精品解析：上海市民办立达中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

上海市民办立达中学2026-2027学年九年级上学期10月月考 数学试卷 考试时间100分钟满分150分 一选择题共6题每题4分共24分 1. 在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是（ ） A. 200平方米 B. 500平方米 C. 2000平方米 D. 20000平方米 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例尺换算出长方形的土地实际的长与宽，计算即可． 【详解】解：∵测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，比例尺是， ∴实际长方形的土地长厘米米， 实际长方形的土地宽厘米米， ∴这块土地的实际面积是平方米， 故选：C． 【点睛】本题考查比例尺，掌握比例尺的换算是关键． 2. 在中，已知，，，那么的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 根据三角函数的定义进行选择即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 3. 已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在的负半轴，得，整理得，因为函数与轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：∵的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在的负半轴， ∴对称轴， ∴， ∵， ∴， ∵函数与轴的交点在正半轴， ∴， 故选：A． 4. 在梯形中，，对角线、交于点E，如果，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据面积关系得到边的关系是解题的关键；由，可得，再由平行证明相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，因为，所以，得出，即，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，故C符合题意，D不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故A不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故B不符合题意； 故选：C． 6. 已知二次函数 的图像上有 、 两个点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由于 ，开口向上，所以点A、B离对称轴越近，对应的纵坐标越小，即可判断出 、 的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为 ，开口向上． ∵点A横坐标到对称轴的距离是 ， 点B到横坐标对称轴的距离是， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质和熟练应用数形结合思想是解题关键． 二填空题共11题每题4分共44分 7. 已知，那么=_____ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴y=3x， ∴． 故答案为． 8. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据点P是线段的黄金分割点（），得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 【答案】右 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数的图象的开口向上，抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升，即可作答． 【详解】解：依题意，的开口向上， ∴抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右． 10. 已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______． 【答案】y=x2-2 【解析】 【分析】设所求的函数解析式为y=x2+h，然后将点A坐标代入求得k即可． 【详解】解：设所求的函数解析式为y=x2+h 将点A坐标代入得：2=22+h，解得h=-2 所以平移后的抛物线的表达式是y=x2-2． 故答案为y=x2-2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减． 11. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【解析】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 12. 二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】先使用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出对称轴即可． 【详解】解：将，；，；，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线． 13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为______． 【答案】##2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出． 【详解】如图：由题意可知，，， ∴， 而， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得，，再运用，得出，结合勾股定理列式计算，再证明，得出，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识；连接，延长交于E，证明四边形是矩形，根据矩形的性质分别求出，，再根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于E， 将矩形绕点C顺时针旋转， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 的正切值为， 故答案为：7． 17. 如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作，交的延长线于点W，根据轴对称的性质得出，，，，进而证得，可证得，得到，进而得出，可证明，从而得出，然后设，则，再证得，从而，进而得出，，从而得出，再根据勾股定理得出，作，交于V，可推出，从而，可证得，从而得出，从而得出，进而得出结果． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点W， ∴， ∵沿着翻折后得， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，交于V， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 三解答题共7题共82分 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可. 解：原式=4×-2××+ =2-1+2 =2 19. 已知在平面直角坐标系内，抛物线经过x轴上两点A，B，点B的坐标为，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线，求出b的值，即可得出抛物线的表达式； （2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入抛物线得，解得， 所以抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式； 令，则， 解得：，， ，， ∴， 令，则， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式． 20. 如图1，在凸六边形中，满足、、，我们把这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与、与、与叫做“主对边”，和、和、和叫做“主对角”，、、叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想．请判断正误，并在横线上填写“正确”或“错误”． ①平行六边形的三组主对边分别相等． ②平行六边形的三组主对角分别相等． ③平行六边形的三条主对角线互相平分． （2）如图2，我们把六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．如图3，是一张边长为3、4、6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中任选一个，求它的各边长． 【答案】（1）错误，正确，错误 （2）各边长分别为，， 【解析】 【分析】（1）连接、、，与交于点，结合相似三角形的判定与性质、平行线的性质逐项分析即可得出结果； （2）设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形，则，，，从而推出，，结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接、、，与交于点， 由图可得， ①平行于，只能知道，其他对边同理， 故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，则， 同理可得， ∴， ∴，其他对角同理， 故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可得，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； 【小问2详解】 解：设三角形纸片为，裁剪后的纸片为菱六边形， ∴，，， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴裁掉的小三角形的各边长分别为，，． 21. 如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． （1）如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） （2）请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） （3）小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【答案】（1）；； （2）该塔高度约为 （3）①多次测量，然后取平均值；②更换精度更高的测量仪器． 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义进行计算即可； （2）作于点，于点，于点，设，容易判断四边形与四边形都是矩形，则．根据仰角和俯角的定义使用正切函数计算出与，利用的长解方程求出，再计算出与，求和即可得到； （3）从仪器精度和测量误差角度提出建议即可． 【小问1详解】 解：在中，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点，于点，于点，设， 由题意可知，，，，， ∵，，，， ∴， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 答：该塔高度约为． 【小问3详解】 略 22. 如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． （1）找出图中与相似的三角形，并证明； （2）的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】（1），证明如下： 设， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，由菱形的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，进而证明； （2）由平行可判定和，进而得到，因此命题得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M、N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M、N分别作x轴的垂线、，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线、，直线、、与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．过点作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g，若，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数解析式计算即可得出结果； （2）先求出，由题意可得，则，，代入计算即可得出结果； （3）先求出，，由（2）可得，，对称轴为直线，从而可得点关于对称轴的对称点为，由题意可得，求出，由题意可得，再分情况分别求出g，再结合，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， 由（2）可得，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，， ∴； 综上所述，， ∵轴， ∴、关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上所述，的长为或． 24. 如图，在矩形中，E是射线上一点，，是对角线的中点．连接并延长，交线段或线段于点． （1）当点在上： ①求证：； ②若，求的值． （2）若，，求的长． 【答案】（1）①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，由等边对等角并结合平行线的性质得出，，即可得证；②求出，由直角三角形的性质并结合勾股定理可得，，从而即可得出结果； （2）由题意可得点只能在线段上，此时延长线交线段于点，设，，则，由，计算得出，证明，得出，代入对应线段的长计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； ②∵， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵E是射线上一点，， ∴点只能在线段上，此时延长线交线段于点， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由可得， 将代入可得， 整理可得， 解得或（负值不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市民办立达中学2026-2027学年九年级上学期10月月考 数学试卷 考试时间100分钟满分150分 一选择题共6题每题4分共24分 1. 在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是（ ） A. 200平方米 B. 500平方米 C. 2000平方米 D. 20000平方米 2. 在中，已知，，，那么的长为（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在梯形中，，对角线、交于点E，如果，那么为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数 的图像上有 、 两个点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 二填空题共11题每题4分共44分 7. 已知，那么=_____ 8. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______． 9. 抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 10. 已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______． 11. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 12. 二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为______． 14. 如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______． 15. 如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则______． 16. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是______． 17. 如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 三解答题共7题共82分 18. 计算： 19. 已知在平面直角坐标系内，抛物线经过x轴上两点A，B，点B的坐标为，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积． 20. 如图1，在凸六边形中，满足、、，我们把这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与、与、与叫做“主对边”，和、和、和叫做“主对角”，、、叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想．请判断正误，并在横线上填写“正确”或“错误”． ①平行六边形的三组主对边分别相等． ②平行六边形的三组主对角分别相等． ③平行六边形的三条主对角线互相平分． （2）如图2，我们把六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．如图3，是一张边长为3、4、6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中任选一个，求它的各边长． 21. 如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． （1）如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） （2）请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） （3）小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 22. 如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． （1）找出图中与相似的三角形，并证明； （2）的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 23. 抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M、N之间的部分叫做抛物线弧（含端点M和N）．过M、N分别作x轴的垂线、，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线、，直线、、与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．过点作轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为g，若，直接写出的长． 24. 如图，在矩形中，E是射线上一点，，是对角线的中点．连接并延长，交线段或线段于点． （1）当点在上： ①求证：； ②若，求的值． （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $