第4章 第24讲 第1课时 三角函数的定义域、值域与单调性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

**基本信息** 以三角函数定义域、值域、单调性为核心，通过逻辑推理构建性质应用体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义域与值域|5题（1-2,8(1),10,14）|不等式法解定义域、换元法求值域|从三角不等式到函数最值，构建“条件→转化→结论”推理链| |单调性与周期性|6题（3-4,7,11,13,14）|整体代换求单调区间、图象法分析周期|结合三角函数图象，建立“解析式→性质→应用”关联| |综合应用|3题（5-6,9,12）|性质综合判断、参数问题分类讨论|整合定义域、值域、单调性，培养综合解题思维|

课时分层测评35　三角函数的定义域、值域与单调性 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)＝的定义域是(　　) A.［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) B.［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) C.［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) D.［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) 答案：A 解析：根据题意，函数f(x)＝有意义，则满足－2cos x－1≥0，即cos x≤－ ，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z).故选A. 2.函数f(x)＝sin(2x＋)在(－，)上的值域为(　　) A.(0，1] B.(－，0) C.(－，1］ D.[－1，1] 答案：C 解析：当x∈(－，)时，2x＋∈(－，π).当2x＋＝，即x＝时，f(x)＝sin(2x＋)取最大值1.当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin(2x＋)＝－，结合f(x)的单调性，易知f(x)在(－，)上的值域为(－，1］.故选C. 3.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是(　　) A.f(x)＝｜cos 2x｜ B.f(x)＝｜sin 2x｜ C.f(x)＝cos｜x｜ D.f(x)＝sin ｜x｜ 答案：A 解析：对于A，函数f(x)＝｜cos 2x｜的最小正周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递增，故A正确；对于B，函数f(x)＝｜sin 2x｜的最小正周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递减，故B不正确；对于C，函数f(x)＝cos｜x｜＝cos x的最小正周期为2π，故C不正确；对于D，f(x)＝sin∣x∣＝由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确.故选A. 4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对任意x∈R恒成立，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据题意得f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋，则φ＝2kπ＋.又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin(2x＋).令2x＋∈［2kπ－，2kπ＋］，则x∈［kπ－，kπ＋］.故选B. 5.(多选)下列结论中正确的是(　　) A.sin 1＞cos 1 B.cos＜cos C.tan(－52°)＞tan(－47°) D.sin＞sin 答案：AD 解析：对于A，因为函数y＝sin x在上单调递增，且0＜－1＜1＜，所以sin 1＞sin(－1)＝cos 1，故A正确；对于B，因为函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，cos＝cos＝cos，cos＝cos.又因为0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos＞cos，故B错误；对于C，当－＜x＜0时，函数y＝tan x单调递增.因为－90°＜－52°＜－47°＜0°，所以tan(－52°)＜tan(－47°)，故C错误；对于D，因为函数y＝sin x在(－，0)上单调递增且－＜－＜－＜0，所以sin＞sin，故D正确.故选AD. 【教师备选】　若a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，则(　　) A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 答案：D 解析：因为tan 5＝tan(5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.故选D. 6.(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最大值为＋1 C.f(x)在区间上单调递减 D.为f(x)的一个零点 答案：ACD 解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f(x)的最小正周期为2π，故A正确；当sin＝1时，f(x)的最大值为2，故B错误；因为x∈，所以x＋∈⊆，所以f(x)在区间上单调递减，故C正确；f＝2sin(＋)＝2sin π＝0，所以为f(x)的一个零点，故D正确.故选ACD. 7.已知ω＞0，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的单调递减区间是　　　　. 答案： 解析：由题意知＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋).令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.又x∈，则f(x)在区间. 8.(多题同法)(1)(2025·山东济南一模)函数f＝＋cos x的最小值为　　　　. (2)(新定义)定义运算a*b为：a*b＝例如，1*2＝1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为　　　　. 答案：(1)－1　(2)［－1，］ 解析：(1)当sin x≥0时，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，f＝＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，当sin x＜0时，即2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π，k∈Z时，f＝＋cos x＝－sin x＋cos x＝cos，所以f＝＋cos x＝作出函数f的图象. 结合函数图象可知当x＝2kπ＋π，k∈Z时，函数f＝＋cos x的最小值为－1. (2)由题意可得f(x)＝sin x*cos x，当x∈(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z时，sin x＞cos x，所以f(x)＝cos x，这时函数的值域为［－1，)；当x∈［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z时，sin x≤cos x，所以f(x)＝sin x，这时函数的值域为［－1，］.综上，函数的值域为［－1，］. 9.(10分)已知函数f＝2sin2x＋2sin x·cos x－1. (1)求函数f的单调递增区间； (2)若函数g＝2f，且g＝2，求函数g在区间内的最小值. 解：(1)由题意得f＝2sin2x＋2sin xcos x－1＝－＋2sin xcos x ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故f，k∈Z. (2)由(1)得g＝2f＝4sin， 由g＝2得4sin＝2， 即sin＝， 则2a－＝2kπ＋或2a－＝2kπ＋，k∈Z，解得a＝kπ＋或a＝kπ＋，k∈Z. 又＜，所以a＝，故g＝4sin. 因为x∈，所以2x＋∈， 故g的最小值为g＝4sin＝－4. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选)(2025·浙江衢州、丽水、湖州二模)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，则(　　) A.f(x)的最大值是 B.f(x)在(0，)上单调递增 C.f(－x)＝f(x) D.f(x)在[0，π]上有两个零点 答案：AC 解析：对于A，由于f＝sin x＋cos x＝sin(x＋)≤，且f＝，所以f，故A正确；对于B，因为f＝＞＝f，所以f上不是单调递增的，故B错误；对于C，由于f＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，故f＝sin＝sin(－x)＝sin＝sin(＋x)＝f，故C正确；对于D，若f＝0，则sin＝0，即sin＝0，可得x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上恰有1个零点x＝，故D错误.故选AC. 11.(多选)已知函数f(x)＝sin，若当x∈[m，n](m＜n)时，f(x)∈，则n－m的值可能为(　　) A. B. C. D. 答案：ABC 解析：f(x)＝sin，作出函数f(x)的图象，如图所示. 在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f(x)∈，则需满足所以n－m的值可以为区间内的任意实数.故选ABC. 12.(15分)已知函数f＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(0＜ω≤3)，且函数f图象的一个对称中心为. (1)求ω的值； (2)求f在x∈[0，2π]上的单调递减区间； (3)若f在区间上的值域为，求实数m的取值范围. 解：(1)f＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin. 因为函数f，则f＝2sin＝0， 则－＋＝kπ，k∈Z，即ω＝1－3k，k∈Z. 因为0＜ω≤3，则当k＝0时，ω＝1. (2)由(1)可知，f＝2sin. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 当k＝0时，≤x≤符合题意；当k＝1时，≤x≤符合题意. 故f. (3)x∈，则2x＋∈， 因为2sin＝－， 结合y＝2sin x函数图象可知， 欲使f， 则≤2m＋≤，即≤m≤， 故实数m的取值范围是. (每小题5分，共10分) 13.若函数f(x)＝sin(2x－)与g(x)＝cos(x＋)都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：函数f(x)＝sin上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数g(x)＝cos上单调递减，在上单调递增，所以这两个函数都在区间上单调递减，故(b－a)max＝－＝.故选B. 14.(2025·广东湛江二模)若函数f(x)＝3sin x＋2cos x在[0，α]上单调递增，则当α取得最大值时，cos α＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：f(x)＝3sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝＞0，cos φ＝＞0，且φ为锐角.因为f(x)在[0，α]上单调递增，且φ＋x∈，所以⊆，则α的最大值为－φ，此时cos α＝cos＝sin φ＝.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $