；分母要求 ，即 ，解得 或 。三条取交集： 与 得 ，再去掉 ，所以定义域是 。 【易错】分母是 ，它在分母上，所以不能等于零 ——写成 会把 留下来，而 本来就不满足另外两条， 则会与「」冲突，看不出错在哪。这类「根号在分母」的式子，判据是严格大于零。 【答案】 变式2-3（单选·★★★☆☆） 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】根号在分母上、对数在真数上是二次式，两处限制方向一致。本来要取交集，但这里一条比一条严，交集就是较严的那条。 【关键】分母要求 ，即 ；真数要求 ，即 ，解得 或 。两条取交集得 ，即 。故选 D。 【易错】两条不等式的解集方向相同，交集直接取较严的那条（），不必再画数轴。选项 A 给的是 或 —— 那是真数那一条的答案，漏掉了「根号在分母上」这一半。 【答案】D 变式2-4（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为______。 【切入点】对数的真数是含正弦的一次式，根号下是二次式。三角那条解出来是一族区间，再与二次那条取交集 —— 关键是看清这一族区间里哪一段落进了根号给出的范围。 【关键】真数大于零：，即 ，解得 。根号下非负：，解得 。要让两者同时成立， 必须落在 内。这一段里能满足 的部分，是 与 的交集，即 。 【易错】正弦那族区间的周期是 ，而 被限制在长度 的区间里，只有一个周期的片段能落进来 —— 所以取交集这一步是本题的核心。右端点是 而不是 ，因为 ，被根号那一条截断了；且 满足 ，所以右端取闭。 【答案】 变式2-5（单选·★★★☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】根号下含绝对值，正切带参数角。两处限制各写一个不等式 —— 正切那一条要留意它的定义域是排除单点。 【关键】根号给出 ，即 ，解得 ；正切给出 ，两边约去 得 （ 为整数）。在 范围内， 只有 时取到 ，（ 时为 ，也不在开区间内）所以要去掉 ，定义域为 。故选 B。 【易错】正切的定义域除的是 ，不是 一个点。把 整体代进去后解出 ，再回到 里看哪些 能取到： 给 ； 给 。两个端点都被排除，所以两端都开。 【答案】B 变式2-6（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为______。 【切入点】这个分式的分母是三个绝对值之和与差的组合，直接分段讨论会很碎。先观察它的形状： 与 ，前者恰好是后者用绝对值三角不等式放大后的结果。 【关键】分母不为零，即 。由绝对值三角不等式， 恒成立，等号当且仅当 与 同号或有一个为零，即 时取到。所以「不等号严格成立」等价于 ，解得 。定义域为 。 【易错】若按 、、 分段讨论，三段的结论能对上，但篇幅长、容易漏项。本题的捷径是认出 这个凑配，直接用「取等条件」把不等式化成 。 【答案】 抽象函数定义域 一、核心一句话 函数 的定义域，指的是括号里那一整块的取值范围。同一个 ，括号里换成什么式子，都要落进同一个范围。 二、两个方向 已知 的定义域求 的定义域：由 的范围求出 的范围，那就是 的定义域。 已知 的定义域求 的定义域：把 整体塞进 的定义域，解出 。 三、目标式子另有约束时要再交一次 所求函数除了 还带分母、偶次根号、对数时，这些限制也要列出来，与上一步的范围取交集。 分母里的根号要严格大于零；根号下非负；对数的真数大于零。 四、反函数那条线 的定义域就是 的值域 —— 两者互换，这是反函数唯一的定义域关系。 例3（填空·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【切入点】两个式子用的是同一个 ，只是括号里换了内容。那就先弄清这个 认什么范围 —— 也就是 的定义域。 【关键】 的定义域是 ，说明括号里那一整块 的取值范围是 ，这就是 的定义域。再看 ：它的括号里是 ，同样要落在 内，即 ，解得 ，即 。 【易错】两种写法的区别要盯住：「 的定义域」给的是 的范围，不是 的范围 —— 要先把 的范围推出来，才能往另一个式子上套。把 直接当成 的定义域，会解出 。 【答案】 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 的定义域，求 的定义域 —— 方向是往里塞，直接把括号里的内容限制住即可。 【关键】 的定义域是 ，所以 要落在这个区间内：，解得 ，即 。故选 A。 【易错】这里 的定义域是开区间，所以 的两端都取不到，解出来的区间也是开的。另外 与 都要减 再除以 ，只对一端做变形会得到 （选项 B）。 【答案】A 变式3-2（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一道同类，方向都是往里塞。 【关键】 的定义域是 ，所以 ，解得 ，即 。故选 A。 【易错】解不等式时两边先加 再除以 ，得到 。选项 D 把 原样抄了下来 —— 那是 的定义域，不是所求函数的。 【答案】A 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【切入点】 的定义域已知，所求函数外面挂了一个分母 。两部分各自列式，取交集。 【关键】 的定义域是 ，所以 ，解得 。分母是 ，要求 。取交集得 ，即 。 【易错】 那一条本身给出的是 ，分母这一条把它收紧成 —— 端点 就是这么被排除的。写成 就是漏掉了分母的限制。 【答案】 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】所求函数外面多了一层分式与根号。所以要做两件事：把 括号里的内容限制住，再让分母的根号有意义，最后取交集。 【关键】 的定义域是 ，所以 里必须 ，解得 。再看分母： 在分母上，要求 ，即 。两条取交集得 ，即 。故选 A。 【易错】「 括号里的范围」与「分母的限制」是两个独立的来源，少一条就会得到 （选项 C，把 收进来了）或 （选项 B，只算了 那一半）。另外分母里的根号是严格大于零，端点 取不到。 【答案】A 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 【切入点】已知的式子是 ，所求的是 。两个式子的括号内容不同，所以要先由已知求出 的定义域。 【关键】 的定义域是 ，所以 ，这就是 的定义域。再让所求式子中的 落进去：，解得 。分母要求 ，即 。取交集得 。故选 B。 【易错】本题做了两步转化：先由 的范围求出 的定义域 ，再用它限制 。把 当 的定义域直接去限制 ，会得到 ，与分母条件无交集，走不通 —— 这正是提醒回推方向错了。 【答案】B 变式4-2（填空·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【切入点】已知 的定义域，求 的定义域，所以要先回推 的定义域，再往里塞、再交上分母的条件。 【关键】 的定义域是 ，所以 ，即 的定义域是 。于是 ，解得 。分母要求 ，即 。取交集得 ，即 。 【易错】三段动作一步都不能少：回推（ → ）、往里塞（）、交分母（）。漏掉回推会得到 ，漏掉分母会得到 ，都不在四个选项里，可以自查。 【答案】 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【切入点】这回给的和要求的都挂着 、都不是 本身，所以要先回推：由已知条件求出 的定义域，再拿它去限制目标式子里的括号。 【关键】 的定义域是 ，所以 的取值范围是 ，这就是 的定义域。目标函数里 的括号里是 ，所以 ；分母要求 ，即 。取交集得 ，即 。故选 D。 【易错】回推这一步的方向最容易反：已知的是 ，要把 的范围代进 得到 的定义域，而不是把 直接当 的定义域用。若直接当成 的定义域，会得到 ，四个选项里没有，这时应回头检查回推的方向，而不是去改分母的条件。 【答案】D 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标式子的分子上挂了两个 ，分母还有一个一次式。先回推求出 的定义域，再让两个括号内容分别落进去，最后交上分母的条件。 【关键】 的定义域是 ，所以 ，即 的定义域是 。分子上要同时满足 与 ，前者给 ，后者给 ，两条取交集得 。分母要求 ，即 。于是定义域是 。故选 D。 【易错】分子上两个 的括号内容不一样，必须各解一次再取交集，只取其中一个会漏掉一半限制：只看 得 （选项 A 的右半来自别处），只看 得 。分母只排除 一个点，所以区间在 处断开、两头都收。 【答案】D 变式5-2（填空·★★★☆☆） 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________。 【切入点】 的括号里塞的是一个对数，外面还有分母。三条限制：括号内容落在 的定义域内、对数的真数为正、分母的根号为正。 【关键】 的定义域是 ，所以 。由 得 ，即 ；由 得 ，即 。真数为正给出 ；分母要求 ，即 ，解得 。四条取交集得 ，即 。 【易错】解 时，右边 要化成 才能脱去对数，直接得 会得到 ，与左边的下界撞成一空集。最后真正起决定作用的是分母那一条 —— 它把上界从 收紧了。 【答案】 变式5-3（填空·★★★☆☆） 已知，若的定义域是，则的定义域是________. 【切入点】题干把关系说反着给了：给的是反函数的定义域，要的是原函数的定义域。两者的联系只有一条： 的定义域等于 的值域。 【关键】 的定义域是 ，所以 的值域是 ，即 。因为 ，两边同乘 不变号，得 ，所以 ，即 的定义域是 。 【易错】反函数与原函数是「定义域与值域互换」的关系，方向不能弄反：给的是反函数的定义域，那它等于原函数的值域，由此解出来的才是原函数的定义域。另外同乘 时要用到 —— 若 不等号要反向，题干已经把这一条给足了。 【答案】 值域（初等方法） 一、先看定义域 求值域前先定定义域。区间端点常是取到最值的地方，定义域漏一段，值域就少一截。 二、几条固定通道 平方法：两个根号的被开方数互为补数时，平方后化成只含一个二次式。 换元法：出现 时令它等于 ，化成 的二次式；三角式里换元后注意 的范围。 分离常数法：分子分母同为一次式时，拆成「常数加上一个简单分式」。 判别式法：分子分母都是二次式时，整理成关于 的二次方程，由有实根得判别式非负。 基本不等式法：出现 型时用 ，并交代等号何时成立。 三、三角型的两条路 只含 的二次式：先降幂，再令 ，化成闭区间上的二次函数。 与 的一次式同时出现：把函数值记为 ，移项后用辅助角公式合并成一个正弦，由有界性解出 。 四、由值域反求参数 「值域是某区间」等于「最小值等于左端点、最大值等于右端点」，由此定出自变量端点的位置。 图象关于某点对称时，对称区间上的最大值与最小值之和等于中心纵坐标的两倍。 例6（填空·★★★☆☆） 函数的值域为______。 【切入点】两个根号里是 与 ，一加一减正好互补。这种形状直接把整体平方，乘积项里的根号会变成 ，只剩一个变量。 【关键】先定定义域： 且 ，得 。平方得 。由 得 ，所以 。又 ，开方得 。 【易错】平方之后必须交代原函数非负，才能直接开方；少这一句会在 一侧多出一整段，值域写成 。另外平方后的范围是 的，要开回去才是 的，不能把 当成值域。 【答案】 变式6-1（填空·★★★☆☆） 函数的值域为______. 【切入点】式子里有一次项和一个根号，根号下的是一次式。把整个根号令成 ，一次项就跟着变成 的二次式。 【关键】令 ，则 且 ，代入得 。因为 ，抛物线开口向下、顶点 落在区间内，所以最大值是 ，且 可以无限大、函数值无限降低，故 。值域为 。 【易错】换元后一定要把 的范围带上（此处 ）—— 只写「二次函数配方」会误以为最小值也能取到，从而把值域写成有下界的闭区间。另外配方后 的顶点在 处，它在 内，所以最大值能取到，右端是闭的。 【答案】 变式6-2（填空·★★★☆☆） 函数的值域为__________。 【切入点】根号下的二次式可以写成完全平方，于是整个函数变成两个绝对值之和。两个绝对值之和的最小值有现成的几何解释。 【关键】，所以 。把它看成数轴上点 到 与到 的距离之和：当 落在这两点之间时距离之和最小，等于 ；向两侧延伸时距离之和无限增大。所以值域是 。 【易错】 必须先化成 再处理，直接当作 分析没法配对。另外两个绝对值只需系数相同就能用几何意义；若系数不同（如 ），要改用分段讨论或画折线图。 【答案】 变式6-3（填空·★★★☆☆） 函数的值域是_______。 【切入点】两个根号里的式子一加正好是 ，这提示用三角换元：、。换完之后式子变成两点连线的斜率。 【关键】令 、，由两个根号都非负知 。于是 ，它表示点 与定点 连线的斜率，其中 在单位圆上第一象限的一段弧上。端点处斜率为 ；与圆弧相切时斜率取到 ，所以值域是 。 【易错】换元时 只能取第一象限（两个根号都非负），整个圆用上会得到相反的结论。另外本题的斜率式分母是 ，恒不为零，不会出现斜率不存在的情形 —— 这保证了值域是个闭区间。 【答案】 变式6-4（填空·★★★☆☆） 函数的值域为_____。 【切入点】 与 混在一起，先用二倍角公式统一成一个角的函数，再换元成二次函数。 【关键】，所以 。令 ，则 ，。对称轴 落在区间左侧，所以函数在 上递减，最大值在 处取得，为 ；最小值在 处取得，为 。值域是 。 【易错】换元后必须写清 —— 不写这一条会把抛物线的顶点当成最值点，算出完全不同的答案。对称轴 在区间外，说明区间上单调，此时最值在两个端点处取，不必再算顶点值。 【答案】 变式6-5（填空·★★★☆☆） 函数的值域为______. 【切入点】分子分母都是 的一次式。两条路都行：分离常数后用正弦的有界性，或者反解出 后用 。 【关键】先分离常数：。因为 ，所以 ，分母的取值范围里含零（ 在 的允许范围内能取到），所以分式在 与 两侧各取一段。分母为正时该分式 ，分母为负时该分式 ，还原得 或 。值域是 。 【易错】分母 在 上能取到零（ 时），所以值域会断成两段 —— 只算单调的一侧、写成 就漏掉了一半。用反解法（ 后令 ）可以得到同一结论。 【答案】 例7（填空·★★★☆☆） 函数的值域是__. 【切入点】分子是二次式、分母是一次式，且定义域给了 。这类式子先配凑：把分子按分母的形式写开，除下去就变成「一次式加上一个反比项」。 【关键】，所以 。因为 ，所以 ，由基本不等式 ，故 ，等号在 即 时成立。所以值域是 。 【易错】配凑时要把分子写成「分母的平方项 ＋ 分母的一次项 ＋ 常数」：，还差 ，写成 正好补齐。另外基本不等式的等号必须能取到（这里 在定义域内），否则最小值只能写成「大于」而不能写成「大于等于」。 【答案】 变式7-1（单选·★★★☆☆） 函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】定义域给了一个区间，分子是二次式、分母是一次式。换元把分母整体设成 ，函数就变成对勾函数。 【关键】令 ，由 得 ，且 ，所以 。对勾函数 在 上递减、在 上递增，最小值在 处为 ；两个端点比较： 时为 ， 时为 ，取较大的 。所以 的范围是 。故选 C。 【易错】对勾函数在闭区间上不能只看顶点，必须再比两个端点哪个更远 —— 本题的右端点 恰好比左端点远。另外换元时区间端点要跟着换： 对应 ，忘了换会把区间算错。 【答案】C 例8（填空·★★★☆☆） 函数的值域为：______。 【切入点】分子分母都是二次式，且分母恒不为零（定义域是全体实数）。这类题不看图形，直接把函数值记为 、整理成关于 的二次方程，再用「这个方程必须有实根」列判别式。 【关键】先把函数值记为 ：，整理得 。因为 取遍全体实数，这个方程必有实根。当 时方程退化为 ，有解 ，可以；当 时按二次方程处理，，解得 。合并两种情况，值域是 。 【易错】 这一支要单独验：此时二次项系数为零，判别式用不了，但它确实能取到（），而且 本来就落在 里，不冲突。更常见的是分母恒不为零这一条要先说明（这里 的判别式小于零），否则「 取遍全体实数」这个前提不成立，判别式法就失效了。 【答案】 变式8-1（填空·★★★☆☆） 函数的值域是______。 【切入点】分子分母都是二次式，但形式相近，可以先换元简化，再用「方程有实根」把 的范围框出来。 【关键】令 ，则 ，原式化为 。整理得 。若 ，等式变成 ，不可能，所以 。于是 ，由 得 ，化简为 ，解得 ，即值域为 。 【易错】 要先单独排除再往下解 —— 它正是使分母 为零的值，直接除会漏掉这一步讨论。解分式不等式时，符号表要把 那个点标出来（分母为零，取不到），所以右端是开的。 【答案】 变式8-2（单选·★★★☆☆） 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分子是正弦、分母是余弦的一次式，两者都出现且都是一次，走「把函数值记为 、用辅助角公式合并」这条路。 【关键】设 。分母 恒成立，可以直接去分母：。左边用辅助角公式合并成 。由正弦有界，，两边平方得 ，解得 ，即 。故选 A。 【易错】去分母前要先说明分母恒正（），否则不等号方向不能确定。平方时两边都非负才可以平方，这里 与根号都非负，条件满足。选项 B 是把 误当成 的结果。 【答案】A 变式8-3（填空·★★★★☆） 已知函数，则 = ________，的值域为________。 【切入点】函数是「1 除以对数」的形状。对数的真数是 ，它的最小值是现成的，于是分母的取值范围可以直接写出来。 【关键】先算 。再看值域：因为 ，所以 ，取倒数得 。值域为 。 【易错】 的最小值在 处取到，所以对数的最小值是 （能取到），倒数的最大值 也是闭的；而对数可以无限大，倒数只能无限接近 但取不到，所以左端是开的。两端的开闭正是这样定出来的。 【答案】； 由定义域或值域反求参数 一、定义域为 「定义域为 」等于说「使式子有意义的不等式对一切实数成立」，于是化成恒成立问题。 分母型化为二次式恒正（二次项系数大于零且判别式小于零）；根式型化为恒非负（二次项系数大于零且判别式小于等于零）。 二次项系数含参数时，先单独检验它为零的情形 —— 那个分支往往也是一个解。 二、值域给定 「值域是某区间」等于「最小值等于左端点、最大值等于右端点」，由此定出自变量端点的位置。 配方后的二次函数在闭区间上求值域，要比较区间端点到对称轴的距离，远的那个决定最值。 三、借助对称性 图象关于某点对称时，对称区间上的最大值与最小值之和等于中心纵坐标的两倍。 四、由定义域推值域 定义域被拆成几段时，先分段算出内层的取值范围，再逐段套外层函数求出对应的值域，最后并起来。 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说定义域是全体实数，那么「使式子有意义」这个条件必须对一切 成立 —— 这就变成了一个恒成立问题。式子外面套着根号且在分母上，所以里面必须恒正。 【关键】要求对任意实数 都有 。先看 ：式子变成 ，恒成立，可以。再看 ：这是二次式恒正，需要开口向上且判别式为负，即 且 ，解得 。两种情况合起来， 的取值范围是 。故选 D。 【易错】 这一支最容易被丢 ——题干只写了「函数」，没有说明它是二次的，所以 时函数退化成常数，定义域仍是全体实数，必须保留。另外分母在根号外，所以里面取正不取零，判别式是严格小于零；写成 会多出 。 【答案】D 变式9-1（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 3 同类：定义域为全体实数，根号下必须恒非负。差别是这里根号外没有分母，所以是「恒非负」而不是「恒正」，判别式可以取到零。 【关键】要求对任意实数 都有 。先看 ：式子变成 ，恒成立，可以。再看 ：需要开口向上且判别式非正，即 且 ，解得 。两种情况合起来，。故选 A。 【易错】与例 3 对照着记：根号下恒非负取 、分母里的根号恒正取 ，差的就是端点那一个值。这里左端 与右端 都能取到，四个端点里只有 靠判别式定， 靠单独讨论定。 【答案】A 变式9-2（填空·★★★☆☆） 若函数的值域为，则实数的取值范围为____________。 【切入点】题干给定值域，要求参数。先把 拆成「绝对值部分加上常数 」，由 的值域反推绝对值部分的值域。 【关键】记 ，则 。由 的值域是 得 的值域是 。要让 取遍一切非负数，只需 落在 的取值范围 内 —— 即 。此时 有解，绝对值可以取到 ，值域恰为 。 【易错】若 ，则 恒成立，绝对值形同虚设， 的值域是 ，下界不是 ，此时 的值域左端大于 ，不合题意。所以答案为 ，左端是开的。 【答案】 例10（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干把值域给定了，要求定义域右端点的范围。反过来想：值域的左端点是函数的最小值，右端点是最大值，只要让这两件事都成立，就能定出 的位置。 【关键】配方得 ，最小值 在 处取到，且 。值域要求最小值是 ，所以区间必须包含 ，即 ；值域要求最大值不超过 ，而 的解是 或 ，所以区间的右端点不能越过 ，即 。合起来 。故选 B。 【易错】两个条件各自管一头：「最小值是 」管的是 的下界（区间要够长，能碰到对称轴），「最大值不超过 」管的是 的上界（不能越过 ，否则函数值会超过 ）。只用一个条件会得到单边的范围，四个选项里恰好各有一个。 【答案】B 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间上的值域为，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【切入点】定义域是对称区间 ，值域是 ，要的是 。这种问法指向对称性：若函数图象关于某个点对称，对称区间上的最大值与最小值之和等于中心纵坐标的两倍。 【关键】把 写成 ，取 ，则 。验证 ，所以 是奇函数，图象关于原点对称。于是 的图象关于点 对称，在对称区间 上的最大值与最小值之和是 。故选 B。 【易错】关键在于从 里把常数 剥出来变成奇函数： 本身不是奇函数，但减去 之后正好凑成 ，与 一起构成奇函数。不剥这一步会看不出对称性，只能去算导数求最值，反而绕远。 【答案】B 变式10-2（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】定义域被拆成了两段，所以先分段算出 的范围，再借反比例函数的形状得到两段值域，最后并起来。 【关键】定义域为 。第一段：，所以 ，取倒数得 。第二段：，所以 ，取倒数得 。并起来是 。故选 B。 【易错】取倒数时要注意分母的符号： 里分母为负，倒数后落在负半轴且 ； 里分母为正，倒数后落在 。把两段的值域直接相加或取并成一个区间都是错的 —— 它们中间隔着原点。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 定义域与值域 函数与导数 · 专题篇 具体函数定义域 一、四处基本限制 分式的分母不为零；偶次根号下大于等于零；对数的真数大于零、底数大于零且不等于 ；零次幂的底数不为零。 把式子从头到尾看一遍，每一处限制单独写成一个不等式。 二、正切另加一条 需 。 写成 时，把 整体代进这条式子再解 。 三、解法是一律取交集 每个不等式各自解出范围，最后取交集。含绝对值或三角的不等式，画数轴或单位圆定位区间。 四、定义域为 反求参数 「定义域为 」等于说「使式子有意义的不等式对一切实数成立」，于是化成恒成立问题。 分母型化为二次式恒正（二次项系数大于零且判别式小于零）；根式型化为恒非负（二次项系数大于零且判别式小于等于零）。 二次项系数含参数时，必须先单独检验它为零的情形 —— 那个分支往往也是一个解。 例1（单选·★☆☆☆☆） 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 变式1-1（单选·★☆☆☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式1-3（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为____________。 例2（单选·★☆☆☆☆） 函数的定义域是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为_____. 变式2-3（单选·★★★☆☆） 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式2-4（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为______。 变式2-5（单选·★★★☆☆） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式2-6（填空·★★★☆☆） 函数的定义域为______。 抽象函数定义域 一、核心一句话 函数 的定义域，指的是括号里那一整块的取值范围。同一个 ，括号里换成什么式子，都要落进同一个范围。 二、两个方向 已知 的定义域求 的定义域：由 的范围求出 的范围，那就是 的定义域。 已知 的定义域求 的定义域：把 整体塞进 的定义域，解出 。 三、目标式子另有约束时要再交一次 所求函数除了 还带分母、偶次根号、对数时，这些限制也要列出来，与上一步的范围取交集。 分母里的根号要严格大于零；根号下非负；对数的真数大于零。 四、反函数那条线 的定义域就是 的值域 —— 两者互换，这是反函数唯一的定义域关系。 例3（填空·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 变式4-2（填空·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 变式5-2（填空·★★★☆☆） 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________。 变式5-3（填空·★★★☆☆） 已知，若的定义域是，则的定义域是________. 值域（初等方法） 一、先看定义域 求值域前先定定义域。区间端点常是取到最值的地方，定义域漏一段，值域就少一截。 二、几条固定通道 平方法：两个根号的被开方数互为补数时，平方后化成只含一个二次式。 换元法：出现 时令它等于 ，化成 的二次式；三角式里换元后注意 的范围。 分离常数法：分子分母同为一次式时，拆成「常数加上一个简单分式」。 判别式法：分子分母都是二次式时，整理成关于 的二次方程，由有实根得判别式非负。 基本不等式法：出现 型时用 ，并交代等号何时成立。 三、三角型的两条路 只含 的二次式：先降幂，再令 ，化成闭区间上的二次函数。 与 的一次式同时出现：把函数值记为 ，移项后用辅助角公式合并成一个正弦，由有界性解出 。 四、由值域反求参数 「值域是某区间」等于「最小值等于左端点、最大值等于右端点」，由此定出自变量端点的位置。 图象关于某点对称时，对称区间上的最大值与最小值之和等于中心纵坐标的两倍。 例6（填空·★★★☆☆） 函数的值域为______。 变式6-1（填空·★★★☆☆） 函数的值域为______. 变式6-2（填空·★★★☆☆） 函数的值域为__________。 变式6-3（填空·★★★☆☆） 函数的值域是_______。 变式6-4（填空·★★★☆☆） 函数的值域为_____。 变式6-5（填空·★★★☆☆） 函数的值域为______. 例7（填空·★★★☆☆） 函数的值域是__. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 例8（填空·★★★☆☆） 函数的值域为：______。 变式8-1（填空·★★★☆☆） 函数的值域是______。 变式8-2（单选·★★★☆☆） 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 变式8-3（填空·★★★★☆） 已知函数，则 = ________，的值域为________。 由定义域或值域反求参数 一、定义域为 「定义域为 」等于说「使式子有意义的不等式对一切实数成立」，于是化成恒成立问题。 分母型化为二次式恒正（二次项系数大于零且判别式小于零）；根式型化为恒非负（二次项系数大于零且判别式小于等于零）。 二次项系数含参数时，先单独检验它为零的情形 —— 那个分支往往也是一个解。 二、值域给定 「值域是某区间」等于「最小值等于左端点、最大值等于右端点」，由此定出自变量端点的位置。 配方后的二次函数在闭区间上求值域，要比较区间端点到对称轴的距离，远的那个决定最值。 三、借助对称性 图象关于某点对称时，对称区间上的最大值与最小值之和等于中心纵坐标的两倍。 四、由定义域推值域 定义域被拆成几段时，先分段算出内层的取值范围，再逐段套外层函数求出对应的值域，最后并起来。 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9-2（填空·★★★☆☆） 若函数的值域为，则实数的取值范围为____________。 例10（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在区间上的值域为，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 变式10-2（单选·★★★☆☆） 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $