精品解析：上海市青浦区思源中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段练习数学试卷

青浦区思源中学2026学年第一学期10月阶段练习 九年级 数学 （时间100分钟，满分150分） 2026.10 考生注意：本卷共有24题，请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上一律不计分． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，请写在答题纸相应的位置】 1. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 1，2，3，4 C. 2，3，5，6 D. 3，4，5，6 3. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是　　 A. B. C. D. 4. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（     ） A. B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 点的坐标为 D. 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 二、填空题（本大题共11题，每小题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 8. 上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约______厘米． 9. 设点P是线段的黄金分割点厘米，线段的长是______厘米． 10. 如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 11. 已知点在抛物线上，且，则______． 12. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 13. 抛物线的顶点坐标是___． 14. 已知在中，点D是边的中点，，，那么的长是_________ 15. 如图，已知，，如果，，那么的长是______． 16. 如图，在中，厘米，点M为上任意一点，连接，若点分别为和的重心，则______厘米． 17. 如图，在矩形中，，点在边上，且，点是边上的一个动点，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上，与边交于点，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 19. 已知二次函数的图像经过两点 （1）求二次函数的解析式： （2）将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴 20. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 21. 如图①，已知线段、和．如图②，小明在射线上顺次截取，，在射线上顺次截取，．连接、和，，． （1）求的长； （2）小明继续作图，如图③，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点、，连接，分别交、于点、，如果，求的长． 22. 如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，． （1）求证：； （2）如果，求证：． 23. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为： （1）当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； （2）过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； （3）当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 24. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青浦区思源中学2026学年第一学期10月阶段练习 九年级 数学 （时间100分钟，满分150分） 2026.10 考生注意：本卷共有24题，请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上一律不计分． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，请写在答题纸相应的位置】 1. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数； B、，可能为0，所以不一定是二次函数； C、，，是二次函数； D、，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 1，2，3，4 C. 2，3，5，6 D. 3，4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 3. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例的性质一一分析即可． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； B、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； C、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； D、根据平行线分线段成比例定理得故，故此选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法． 4. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D． 5. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（     ） A. B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 点的坐标为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共11题，每小题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 解得． 8. 上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约______厘米． 【答案】7 【解析】 【详解】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 解：设图上距离为x厘米，则 1：5000000=x：35000000， 所以x=7（厘米）． 上海与南京的图上距离约7厘米． 故答案为7． 9. 设点P是线段的黄金分割点厘米，线段的长是______厘米． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点厘米， ∴． 10. 如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到与相似，且相似比为，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵与关于原点O位似，且位似比是， ∴与相似，且相似比为， ∴与的面积比为． 11. 已知点在抛物线上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴． 12. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 13. 抛物线的顶点坐标是___． 【答案】（） 【解析】 【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是：（）； 故答案为：（）. 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题的关键是熟记二次函数的顶点式. 14. 已知在中，点D是边的中点，，，那么的长是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出是解题的关键．证明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图， ∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：． 15. 如图，已知，，如果，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如下图所示，延长，交于一点， ， ，， ，． ， 设，， ，，代入得， 解得， ，，代入得， 解得． 16. 如图，在中，厘米，点M为上任意一点，连接，若点分别为和的重心，则______厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】分别取的中点K，D，E，连接，可得为的中位线，再根据三角形重心的定义，可得点P为的交点，点Q在上，可得到，从而得到，可证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，分别取的中点K，D，E，连接， ∴为的中位线， ∴， ∵点分别为和的重心， ∴点P为的交点，点Q在上， ∴， ∴，即， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D，E分别为的中点， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米． 17. 如图，在矩形中，，点在边上，且，点是边上的一个动点，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上，与边交于点，当时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得，根据相似三角形的性质可求出，进而得出，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，利用同角的余角相等可证明，利用相似三角形的性质得出的长即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是矩形，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质矩形的性质及勾股定理，解题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，并熟练掌握相似三角形的判定定理． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由可设， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 19. 已知二次函数的图像经过两点 （1）求二次函数的解析式： （2）将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴 【答案】（1） （2），二次函数图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入解析式，解得的值，表达二次函数的解析式； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问1详解】 解：将，代入 有 解得 ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解： ∴ ∴，二次函数图像开口向上；顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了二次函数的不同表达方式与函数图像．解题的关键在于正确表示解析式的形式． 20. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ， ，，， ， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ，即， 解得：． 21. 如图①，已知线段、和．如图②，小明在射线上顺次截取，，在射线上顺次截取，．连接、和，，． （1）求的长； （2）小明继续作图，如图③，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点、，连接，分别交、于点、，如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和公共角，推出，则相似比为，从而求出； （2）尺规作图得到垂直平分线，得到，由两角分别相等推出，利用勾股定理求出，代入相似比例求出． 【小问1详解】 解：，，，， ，， ， 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得垂直平分， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 22. 如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为： （1）当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； （2）过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； （3）当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）作轴于，轴于，则，由题意可得：，， ，，证明，由相似三角形的性质可得，，即可得解； （2）作轴于，轴于，由（1）可得：，再由相似三角形的性质可得，由，得出若与相似，则有或，再分情况求解即可； （3）当“旋似比”为时，由（1）可得点的坐标为，延长交轴于点，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，进而得出，证明，在轴负半轴取点，证明，求出，即可得出点的坐标为；在轴正半轴取点，同理可证，求出，即可得出点的坐标为． 【小问1详解】 解：如图，作轴于，轴于，则， ， 由题意可得：，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，轴于， ， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴若与相似，则有或， 当时，则说明“旋似比”为，从而根据可得，，此时的坐标为； 当时，则说明“旋似比”为3，从而根据可得，，此时的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当“旋似比”为时，由（1）可得点的坐标为， 如图，延长交轴于点， ， 设直线的解析式为， 代入、两点坐标可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴负半轴取点， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 则点的坐标为； 在轴正半轴取点，同理可证， ∴， ∴，即， 解得：， 则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，一次函数等知识，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 变式探究：略 【小问3详解】 解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $