精品解析：贵州省遵义市第十五中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

遵义市第十五中学2026年第一学期第一次月考试题 年级：高二 学科：数学 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，又， 则. 2. 若复数满足，则的模是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 3. 设均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求. 【详解】由题设，，又均为单位向量， ∴， ∴，则. 故选：A 4. 如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠，球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．若球冠的底面圆半径为，高为，求截得此球冠的球体的表面积为（ ） A. 50 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面几何关系得到，求得，再利用球的表面积公式求解即可. 【详解】设球冠所对应的球半径为，球冠的底面圆半径为，球冠的高为， 则，即 由球的表面积公式可得 5. 已知角的终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数定义可得到，再利用二倍角公式，代入数值计算即可. 【详解】因为角的终边上一点的坐标为，所以. . 6. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为2，为的中点，平面．若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的正切值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直得到线面角的平面角，从而求出的长.由线线平行得到异面直线的角，然后通过线面垂直得到线线垂直，由正切的定义求得结果. 【详解】由题意可知平面，平面，， 所以与平面所成角是，即， 所以， 因为，所以与所成角是， 平面，平面，平面平面， 又因为平面平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以 平面，平面， 所以， 所以在中. 7. 中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是：介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理现在中国被称为祖暅原理．如图，一个上底边长为2，下底面边长为4，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正棱台的体积公式，结合祖暅原理求解. 【详解】由正六棱台的上底边长为2，下底面边长为4，得该正六棱台的上下底面正六边形外接圆半径分别为 又该正六棱台的侧棱长为，则该正六棱台的高， 该正六棱台的上下底面面积分别为， 因此该正六棱台的体积， 由祖暅原理，得该不规则几何体的体积为. 8. 已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周长公式计算出圆台的上下底面半径，再将圆台补为圆锥，利用相似求出圆锥的母线长，根据圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长，计算得出扇形的圆心角，最后在展开图中用余弦定理计算、两点的直线距离，即是蚂蚁爬行的最短路径. 【详解】因为圆的周长为，圆的半径，即，解得， 所以圆的半径为； 因为，所以，即圆的半径为； 将圆台补为顶点为的圆锥，如图所示， 由题可知母线， 因为，所以，即，解得， 则； 上图的侧面展开图，如图所示， 小扇形的半径等于小圆锥的母线长，所以； 大圆锥的底面周长等于侧面展开大扇形的弧长，设大扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则，， 由得，； 蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，蚂蚁爬行的最短路程是侧面展开图中、两点的直线距离； 在中，由余弦定理可得， ， ， ， 综上所述蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，蚂蚁爬行的最短路程为. 二、多选题（每小题6分，共18分，全对得6分，不全对得部分分，选错得0分） 9. 已知是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则或，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确； 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用即可判断A；将代入即可判断B；求出的单调递增区间即可判断C；利用三角函数的平移变化即可判断D. 【详解】对于A，在函数中，，，故A正确； 对于B，，函数取到最小值， 所以是的一条对称轴，故B正确； 对于C，由，得 取，增区间为，而，所以在单调递增，故C正确； 对于D，向右平移个单位，得，故D错误. 11. 如图所示的几何体是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角为 C. 该几何体的体积为 D. 该几何体中，二面角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线与直线所成角即为与所成角为即可判断A；由线面所成角的正弦值不是，即可判断选项B；利用割补法求出体积即可判断选项C；易判断二面角为钝角，即可判断余弦值小于0，从而判断选项D. 【详解】将几何体还原为原正四面体，棱长为3，设中心为， 连接，则，， ，， 选项A，因为，所以直线与直线所成角即为与所成角为，A正确； 选项B，直线与平面所成角为与底面所成的角， 即为所求角，又，所以，B错误； 选项C，该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积， 即，C正确； 选项D，二面角与的大小互补， 二面角的大小与二面角的大小相等， 设二面角的大小为， 则，所以， 所以二面角的余弦值为，D错误. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.5，且三人投篮结果互不影响，如果他们三人每人投篮一次，则3人中至少1人命中的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】设事件：甲投篮命中，事件：乙投篮命中，事件：丙投篮命中， 由题意得，，且相互独立， 则甲、乙、丙未命中的概率分别为：， ，， “人中至少人命中”的对立事件为“人都未命中” ， 所以人中至少人命中的概率：. 13. 如图，在边长为的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出截面图形是等腰梯形，利用梯形的面积公式求解. 【详解】因为为中点，为中点，所以是的中位线，则， 因为在正方体中，，， 所以过且平行于的直线是直线， 即过、、作与正方体的截面和平面的交线就是线段， 即截面就是四边形, 因为且，所以四边形是梯形， 因为底面正方形边长，所以对角线， 因为是的中位线，所以， 因为，，所以， 过作交于，过作交于， 则，因为，所以四边形是矩形， 在中，， 在中，， 则，则四边形是等腰梯形， 因为四边形是矩形，所以，则， 在中，， 则截面的面积为. 14. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，正三棱锥的外接球的球心为O，求三棱锥的体积______． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形的外心及等边三角形边长求得，然后由勾股定理求得，再利用勾股定理即可求得三棱锥的高，然后求得三棱锥的体积. 【详解】如图，为的外心，所以， 所以， 又因为，即，解得， 所以 四、解答题（写出必要的文字说明，共77分） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求． （2）若向量，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由诱导公式，得， 因为，，所以是锐角， 由得，即， 所以，又，，所以. 【小问2详解】 ， 已知，，代入得，解得， 由余弦定理：，，，， 所以，化简得， 因为，，， 所以，所以三角形周长. 16. 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计参赛学生成绩的分位数； （2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】（1），参赛学生成绩的分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据百分位数的定义求百分位数即可； （2）先利用分层抽样求出各层的人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. 【小问1详解】 由题意，，解得， 因为， 所以参赛学生成绩的分位数在区间上，设为， 则，解得， 所以参赛学生成绩的分位数为分； 【小问2详解】 由题意，区间有人，设为， 区间有人，设为， 从这6人中任选2人，有共种， 其中都在有种， 所以2人分数都在的概率为. 17. 已知圆台的上下底面都是球的截面圆，圆台的母线长为，圆台的上下半径分别为3和4． （1）求圆台的高和表面积． （2）求圆台的外接球的体积． 【答案】（1）圆台的高为7，表面积为 （2）圆台的外接球的体积为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出圆台的高，利用圆台的表面积公式计算即可得答案； （2）在两个直角三角形中，由勾股定理列出关于球的半径和球心到下底面圆的距离的方程组，求解计算即可. 【小问1详解】 如图所示 由题可知，，，， 则，圆台的高； 圆台的表面积上底面积+下底面积+侧面积 则， ， 所以圆台的高为7，表面积为. 【小问2详解】 设圆台的外接球的球心为，半径为，连接、，、 则， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，，即； 在直角三角形中，由勾股定理得，，即； 联立可得 ，解得， 所以圆台的外接球半径为5，. 所以圆台的外接球的体积为. 18. 如图，在直三棱柱中，E为的中点，点D为的中点，，． （1）求证：平面BCD． （2）若H为上的动点，求证：． （3）求点B到平面的距离 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为E、分别为AB、的中点，所以为中位线，则且， 又四边形为平行四边形，点D为的中点，所以且， 所以且，因此四边形为平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD，所以平面BCD； （2）连接，因为，E为AB的中点，所以， 在直三棱柱中，平面平面，又平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以； （3） 【解析】 【分析】（1）先取中点，由三角形中位线可得平行和数量关系，再根据线面平行的判定定理即可得出证明；（2）由直棱柱可得面面垂直，进而可得线面垂直，最后根据线面垂直的性质得出证明；（3）利用即可求出点B到平面CDE的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点，连接，，，设点B到平面CDE的距离为， 由勾股定理易知，则，， 又，， 因为，则，所以， 因此，即点B到平面CDE的距离为. 19. 已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）． （1）求实数m的值，并写出区间D； （2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由； （3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值． 【答案】（1），； （2）当时，函数上是单调增函数． 理由：令． 易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小， 故在上是随增大而减小 于是，当时，函数上是单调增函数． （3）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质，可得，代入函数的解析式，转化为方程在区间上恒成立，进而求解； （2）令，先求出该函数在定义域内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出的单调性． （3）首先由，求出、的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出，排除的情况，最终确定的值． 【详解】解（1）是奇函数， 对任意，有，即． 化简此式，得．又此方程有无穷多解是区间）， 必有，解得． 令解得 所以． （2）略 （3）， ，． 依据（2）可知，当时，函数在上是增函数， 即，解得，（舍去）． 若，则在上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是，的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出 必有． 因此，所求实数、的值是． 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第十五中学2026年第一学期第一次月考试题 年级：高二 学科：数学 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的模是（ ） A. B. C. D. 3. 设均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 7 4. 如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠，球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．若球冠的底面圆半径为，高为，求截得此球冠的球体的表面积为（ ） A. 50 B. C. D. 5. 已知角的终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为2，为的中点，平面．若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的正切值（ ） A. B. C. D. 7. 中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是：介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理现在中国被称为祖暅原理．如图，一个上底边长为2，下底面边长为4，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（ ） A. B. C. 5 D. 二、多选题（每小题6分，共18分，全对得6分，不全对得部分分，选错得0分） 9. 已知是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 11. 如图所示的几何体是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角为 C. 该几何体的体积为 D. 该几何体中，二面角的余弦值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.5，且三人投篮结果互不影响，如果他们三人每人投篮一次，则3人中至少1人命中的概率为______． 13. 如图，在边长为的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是______． 14. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，正三棱锥的外接球的球心为O，求三棱锥的体积______． 四、解答题（写出必要的文字说明，共77分） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求． （2）若向量，求的周长． 16. 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计参赛学生成绩的分位数； （2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 17. 已知圆台的上下底面都是球的截面圆，圆台的母线长为，圆台的上下半径分别为3和4． （1）求圆台的高和表面积． （2）求圆台的外接球的体积． 18. 如图，在直三棱柱中，E为的中点，点D为的中点，，． （1）求证：平面BCD． （2）若H为上的动点，求证：． （3）求点B到平面的距离 19. 已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）． （1）求实数m的值，并写出区间D； （2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由； （3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $