第6讲 分段函数与复合函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

分段函数与复合函数 函数与导数 · 专题篇 分段函数的求值 一、代值之前先判段 把自变量与分界点比一次，落在哪一段就用哪一段的表达式。 分界点上按取等号的那一段算 —— 两段的表达式在分界点处可以不相等。 二、嵌套求值从内往外走 先算里面那个 ，把它算成一个具体的数，再拿这个数去判段、代第二层。 每一层都要重新判段：内层的值很可能落到与外层完全不同的另一段上。 三、递推型分段按步长回推 表示自变量挪动 、函数值不变；把不在已知段内的自变量一步步挪进去，挪几次就用几次递推。 带系数的 要把系数一并乘出来。 四、分界点两侧的值分别算 分段函数在分界点两侧的表达式不同，两边的值一般不相等。 写解析时先交代「取等号的那一段」，求值时两边才不会都用同一个式子。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = __________ 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数则的值为__________ 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式1-3（填空·★★☆☆☆） 设函数，则 = ______ 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. 0 B. C. D. 1 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 变式1-6（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. 0 C. D. 2 变式1-7（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = ____________ 例2（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. 5 C. 2 D. -3 例3（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 4 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若函数，则的定义域为 C. 的值域为 D. 的所有零点之和为 由分段函数的值反求自变量 一、按段各解一次，解完回验 设 ，对每一段都解一次方程；解出的 必须落在这一段自己的区间内，落在别段的一律舍去。 漏掉回验就会留下假解 —— 这是本节最多的一类错，选项里也常常专门设一个这样的干扰项。 二、先算常数项再反求 题面给的是 这种形式时，先把不含未知量的那一项算出来，移到右边，剩下的就是一个标准方程。 三、嵌套反求从外往里拆 先把内层 整体记作 ，由外层的方程解出 能取哪些值，再对每个 解 。 外层解出的 必须落在 的值域内，否则这一支根本没有解。 四、值域先砍一刀 动手前先看每段的值域：某段够不到目标值时就整段跳过，不必去解方程。 绝对值型 要拆成正负两支，别漏。 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则 = （ ） A. 或2 B. 或0 C. 或0 D. 或 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个。 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数 = （ ） A. B. C. D. 变式4-3（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则 = __________ 变式4-4（填空·★★☆☆☆） 已知函数若，则 = ________ 变式4-5（填空·★★☆☆☆） 已知函数若，则 = ________________ 例5（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数 = _________ 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若，则的值是（ ）。 A. B. 1 C. 1或0 D. 或0或1 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 若，则称为函数的幸福点.设函数，则“”是“是的幸福点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 例6（单选·★★☆☆☆） 设函数，若，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式6-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数的值为__________ 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则的值是（ ）。 A. B. C. 或 D. 或 分段函数的单调性与值域 一、值域为 的两个条件 分段函数的值域为 ，要同时满足两条：各段值域并起来能盖住整条实数轴；两段在分界点处的取值必须接得上，中间不能断开。 常见做法是让一段铺满下界、另一段铺满上界，再用接点处的不等式把参数卡住。 二、在 上单调的两条要求 先要求每一段在自己的区间上单调，而且方向一致。 再要求分界点两侧的顺序与方向一致：递增时左边的末端不大于右边的起端。 接点条件是本节最容易写反的一步，写完要把不等号两边各是什么量对一遍。 三、最值要两段一起看 自变量落在哪一段，最小值就在那一段上取。 还要与另一段的值域比一次，确认全局最小值确实出在这一段 —— 只让某一段取到目标值还不够。 四、区间要整体落在一段内 题目说「在某个区间上单调」时，这个区间必须整个落在同一个单调区间里，不能跨界。 这条限制给出端点的不等式，解完再与前面得到的范围取交集。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________ 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★☆☆☆） 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★☆☆☆） 已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★☆☆） 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 变式9-2（填空·★★★☆☆） 已知函数的最小值为，则 = ____________ 变式9-3（填空·★★★☆☆） 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________ 变式9-4（多选·★★★☆☆） 十九世纪数学家迪利克雷提出了函数，被称为迪利克雷函数，其在现代数学的发展过程中有着重要意义。若函数，则下列实数中属于函数值域的有（ ）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 分段不等式的解法 一、按段拆开，各解一次再取并 自变量落在哪一段，就代哪一段的表达式解一次；把每次解出的结果与这一段的区间取交集，最后把所有交集并起来。 「与自己的区间取交集」这一步最容易漏 —— 漏掉就会把没意义的解也写进答案。 二、先判单调性，再脱函数记号 形如 的不等式，先看 在两段上是否都单调、方向是否一致。 在 上单调递减时， 等价于 ，函数记号一脱就成了普通不等式。 三、奇偶性帮忙搬自变量 是奇函数时 ，可以把 改写成 。 偶函数则把 化为 与 的大小比较。 四、自变量本身是待求量 题面问「求自变量的取值范围」时，不等号两边的自变量都可能含参数；脱掉函数记号后得到的就是关于这个参数的不等式，解完即得范围，不必再回代。 例10（单选·★★☆☆☆） 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则的解集是（ ） A. B. C. D. 变式10-2（填空·★★★★☆） 已知函数，则不等式的解集为________ 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 变式11-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 例12（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 复合函数的求值、方程与单调性 一、求值：让括号里的整体等于目标数 已知 的表达式，要求某个函数值时，令 等于给定的那个数，解出 ，再代回原式。 这是由外向内的逆向用法，不必先把 的解析式求出来。 二、求解析式：整体换元或直接配凑 把括号里的式子记作 ，解出 用 表示，再代回右边；也可以直接把右边配成括号里那个式子的形式。 换元之后要写清新的自变量的取值范围 —— 它常常是后面判断定义域与值域的依据。 三、单调性：同增异减 外层与内层增减方向相同时整体递增，相反时整体递减。 外层递减时，要让整体递增，内层就必须递减；动手前先把外层的单调方向定下来。 四、方程：把内层值当整体 先把 整体记作 ，解外层的 ，再把每个 代回去。 解出的 必须落在 的值域内；每个 对应几个 ，还要看那条水平线与内层函数的图象交几次。 例13（单选·★☆☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 变式13-1（单选·★★☆☆☆） 已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则 = （ ） A. 8 B. 4 C. D. 变式13-2（填空·★★★★☆） 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________ 例14（填空·★★★☆☆） 已知函数在上的最小值是1，则 = __________ 变式14-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例15（单选·★★★☆☆） 已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式15-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式15-2（多选·★★★☆☆） 已知函数满足，则（ ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 分段函数与复合函数 函数与导数 · 专题篇 分段函数的求值 一、代值之前先判段 把自变量与分界点比一次，落在哪一段就用哪一段的表达式。 分界点上按取等号的那一段算 —— 两段的表达式在分界点处可以不相等。 二、嵌套求值从内往外走 先算里面那个 ，把它算成一个具体的数，再拿这个数去判段、代第二层。 每一层都要重新判段：内层的值很可能落到与外层完全不同的另一段上。 三、递推型分段按步长回推 表示自变量挪动 、函数值不变；把不在已知段内的自变量一步步挪进去，挪几次就用几次递推。 带系数的 要把系数一并乘出来。 四、分界点两侧的值分别算 分段函数在分界点两侧的表达式不同，两边的值一般不相等。 写解析时先交代「取等号的那一段」，求值时两边才不会都用同一个式子。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = __________ 【切入点】两个自变量分居分界点 的两侧，各代各的表达式，最后相加。 【关键】 落在第二段，所以 ； 落在第一段，所以 。两式相加得 。 【易错】分界点 归在 这一段，用对数式而不是指数式 —— 题目写的是 而不是 ，取等号的那一段要看清楚。另外 是 ，别写成 。 【答案】 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数则的值为__________ 【切入点】内层 走指数段，得到一个大于 的数，第二层改走对数段。 【关键】，所以 。，第二层用 那一段：。所以 的值为 。 【易错】 就是 ，不是 也不是 。第二层的对数式前面带负号，，负号别丢。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 走二次段，算出 ； 走指对段。 【关键】，所以 。又 ，第二层用 那一段：。故选 B。 【易错】分界点 归在 这一段，所以 用的是 ，不是二次式。 与 都是约定的值，别把 当成 。 【答案】B 变式1-3（填空·★★☆☆☆） 设函数，则 = ______ 【切入点】内层 走指数段，算出 ；第二层改走对数段。 【关键】，所以 。，第二层用 那一段：。所以 。 【易错】 里代 ，指数是 而不是 —— 负号跟着自变量一起变号。 是以 为底的常用对数，。 【答案】 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. 0 B. C. D. 1 【切入点】 走二次段，算出 ； 走指数段。 【关键】，所以 。，第二层用 那一段：。故选 B。 【易错】二次段要把三项都代进去：、、常数 一项都不能漏。 是 ，不是 。 【答案】B 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】内层 走指数段，算出 ；第二层走对数段，底数是 。 【关键】，所以 。，第二层用 那一段即 ，所以 。由 得 。故选 A。 【易错】指数段是 ，代 时指数为 ，不是 。 要写成 才看得出答案，直接报 说不清依据。 【答案】A 变式1-6（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. 0 C. D. 2 【切入点】内层自变量 落在 与 之间，走指数段，而且底数与指数正好对上。 【关键】由 知 ，所以用 那一段：。，第二层用 那一段：。故选 B。 【易错】先判断 才能定内层用哪一段 —— 这等价于比较 与 。 是指数恒等式的直接应用。第二层的 ，别写成 。 【答案】B 变式1-7（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = ____________ 【切入点】内层 走指数段，算出 ；第二层走对数段，真数还带一个常数项。 【关键】，所以 。，第二层用 那一段：。所以 。 【易错】对数段的真数是 ，代 得 ，这个加法不能漏，否则会去算 。，负指数的含义要清楚。 【答案】 例2（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】内层自变量是负数，走指数段；算出来的值变成正数，第二层就要改走对数段。 【关键】，所以 。这个值是正的，代第二层用 那一段：。故选 A。 【易错】内层算完必须先判一次正负：，所以第二层用对数式；沿用内层的指数式就全错了。 化成 用的是 、指数相乘。 【答案】A 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. 5 C. 2 D. -3 【切入点】两个自变量各算一次，把结果相加，再看和落在哪一段，代第三层。 【关键】 时 ，所以 ；而 落在第二段，。又 ，。于是 ，。故选 B。 【易错】 要连推两次： 推到 、再推到 ，每次都用同一段递推式，少推一次结果就错。最外层正好又代到 ，与前面算过的 相同，不必重算。 【答案】B 例3（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 4 【切入点】内层自变量 大于 ，先走对数段；算出来的值小于 ，第二层回头走指数段。 【关键】，所以 。又 ，因此第二层用 那一段：。故选 D。 【易错】必须先判断 与 的大小再决定第二层用哪一段，这一步不写出来就无从下手 —— ，靠 得出。 是指对互化，不要算成 乘 。 【答案】D 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若函数，则的定义域为 C. 的值域为 D. 的所有零点之和为 【切入点】四个选项各查一件：具体函数值、定义域、值域、零点之和。先把结构看清 —— 时是指数式， 时按 往前推。 【关键】A 项： 按递推式得 ，A 项错误。B 项： 的定义域是 ，令 得 ，所以 的定义域为 ，B 项正确。C 项： 时 落在 内； 时的函数值由 那一段复制而来，落在 内，两段并起来值域是 ，C 项错误。D 项：由 得 ，再由 知 上的零点依次为 、、，四个零点之和为 ，D 项正确。故选 BD。 【易错】C 项要两段分别求值域再取并集： 时的下界 取不到，所以值域写成 而不是闭区间。D 项的零点有两个来源 —— 段自己解出一个， 段由递推复制出三个，任缺一段都凑不出 这个数。 【答案】BD 由分段函数的值反求自变量 一、按段各解一次，解完回验 设 ，对每一段都解一次方程；解出的 必须落在这一段自己的区间内，落在别段的一律舍去。 漏掉回验就会留下假解 —— 这是本节最多的一类错，选项里也常常专门设一个这样的干扰项。 二、先算常数项再反求 题面给的是 这种形式时，先把不含未知量的那一项算出来，移到右边，剩下的就是一个标准方程。 三、嵌套反求从外往里拆 先把内层 整体记作 ，由外层的方程解出 能取哪些值，再对每个 解 。 外层解出的 必须落在 的值域内，否则这一支根本没有解。 四、值域先砍一刀 动手前先看每段的值域：某段够不到目标值时就整段跳过，不必去解方程。 绝对值型 要拆成正负两支，别漏。 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则 = （ ） A. 或2 B. 或0 C. 或0 D. 或 【切入点】嵌套反求：把内层的 整体记作 ，先解外层的 。 【关键】先看外层能取到 的自变量有哪些。 时 递增，最大值为 ； 时 ，当且仅当 时取等号。所以 的解是 或 。再分别解 与 ： 时 ，取不到 和 ，故 ，由 得 ，由 得 。故选 D。 【易错】外层解出的 只有 与 两个 —— 在 上的最小值是 ，所以 取不到比 小的正数， 不可能有别的值。解 时仍要按段讨论： 那一段的值域是 ，含不下 与 。 【答案】D 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个。 【切入点】外层也是分段的， 要按内层值 落在哪一段分成两大类。 【关键】记 。若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，得 或 ，即 或 。所以 只可能是 、、 三个值。 再按段解 等于这三个数： 时 ，令它等于 得 ，令它等于 得 （超出 ，舍去），令它等于 得 （超出 ，舍去）； 时 ，令它等于 得 或 ，令它等于 得 或 ，令它等于 得 或 。七个值 、、、、、、 都落在各自那一段内，所以满足条件的实数 的值有 个。 【易错】外层要分「」与「」两类，漏掉任何一类都会少解。解出的 必须落回自己那一段： 与 都大于 ，与 矛盾，要舍去。 要拆成 与 两支，只取一支会漏掉一半。 【答案】7 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】三段各解一次，每解出一个就回验它是否落在自己那一段里。 【关键】 时 ，得 ，满足 ； 时 ，得 ，两支都落在 内； 时 ，得 ，与 矛盾，舍去。所以 或 。故选 D。 【易错】选项 C 多了一个 —— 那是第三段解出来却没回验的假解。 有两支，只写正的那一支会漏掉一半答案。 【答案】D 变式4-3（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则 = __________ 【切入点】两段各解一次，重点在回验。 【关键】 时由 得 ，满足 ； 时由 得 ，与 矛盾。所以 。 【易错】第二段解出的 落在 内，与假设 冲突 —— 这个回验不能省，不然会以为方程有两个解。 【答案】 变式4-4（填空·★★☆☆☆） 已知函数若，则 = ________ 【切入点】题面给的是 ，先把常数项 算出来。 【关键】，所以 。 时 ，够不到 ，故 ，由 得 。 【易错】先移项再解，目标是 而不是 。 那一段的值域是 ，够不到 ，要整段排除。 【答案】8 变式4-5（填空·★★☆☆☆） 已知函数若，则 = ________________ 【切入点】还是先算常数项： 代进去就得到 。 【关键】，所以 。 时 ，取不到 ，故 ，由 得 。 【易错】 这一步别丢，否则会去解 。 那一段恒取正值，取不到负数，排除它以后剩下的路只有一条。 【答案】 例5（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数 = _________ 【切入点】 是正数，先看哪一段够得到它，把另一段整段排除。 【关键】 时 ，取值落在 内，够不到 ，故 。此时 ，它的导函数为 ，所以它在 上递减、在 上递增，最小值 ，且 时 并随 增大而增大。由 得 。 【易错】 那一段的值域是 ，够不到 ，所以要直接排除 —— 不排除就会去解 ，白算一步还留下一个 的假解。第二段的值域本身也分了两截（ 上取负值、 上取正值），判断时不要漏。 【答案】 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若，则的值是（ ）。 A. B. 1 C. 1或0 D. 或0或1 【切入点】两段各解一次，第一段的解还要检查是否落在定义域的左端点处。 【关键】 时，由 得 ，所以 ，； 时由 得 ，解得 或 ，其中 不满足 ，舍去。所以 的值是 或 。故选 C。 【易错】选项 D 把 也算进来了 —— 它是第二段方程解出的负根，落在第一段而不是第二段，必须舍去。第一段解出的 正好是区间端点，取等号的那一段是 ，所以 要保留。 【答案】C 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 若，则称为函数的幸福点.设函数，则“”是“是的幸福点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】先把「幸福点」全部解出来，再判 与「 是幸福点」之间的推出关系。 【关键】幸福点的定义就是 。 时令 ，得 ； 时令 ，得 。所以 的幸福点是 与 。由 能推出 是幸福点；反过来 是幸福点时 还可以取 ，推不出 。所以是充分不必要条件。故选 B。 【易错】幸福点有两个而不是一个 —— 只解出 就会误判成充要条件。判断方向时要按「谁推谁」写清楚： 推出「 是幸福点」，反过来不成立，所以是充分不必要。 【答案】B 例6（单选·★★☆☆☆） 设函数，若，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】先按段解出 ，再把 代回去 —— 这是一道「先反求、再求值」的两步题。 【关键】 时 落在 内，够不到 ，无解。 时由 得 ，所以 ，落在 内。于是 。故选 D。 【易错】 那一段恒大于 ，确实取不到 ，这一步要写出来，否则会白解一个无解的方程。，负指数取倒数的关系别算反。 【答案】D 变式6-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数的值为__________ 【切入点】两段各解一次，第二段的解要拿 去卡。 【关键】 时由 得 ，所以 ，满足 ； 时由 得 ，所以 ，与 矛盾，舍去。所以 。 【易错】 化成 ，右边是 ，不是 的平方也不是 。第二段解出的 落在第二段之外，必须舍去。 【答案】 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则的值是（ ）。 A. B. C. 或 D. 或 【切入点】两段各解一次，第二段带绝对值，要拆成正负两支。 【关键】 时，由 得 ，所以 ； 时由 得 ，即 或 ，其中 不满足 ，舍去。所以 的值是 或 。故选 C。 【易错】 有两支， 正好被 挡掉 —— 保留它就会与第一段解出的 混成同一个，看着像只有一个解，其实两支来源不同。底数 的正对数先化成 再算，少一层翻号的风险。 【答案】C 分段函数的单调性与值域 一、值域为 的两个条件 分段函数的值域为 ，要同时满足两条：各段值域并起来能盖住整条实数轴；两段在分界点处的取值必须接得上，中间不能断开。 常见做法是让一段铺满下界、另一段铺满上界，再用接点处的不等式把参数卡住。 二、在 上单调的两条要求 先要求每一段在自己的区间上单调，而且方向一致。 再要求分界点两侧的顺序与方向一致：递增时左边的末端不大于右边的起端。 接点条件是本节最容易写反的一步，写完要把不等号两边各是什么量对一遍。 三、最值要两段一起看 自变量落在哪一段，最小值就在那一段上取。 还要与另一段的值域比一次，确认全局最小值确实出在这一段 —— 只让某一段取到目标值还不够。 四、区间要整体落在一段内 题目说「在某个区间上单调」时，这个区间必须整个落在同一个单调区间里，不能跨界。 这条限制给出端点的不等式，解完再与前面得到的范围取交集。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】第二段在 上已经铺满上界，所以第一段要把下半轴铺满。 【关键】 与 都在 上递增，所以 也递增，值域为 。要使整个函数的值域为 ，第一段 在 上必须取遍 的所有值。这要求它的斜率大于零，即 ，；此时它在 处的值为 ，必须不小于 ，即 。所以 。故选 C。 【易错】两个条件缺一不可：斜率为正保证能往 走，右端点处的值不小于 保证能与第二段接上。第一段在 处取不到，所以 时端点值恰好为 也能接上，等号要保留。 【答案】C 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________ 【切入点】先定出这个分段函数的全部单调递增区间，再要求整个 落进其中一个。 【关键】 时 ，对称轴为 ，所以在 上递减、在 上递增； 时 ，对称轴为 ，在 上递增。所以递增区间是 与 。要让长度恰为 的区间 整体落在其中一个里，需要 或 ，即 或 。所以 的取值范围是 。 【易错】递增区间有两段，两段都要写出来再分别列不等式，只取一段会漏掉一半。区间 是开的，但长度是 ， 与 的端点确实能取到。 【答案】 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】第二段有最小值 ，所以第一段的值不能下探到 以下。 【关键】 时 ，当且仅当 时取等号； 时 递减，值域为 。要在定义域上存在最小值，第一段的取值必须都不小于 ，即 。故选 D。 【易错】第一段递减，它在自变量趋于 时趋向 ，所以它给不出更小的值，全局最小值只能由第二段提供。条件写成 而不是 —— 反了的话第一段会出现比 更小的值，最小值就不存在了。 【答案】D 例8（单选·★★☆☆☆） 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】第二段 的值域从 起，所以第一段要把 以下的部分全部铺满。 【关键】 递增， 时取值不小于 ，所以第二段的值域是 。第一段是 ，定义域为 ，对称轴为 。要让它取遍 中的每一个值，图象必须开口向下且顶点的纵坐标不小于 ：由 得 ；由 得 。所以 。故选 C。 【易错】第二段的最小值是 ，所以第一段的上界要够到 而不是 ，这一步容易想当然。第一段只在 上有定义，而对称轴 落在区间内，最大值就是顶点值 。 【答案】C 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】第二段 的值域是 ，第一段要把 铺满。 【关键】 时 递增，值域为 。所以 时 必须取遍 ：斜率 ，即 ；且在 处的值 不小于 ，即 。合起来得 。故选 D。 【易错】接点处的值是 ，不是 —— 一次式代 要把两项都算上。斜率为正与接点不小于 两个条件要同时立，只写一个会得到过宽的范围。 【答案】D 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】右段是开口向下的二次函数，要让它在 上递减，对称轴的位置是关键。 【关键】设 时 。 递增，所以 递减，再加上递减的 ， 在 上递减。 时 ，开口向下，要在 上递减，对称轴 必须落在 的左侧，即 ，。再接点：，，递减要求 ，即 ，。所以 。故选 D。 【易错】二次段的对称轴是 —— 配方后 的顶点横坐标是 而不是 ，写成 会把范围算成 。接点处要求左段末值不小于右段首值。 【答案】D 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】右段天然递增，左段是开口向下的二次函数，要靠对称轴的位置把它按在单调区间里。 【关键】 时 与 都递增，所以这一整段递增。 时 开口向下，要在 上递增，对称轴 必须落在 的右侧，即 ，。再接点：左段在 从左侧趋于 时趋向 ，右段在 处取值 ，递增要求 ，即 。所以 。故选 B。 【易错】 的对称轴是 ，不是 —— 顶点横坐标按 算。接点处是「左段趋于的值不大于右段首值」。 【答案】B 例9（单选·★★☆☆☆） 已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两段都要递减，而且分界点处左边不能低于右边。 【关键】 时 递减，要求 ； 时 递减，要求 。两者合起来得 。再看接点： 从左趋于 时左段的值趋于 ，右段在 处取 ，递减要求左边的值不小于右边，即 ，。所以 。故选 A。 【易错】三个条件要一起立：两段各自递减、接点处左不小于右。接点条件是「左边趋于的值不小于右边的值」，写反了会算到另一支上去。 归第二段，所以左段取的是 从左趋于 时的值。 【答案】A 变式9-1（单选·★★★☆☆） 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】对勾函数 有自己的拐点，先让分段点落在它的递增区间里，再处理接点。 【关键】 在 上递减、在 上递增。它要在 上递增，需要 落在 内，即 。再接点：左段 在 趋于 时的值为 ，右段在 处的值为 ，增函数要求 。两边乘 得 ，移项分解得 ，即 或 。与 取交集得 ，所以 的最小值为 。故选 C。 【易错】对勾函数的拐点在 ，这一步给的是 ，不是 。接点不等式解出两段结果，要与 取交集，才只剩 。两边乘 时 ，不等号方向不变。 【答案】C 变式9-2（填空·★★★☆☆） 已知函数的最小值为，则 = ____________ 【切入点】参数 与分界点 的大小决定 那一段的表达式，所以先按 与 分两类。 【关键】若 ： 时 ， 递增； 时 ，对称轴 落在区间内，最小值 。由 得 ，，配合 取 ；此时右段在 从右侧趋于 时趋向 ，不小于 ，成立。 若 ： 时 的对称轴在区间右侧，所以它在 上递减，最小值 ； 时函数在 处取到最小值 。由 得 ，此时 ，最小值为 成立。所以 或 ，即 。 【易错】 与 的大小决定绝对值怎么打开，不分类会算错。每一类里都要把两段的最值都比一遍 —— 只让一段取到 还不够，还要确认另一段不会出现更小的值。 【答案】 变式9-3（填空·★★★☆☆） 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________ 【切入点】右段已经能取到 ，所以左段只要不比 小就行 —— 这给的是一个不等式，不是等式。 【关键】 时 ，在 上递减、在 上递增，最小值 。 时 ，对称轴 落在区间内，最小值 。要让整个函数的最小值为 ，左段的最小值不能小于 ，即 ，得 。所以 的取值范围是 。 【易错】题目说最小值为 ，右段已经取到这个值，左段的条件是「不小于 」而不是「等于 」，写成等式会把范围收成一个点。左段的对称轴 确实落在 内，最小值在顶点处取得。 【答案】 变式9-4（多选·★★★☆☆） 十九世纪数学家迪利克雷提出了函数，被称为迪利克雷函数，其在现代数学的发展过程中有着重要意义。若函数，则下列实数中属于函数值域的有（ ）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【切入点】先按迪利克雷函数的取值把 写成分段形式，再对每个选项去找对应的自变量。 【关键】 在 为有理数时取 、在 为无理数时取 ，所以 就是有理数上取 、无理数上取 。A 项：取 （无理数），，所以 属于值域，A 项正确。B 项：取 （无理数），，所以 属于值域，B 项正确。C 项：有理数支要让 ，解得 是无理数，矛盾；无理数支要让 ，解得 是有理数，矛盾。所以 取不到，C 项错误。D 项：取 （有理数），，所以 属于值域，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项要把两支都试一遍：有理数支解出无理数、无理数支解出有理数，两边都矛盾才能断定 取不到。只试一支说不出所以然。判断 与 的取值时，先要确认 到底是有理数还是无理数。 【答案】ABD 分段不等式的解法 一、按段拆开，各解一次再取并 自变量落在哪一段，就代哪一段的表达式解一次；把每次解出的结果与这一段的区间取交集，最后把所有交集并起来。 「与自己的区间取交集」这一步最容易漏 —— 漏掉就会把没意义的解也写进答案。 二、先判单调性，再脱函数记号 形如 的不等式，先看 在两段上是否都单调、方向是否一致。 在 上单调递减时， 等价于 ，函数记号一脱就成了普通不等式。 三、奇偶性帮忙搬自变量 是奇函数时 ，可以把 改写成 。 偶函数则把 化为 与 的大小比较。 四、自变量本身是待求量 题面问「求自变量的取值范围」时，不等号两边的自变量都可能含参数；脱掉函数记号后得到的就是关于这个参数的不等式，解完即得范围，不必再回代。 例10（单选·★★☆☆☆） 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分界点是 ，两段各解一次，每次解完都要与本段的区间取交集。 【关键】 时 ，不等式化为 ，即 ，，与 没有公共部分，这一段无解。 时 ，不等式化为 ，即 ，解得 或 ；与 取交集得 或 。两段并起来，解集为 。故选 D。 【易错】第一段解出 之后必须与 取交集 —— 交集是空集，这一段整体作废，不写就会被误当成有解。第二段解完同样要跟 取交集， 的部分要剔掉。 【答案】D 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】不等式两边一个取 、一个取 ，必须按 的正负分两种情形，让两边各自落到明确的段上。 【关键】当 时，，、，不等式化为 。两边在 处都等于 ，且 时 更大，所以这一段解为 。当 时两边都等于 ，不等式不成立。当 时，，、，不等式化为 。两边在 处都等于 ，且 时 增长更快，所以这一段解为 。并起来，解集为 。故选 A。 【易错】 时两边相等，不能算进解集。两个临界点 与 都是先解方程「两边相等」得到，再判两侧的大小。把 展开时， 落在哪一段要先看 的符号，别直接代。 【答案】A 变式10-2（填空·★★★★☆） 已知函数，则不等式的解集为________ 【切入点】两段各解一次，解完与自己的区间取交集。 【关键】 时 ，不等式化为 ，即 ，；与 取交集得 。 时 ，不等式化为 ，即 ，，；与 取交集仍是 。并起来，解集为 。 【易错】 化到指数上是 而不是 —— 底数大于 时不等号方向不变，但指数上挂着负号，解到最后要把 的符号翻过来。第二段解出的 恰好就是它自己的区间，这一段整体保留。 【答案】 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两段一对照，正好凑成奇函数，整个定义域上还递减 —— 这样可以先脱掉函数记号。 【关键】 时 ，此时 ，； 时同理 ； 时 。所以 是奇函数。两段各自递减，且在 处接得上，所以 在 上递减。原不等式化为 ，由递减得 ，即 。故选 A。 【易错】要用单调性脱函数记号，必须先说明两段「各自递减＋接得上」，只看出一段递减还不够。 用的是奇函数性质，负号要连着自变量一起搬。 【答案】A 变式11-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【切入点】题目说「对任意的 都有 」，先把满足这个条件的 全体求出来，再在里面取最长的区间。 【关键】 时 ，条件为 。左边随 增大而增大，而 时左边恰为 ，所以这一段给出 。 时 ，条件为 ，即 。两边都非负，平方得 ，整理为 ，即 ，解得 ；与 取交集得 。两段并起来，满足条件的 恰落在 内。区间 要整个落在这个范围内，所以 的最大值为 。故选 D。 【易错】 那一段左边递增，用「 时取到 」定上界最快。 那一段带绝对值，两边非负才能平方，而 正好由 保证。最后问的是区间长度， 取上界、 取下界，别把两个端点反着放。 【答案】D 例12（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两段都递减，而且分界点处的值相同 —— 合起来是整条递减曲线，可以直接脱掉函数记号。 【关键】 时 递减； 时 递减；两段在 处的值都是 ，接得上。所以 在 上递减。由 得 ，即 ，解得 。故选 A。 【易错】「两段各自递减」之外还要算一次分界点处的值，两个表达式在 处都取 ，才能连成一条递减曲线。脱掉记号后得到的是关于 的二次不等式，要把 整体与 比，别看错成 。 【答案】A 复合函数的求值、方程与单调性 一、求值：让括号里的整体等于目标数 已知 的表达式，要求某个函数值时，令 等于给定的那个数，解出 ，再代回原式。 这是由外向内的逆向用法，不必先把 的解析式求出来。 二、求解析式：整体换元或直接配凑 把括号里的式子记作 ，解出 用 表示，再代回右边；也可以直接把右边配成括号里那个式子的形式。 换元之后要写清新的自变量的取值范围 —— 它常常是后面判断定义域与值域的依据。 三、单调性：同增异减 外层与内层增减方向相同时整体递增，相反时整体递减。 外层递减时，要让整体递增，内层就必须递减；动手前先把外层的单调方向定下来。 四、方程：把内层值当整体 先把 整体记作 ，解外层的 ，再把每个 代回去。 解出的 必须落在 的值域内；每个 对应几个 ，还要看那条水平线与内层函数的图象交几次。 例13（单选·★☆☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 【切入点】已知的是复合以后的表达式，要反过来求某个函数值 —— 让括号里的整体等于目标数就行。 【关键】令 ，解得 。把它代回原式得 。故选 C。 【易错】不必先把 的解析式求出来，直接让括号整体等于 更省一步。解 得 ，这是唯一确定的自变量，代回去即可。 【答案】C 变式13-1（单选·★★☆☆☆） 已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则 = （ ） A. 8 B. 4 C. D. 【切入点】 单调递增是本题的钥匙 —— 函数值相等就能推出自变量相等。 【关键】由 得 ；由 得 。又 ，把 整体代进去，得 。另一方面，把 代入 ，得 ，与上式右边相同，所以 。 在 上单调递增，函数值相等只能自变量相等，所以 ，即 。故选 B。 【易错】把 整体代进 是核心动作，代的时候右边 的位置要换成 。有了 递增，才能从「函数值相等」推到「自变量相等」。 【答案】B 变式13-2（填空·★★★★☆） 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________ 【切入点】令 ，方程变成 —— 先解出 能取哪些值，再数 有几个根。 【关键】解 ： 时由 得 或 ，其中 满足 ， 因 舍去； 时由 得 ，要求 。所以 时 可取 与 ， 时 只取 。 再数根的个数。 在 上的根由 给出，即 ，其中 比 大、不在区间内，所以这个方程有根当且仅当 。 在 上的根由 给出，即 ，同理有根当且仅当 。 当 时 取 与 ，两个方程都要数进去，要让合计只有一个根，只能是前一个有根、后一个没有，即 。当 时 只取 ，要 恰有一个根； 恒成立，所以只需另一个根 不在区间内，即 。所以 的取值范围是 。 【易错】 能取几个值由 决定： 时 有 和 两个， 时只剩 —— 分类的界线就在这里。数根时要逐个看根是否落在对应段的区间内，落在区间外的要剔掉。最后两类结果并起来才是答案，只写一支会漏。 【答案】 例14（填空·★★★☆☆） 已知函数在上的最小值是1，则 = __________ 【切入点】真数是二次式，外层对数递增，所以复合以后的增减完全由内层决定；动手前先按 的符号把定义域定下来。 【关键】若 ，定义域为 ， 在 上递增，最小值 ，不符合题意。若 ，定义域为 ， 落在 内，最小值 ；由它等于 得 ，，与 矛盾，舍去。若 ，定义域为 ，先要让 有定义，即 ，；此时真数在 上递增，最小值仍是 ，得 ，满足 。所以 。 【易错】先定定义域再谈单调性 —— 时必须让 落进 ，这一步不写会漏掉 这个限制。 那一支解出的 与假设矛盾，要明确舍去，不能算作解。 【答案】 变式14-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】令 ，方程变成 —— 先把外层的解求出来，再看每个 能带出几个 。 【关键】 关于 轴对称，水平线 与它的交点个数是： 时 个， 时 个， 时 个， 时 个。 外层 ： 时无解； 时只有 ，带出 个根； 时有两个解，各带 个，合计 个 —— 这三种都凑不出 个根。 时 有三个解，分别落在 、 与 。前两个都小于 ，各带 个根，共 个；第三个要正好带 个，需要 或 。由 得： 时 ， 时 。所以 的取值范围是 。故选 B。 【易错】三种小的取值范围都要试一遍， 时无论哪种都凑不出 个根。第三个解 要避开 —— 那一点上水平线与 交 个点而不是 个。 【答案】B 例15（单选·★★★☆☆） 已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个函数值相等，先把公共的值记作 ，问题就变成「 有几个不同的根」。 【关键】 在 与 上都递增。当 时 有两个解，分别由 与 给出：、；当 时 只有一个解，套一层之后凑不出三个不同的根。所以要凑出三个根，就得让 分别取到 与 。按 配对： 得 ， 得 ， 得 。把 、 的表达式代回去，得 、、。这三个式子关于 都在 上递增，所以 时和最小：此时 、、，。故选 D。 【易错】公共值 必须不小于 —— 时 只有一个解，套一层之后只有两个根，凑不出三个。三个根分别对应哪个变量，要靠 的大小关系挑；挑定之后 就是 的函数，再判它在 上的增减定最小值。 【答案】D 变式15-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先看奇偶性： 与 代进去只差 的两项互换，所以它是偶函数；脱掉函数记号后比较的就是自变量到原点的距离。 【关键】，所以 是偶函数，定义域为 。 时记 ， 在 上递增，取对数后仍递增，再加上递增的 ，所以 在 上递增。由偶函数与递增性， 等价于 。两边平方得 ，展开整理为 ，解得 或 。故选 D。 【易错】偶函数在 上递增时， 等价于 —— 这一步是本题的核心结论。平方后整理成 ，注意移项后不等号方向要跟着变。 【答案】D 变式15-2（多选·★★★☆☆） 已知函数满足，则（ ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 【切入点】已知的是 的表达式，先用整体换元把 求出来，再逐项判断。 【关键】令 ，则 ，且 ，所以 ，即 （）。A 项：定义域应当是 而不是 ，A 项错误。B 项： 时 ，在 处取到 ，所以值域为 ，B 项正确。C 项：在 里要求 ，即 ，所以定义域为 ，C 项正确。D 项：，所以 ，D 项正确。故选 BCD。 【易错】换元之后一定要写出新自变量的范围 —— 它就是 A 项的判据，漏掉就会把定义域写成 。求复合函数的定义域是让内层的取值落在外层的定义域里，即 ，别解成 。 【答案】BCD 学科网（北京）股份有限公司 $