第6讲 直线与圆锥曲线的位置关系专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

直线与圆锥曲线的位置关系 联立与韦达 直线与圆锥曲线的位置关系 提高题的第一步是选对直线的设法。定点在 轴上、且斜率不为零时，设成 往往比 更省事：前者一次覆盖了斜率不存在的情形，代入抛物线或双曲线后得到的方程也更整齐；定点在 轴上时把两者反过来设。 第二种常见结构是求参数的取值范围。这类题的流程固定：联立得到二次方程，写出「二次项系数不为零」与「判别式大于零」两条不等式，再按题意加上别的限制（交点在某个象限、弦长在某范围内），最后取交集。最容易丢分的是端点：相切的那一档要不要取，要看题目说的是「有两个交点」还是「有公共点」。 切线的两种写法都要会。一种是这里的替换法，已知切点时最快；另一种是设切线斜率为 、写出切线方程后与曲线联立、令判别式为零来反解 ，适合从曲线外一点出发的情形。题目给的是「在某点处的切线」还是「过某点的切线」，决定用哪一种。 抛物线有一条与切线有关的漂亮性质：过焦点作弦，两端点处的两条切线互相垂直，交点必在准线上。更一般地，曲线外一点引两条切线，两切点的连线可以用替换法直接写出方程。椭圆、双曲线、抛物线都适用。这类题的共同入口都是「先把切点坐标设出来，再用替换法写切线」。 最后提醒两处细节。一是消 还是消 ：直线斜率存在时消 得到的二次方程系数最简单；斜率不存在时直接把 代入即可。二是两根之和与两根之积的符号与直线位置有关，凡是要判断交点在哪个象限、落在哪一支，都要回到两根的符号上去看。 例1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为直线与抛物线交于，两点（在第一象限），与准线相交于点，过点作拋物线的切线与准线相交于，当，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点。直线为在点处的切线，点关于的对称点为。由椭圆的光学性质知，三点共线。若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-2（多选·★★★★☆） 将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（ ） A. B. C. D. 例2（多选·★★★☆☆） 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 变式2-1（单选·★★★★☆） 已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 例3（填空·★★★★☆） 过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则 = _________． 变式3-1（多选·★★★★☆） 若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为9 B. 若为圆上的一动点，则的最小值为3 C. 四边形面积的最小值为 D. 的最小值为 联立与韦达的应用 提高题的入口是把几何条件翻译成关于两根的式子，这一步做对了，剩下的只是代数。常见的翻译有：弦过定点就设 ； 就是 ；某两条直线的斜率之积为定值，就把斜率写成 的形式再通分。 第二处要点是降幂。联立后出现的 、 之类的量，都要先用 与 表示出来：；而 与 之间则借助曲线方程互换。把这些恒等变形练熟，一道题的代数量能少一半。 代入之前先确认二次项系数不为零，这是最容易漏的一步。对抛物线，直线若与对称轴平行，二次项系数为零；对双曲线，直线若与渐近线平行，同样退化。这两种情形下两根之和与两根之积根本没有意义，必须先单独讨论，再谈韦达。 焦点弦是韦达最直接的用武之地。设 代入抛物线，两根之积恒为 ，两根之和为 ；把它代进弦长、面积、中点坐标的表达式，参数 就成了唯一的自变量。凡是要对弦上的量求最值，都是先化成 的函数再处理。 最后是检查的次序。算完一个答案，先看它是否满足判别式大于零（即直线真的与曲线有两个交点），再看交点是否落在题目指定的分支或象限里。很多看似漂亮的答案就是在这两步上被否掉的。凡涉及中点、平分这类条件的题，还要回到点在曲线上的原始方程回代验证。 例4（多选·★★★☆☆） 已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（ ） A. B. C. D. 变式4-1（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（ ） A. B. E的渐近线方程为 C. D. 的外接圆半径为 例5（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限。若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点T到两条渐近线的距离之积为定值 C. 过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为 D. 若，则的面积为 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 变式5-2（单选·★★★★☆） 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点。若，且，则 = （ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 变式5-3（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接。若，则 = ________． 例6（单选·★★★☆☆） 已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（ ） A. B. C. D. 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆锥曲线的位置关系 联立与韦达 直线与圆锥曲线的位置关系 提高题的第一步是选对直线的设法。定点在 轴上、且斜率不为零时，设成 往往比 更省事：前者一次覆盖了斜率不存在的情形，代入抛物线或双曲线后得到的方程也更整齐；定点在 轴上时把两者反过来设。 第二种常见结构是求参数的取值范围。这类题的流程固定：联立得到二次方程，写出「二次项系数不为零」与「判别式大于零」两条不等式，再按题意加上别的限制（交点在某个象限、弦长在某范围内），最后取交集。最容易丢分的是端点：相切的那一档要不要取，要看题目说的是「有两个交点」还是「有公共点」。 切线的两种写法都要会。一种是这里的替换法，已知切点时最快；另一种是设切线斜率为 、写出切线方程后与曲线联立、令判别式为零来反解 ，适合从曲线外一点出发的情形。题目给的是「在某点处的切线」还是「过某点的切线」，决定用哪一种。 抛物线有一条与切线有关的漂亮性质：过焦点作弦，两端点处的两条切线互相垂直，交点必在准线上。更一般地，曲线外一点引两条切线，两切点的连线可以用替换法直接写出方程。椭圆、双曲线、抛物线都适用。这类题的共同入口都是「先把切点坐标设出来，再用替换法写切线」。 最后提醒两处细节。一是消 还是消 ：直线斜率存在时消 得到的二次方程系数最简单；斜率不存在时直接把 代入即可。二是两根之和与两根之积的符号与直线位置有关，凡是要判断交点在哪个象限、落在哪一支，都要回到两根的符号上去看。 例1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为直线与抛物线交于，两点（在第一象限），与准线相交于点，过点作拋物线的切线与准线相交于，当，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】把过焦点的直线参数化，斜率 与两个交点、以及它与准线的交点 用同一组参数表示，条件 就变成参数的等式。 【关键】设 ，直线 上的点写作 ，即 、。与准线 联立得 。与 联立：，所以 、。由 得 ，即 。代入两根之积：。由焦半径 ，又 ，两式相除得 ，平方解得 ，，A 对。代回 得 ，B 对。，不等于 ，C 错。切线 与准线交于 ， 的斜率为 ，与 之积为 ，D 对。故选 ABD。 【易错】两点。一是 的符号判断： 与 都在 的同侧（），所以 是两个绝对值之差；二是切线用替换法写出后，与准线联立时 要代准，不要与 （焦点）混淆。 【答案】ABD 变式1-1（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点。直线为在点处的切线，点关于的对称点为。由椭圆的光学性质知，三点共线。若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 关于切线的对称点是 ，而切线经过 ，所以 ；把这条等式与椭圆定义联立，再配合已知的比值即可。 【关键】由对称知 在 上，所以 。又 、、 共线，且 在 的与 相反的一侧（切线的反射性质），所以 。记 。由 得 ；又 在线段 上，所以 ，进而 。由 得 ，解得 。于是 ，，比值 。故选 D。 【易错】关键是判断 在 的哪一侧：椭圆的光学性质说明 、、 共线，而 在 的另一侧关于 对称，所以 与 分居 的两旁， 是两段之和而不是之差。另一处是 ： 在线段 上，所以 。 【答案】D 变式1-2（多选·★★★★☆） 将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把函数式化成含 的方程，置零分解出两条渐近线，再照第 3 讲用过的那套办法定出 、、。 【关键】 两边乘 得 ，即 。令右边为零：，两条渐近线为 与 ，倾斜角 与 ，夹角 。实轴是夹角平分线，两条平分线中只有倾斜角 的那一条上有曲线，把 代入得 ，，顶点为 ，所以 ，B 对。实轴与渐近线的夹角是 ，所以 ，，，，C 对。A 项：直线 与 只有一个公共点，即 的判别式为零，，，选项只给了正值，A 错。D 项： 与 联立得 ，，D 错。故选 BC。 【易错】三处。一是两条渐近线要靠因式分解读出，不要把它当成两条曲线；二是平分线有两条，要回代检验哪一条上有曲线；三是 里的 是实轴与渐近线的夹角 ——本题两条渐近线夹角 ，所以 。 【答案】BC 例2（多选·★★★☆☆） 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 【切入点】四项分别考准线、焦半径之和的最值、焦点弦与原点围成的面积、以及两条切线的交点 —— 前三项用焦点弦的公式，第四项用抛物线切线的性质。 【关键】由 得 ，焦点 。A 项：准线为 ，A 对。B 项：，等号在通径时取到，B 对。C 项：倾斜角 时 ，设 与 联立，解得 ，，，不是 ，C 错。D 项：过焦点作弦，两端点处的两条切线互相垂直，交点必在准线上，即 这条定直线上，D 对。故选 ABD。 【易错】C 项的系数最容易多算一倍： 的面积是 ，底边取 ，不要拿焦距或弦长去当底。D 项不必真的把两条切线求出来再解交点 ——「过焦点的弦的两端切线交点在准线上」是抛物线的现成性质。 【答案】ABD 变式2-1（单选·★★★★☆） 已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】两条渐近线垂直把双曲线定成等轴的，距离条件定出 ，最后用替换法写出切点弦方程。 【关键】双曲线 的两条渐近线 互相垂直，所以 ，渐近线为 。抛物线 的焦点为 ，它到直线 的距离为 ，所以 ， 为 。设切点为 ，由 得 ，即 ，切线方程为 ，化简得 。把 代入：，即 。两切点连线的方程由替换法直接给出：把 的坐标代入切线形式，得 ，即 ，它在 轴上的截距为 。故选 D。 【易错】本题有两处易混。一是「两条渐近线互相垂直」等价于 ，而不是 之类；二是最后一步用的是切点弦而不是切线：过曲线外一点的两条切线的切点连线，方程就是把该点坐标代进切线形式，不必真的求出两个切点。 【答案】D 例3（填空·★★★★☆） 过椭圆上一点作椭圆的切线分别交、轴于点、，，则 = _________． 【切入点】椭圆上一点的切线可以用替换法写成截距式，两轴交点 、 的坐标随之直接读出；把 与 、 的距离都用切点的参数表示，条件就能解出参数。 【关键】设 。椭圆在 处的切线为 ，所以 、。记 （），则 、。，。由 得 ，即 ，。代入 ：，所以 。 【易错】两处。一是切点要参数化：用 写出的切线是截距式，两轴交点一眼可读；若设切点 ，截距要写成 之类的分式，反而更绕。二是 、 的表达式里两段的下标要对齐： 在 轴上，对应 ； 在 轴上，对应 。 【答案】3 变式3-1（多选·★★★★☆） 若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为9 B. 若为圆上的一动点，则的最小值为3 C. 四边形面积的最小值为 D. 的最小值为 【切入点】圆 的圆心恰好是双曲线的右焦点 ，半径是 —— 于是四项都化归到「 与半径」的关系。 【关键】双曲线 中 、、，右焦点 正是圆的圆心，半径 。A 项： 说明 在以 为直径的圆上，与 联立解得 ，，不等于 ，A 错。B 项： 的最小值是 ，所以 ，B 对。C 项：、 是切线，所以 、，四边形的面积是 ，C 对。D 项：，在 上单调递增，最小值为 ，不等于 ，D 错。故选 BC。 【易错】四处都要看准。一是圆心的识别：圆心 就是 ，这一步把题目难度降了一大截；二是 B 项要用到焦半径的下界 ；三是 C 项里四边形的面积等于 而不是 ；四是 D 项要判断单调性后才能取端点值。 【答案】BC 联立与韦达的应用 提高题的入口是把几何条件翻译成关于两根的式子，这一步做对了，剩下的只是代数。常见的翻译有：弦过定点就设 ； 就是 ；某两条直线的斜率之积为定值，就把斜率写成 的形式再通分。 第二处要点是降幂。联立后出现的 、 之类的量，都要先用 与 表示出来：；而 与 之间则借助曲线方程互换。把这些恒等变形练熟，一道题的代数量能少一半。 代入之前先确认二次项系数不为零，这是最容易漏的一步。对抛物线，直线若与对称轴平行，二次项系数为零；对双曲线，直线若与渐近线平行，同样退化。这两种情形下两根之和与两根之积根本没有意义，必须先单独讨论，再谈韦达。 焦点弦是韦达最直接的用武之地。设 代入抛物线，两根之积恒为 ，两根之和为 ；把它代进弦长、面积、中点坐标的表达式，参数 就成了唯一的自变量。凡是要对弦上的量求最值，都是先化成 的函数再处理。 最后是检查的次序。算完一个答案，先看它是否满足判别式大于零（即直线真的与曲线有两个交点），再看交点是否落在题目指定的分支或象限里。很多看似漂亮的答案就是在这两步上被否掉的。凡涉及中点、平分这类条件的题，还要回到点在曲线上的原始方程回代验证。 例4（多选·★★★☆☆） 已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（ ） A. B. C. D. 【切入点】 同时在圆 与双曲线上，而 是圆的直径，所以 —— 把内切圆半径写成 、 的式子，再逐项代入检验。 【关键】 为直径说明 ，于是 。把圆与双曲线联立可算出 ，所以 。又 ，所以 ，。内切圆半径 。令 ，解得 。逐项代入：A得 ，舍；B得 ；C得 ；D得 。故选 BCD。 【易错】本题的难点在于把 与 、 联系起来：联立圆与双曲线时消去 ，得到 ，即 。另一处是内切圆半径用 ，不要用 绕远路。 【答案】BCD 变式4-1（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（ ） A. B. E的渐近线方程为 C. D. 的外接圆半径为 【切入点】先把 定出来： 说明 在以 为直径的圆上，与直线 联立即可。 【关键】，所以 满足 。代入 得 ，即 。把 代入双曲线，并令 、：，整理得 ，取 （ 舍），即 、。于是 A 项：，A 对。B 项：，B 对。C 项：，，不是 ，C 错。D 项： 是等腰三角形，面积为 ，外接圆半径 ，D 对。故选 ABD。 【易错】两处。一是 的位置：过 作 轴的平行线与双曲线的另一个交点关于 轴对称，所以 与 的横坐标互为相反数；二是 里的三边是三角形的三边，本题的三边为 、。 【答案】ABD 例5（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限。若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点T到两条渐近线的距离之积为定值 C. 过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为 D. 若，则的面积为 【切入点】四个选项分别考基本量、渐近线的定值、中点弦的存在性、以及焦点三角形的面积 —— 前两项是现成结论，第三项要用「有弦区域」判真假。 【关键】A 项： 的周长 它等于 ，所以 ，A 对。B 项：双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值 ，B 对。C 项：由点差法，以 为中点的弦的斜率为 ，形式上正是 ；但 满足 ，且 ，说明 不在有弦区域内，这样的弦并不存在，C 错。D 项： 时，，D 对。故选 ABD。 【易错】C 项是本题的分水岭：点差法给出的斜率只是必要条件，还要回到「有弦区域」去验证中点是否合法。对 ，有弦区域是 或 ， 两条都不满足。D 项用的是焦点三角形面积的常用公式 。 【答案】ABD 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【切入点】两个内切圆的半径之比可以用「面积比 ÷ 半周长比」来算，而两个焦点三角形的面积之比又等于两个纵坐标之比；先用两次余弦定理把两条焦半径联系起来。 【关键】 中 、。记 、（沿直线次序为 、、），则 、、。设 （两三角形在 处的角相同），两次用余弦定理并消去 ，得 。又 ，所以两个三角形的面积之比为 。而半周长之比为 ，于是 。把 代入并令它等于 ：，解得 、。所以 。 【易错】三处。一是次序：过 的直线与两支各交一点，沿直线是 、、，所以 ；二是两个三角形在 处的角相同，这是消去 的前提；三是半径比要用「面积比 ÷ 半周长比」，直接用 会把两个 都写反。 【答案】 变式5-2（单选·★★★★☆） 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点。若，且，则 = （ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 【切入点】 说明 到 的距离等于它到 的距离；又直线过原点，、 关于原点对称，于是 的位置也定下来，再用向量式求 。 【关键】由 得 。 说明 是等腰三角形，；直线过原点，所以 与 关于原点对称，。设 （），则 ，且 。由 得 。 与 都在双曲线上，把两点分别代入并相减，结合 解得 、，、。于是 ，所以 。故选 C。 【易错】本题的三处台阶。一是 的翻译：等角对等边，得到的是 ；二是「过原点的直线与双曲线交于两点」隐含 、 关于原点对称；三是 的两个解要取舍 ——其中一个会让 ，不是双曲线。 【答案】C 变式5-3（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接。若，则 = ________． 【切入点】 是通径的端点，、 都能直接写出；再用椭圆定义把 的两条焦半径与已知条件接上。 【关键】过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 ，所以 、。设 ，则 ，由题给 得 。于是 。 【易错】这道题看似要用 、、 共线再列一次方程，其实只靠椭圆定义就能收尾 —— 两条焦半径之和恒为 ，所以 由 直接得出，两边恰好都含因子 ，一约即得。另一处是 的纵坐标： 是通径的一半，不要与 混淆。 【答案】3 例6（单选·★★★☆☆） 已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是原点出发的两个向量数量积为定值，把它用韦达写成 ，先定出直线与 轴的交点，再算两个距离的倒数和。 【关键】设 ，代入 得 ，所以 ，。由 得 ，，即 。于是 、，所以 。故选 D。 【易错】两处。一是 ，把 代进去时容易漏掉平方；二是 里的参数： 在直线 上且纵坐标为零，所以 ，不要写成 （那样还要多算一步）。 【答案】D 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 【切入点】四种选项都围绕「过焦点的弦」展开，把直线设成 一次覆盖所有情形，弦长与两条焦半径都能写成 的式子。 【关键】 中 、、，右焦点 。设 ，代入得 ，判别式为 ，。分段讨论： 时随 递增，从 趋于无穷； 时递减，趋于无穷时趋于 。所以 能取到 内的值，A 错。B 项：除通径那一条外，其余每个值都由 给出两条，所以「恰有 条」等价于 ，即 ，B 对。C 项：通径与一般弦都可验证 ，C 对。D 项：；注意 不在同支弦的内部，算得取值范围为 ，D 对。故选 BCD。 【易错】A 项要动手做分段讨论才知道错： 的最小值不是通径长 ，而是 时的 。D 项最容易错在把 当成 ——同支的两个交点都在焦点的同一侧，焦点不夹在它们之间。 【答案】BCD 学科网（北京）股份有限公司 $