精品解析：贵州安顺市镇宁民族中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性评价数学试题

镇宁高中教育集团2026--2027学年第一学期第一次阶段性评价 高二年级数学 满分： 150 分 时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称关系，即可判断. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为. 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 2. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 3. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 4. 若，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 5. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 7. 已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 8. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 二、多选题（共18分） 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B. 是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则 C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 D. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量基底的性质判断A；由线面平行的条件判定B；由投影向量的概念求C；由向量法求点到直线的距离判断D. 【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则， 因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾， 所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确； 对于B，当时，满足条件，但直线不平行于平面，故B错误； 对于C，在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由条件得，， 所以在方向上的投影为， 则点到直线l的距离为，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点为线段中点时，平面平面 D. 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项即可，A选项，计算向量与平面法向量的数量积；B选项，判断直线是否平行于平面；C选项，求出平面的法向量，验证两平面法向量是否垂直；D选项，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得， 因为分别是的中点，所以. 设是线段上的动点，， 设，其中，则. 设平面的法向量为，， 由，取，可得. 对于A：因为，又， 所以与平面的法向量不垂直，即与平面相交， 不存在点，使得平面，故A错误； 对于B：因为，又，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：当为线段中点时，此时， 设平面的法向量为， 由，取，可得， 因为，所以， 即平面平面，故C正确； 对于D：点与重合时，， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 13. 已知向量，且，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 14. 已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可． 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球的体积为． 四、解答题（共77分） 15. 如图，在三棱柱中，侧棱长为4，平面平面，是边长为4的等边三角形，且，已知是的中点．以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． （1）求向量，的坐标； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）标出对应点坐标，利用向量坐标和点坐标的关系，即得解； （2）利用异面直线所成角的向量公式，即得解 【详解】（1）由空间直角坐标系可得 ，，，， 则，． （2） 所以异面直线与所成角的大小为． 16. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 17. 在正四棱柱中，，P为的中点. （1）取中点，中点，求证：平面. （2）求证：平面平面 【答案】（1）证明: 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）证明: 因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明:连接与交于点,连接， 因为底面是正方形,所以点是的中点, 又是的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出辅助线，根据中位线得到线线平行，进而得到线面平行. （2）根据题意在点处建立空间直角坐标系，依次写出点的坐标，代入线面夹角的正弦值公式求解即可, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧棱底面且在正方形中, 所以如图所示,以点为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 设,则,,,,, 则,,, 设平面的法向量 即 取,则,,所以 设直线与平面的夹角为 因此. 19. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 （2）或 【解析】 【分析】(1) 连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2) 建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇宁高中教育集团2026--2027学年第一学期第一次阶段性评价 高二年级数学 满分： 150 分 时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B. 是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则 C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 D. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2 10. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点为线段中点时，平面平面 D. 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 已知向量，且，则____________． 14. 已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球体积为________． 四、解答题（共77分） 15. 如图，在三棱柱中，侧棱长为4，平面平面，是边长为4的等边三角形，且，已知是的中点．以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． （1）求向量，的坐标； （2）求异面直线与所成角的大小． 16. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 17. 在正四棱柱中，，P为的中点. （1）取中点，中点，求证：平面. （2）求证：平面平面 18. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $