29.3 第1课时 弧长公式和扇形面积公式 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 第1课时 弧长公式和扇形面积公式 素养目标 1.知道弧长、扇形面积的计算公式,会推导二者之间的关系. 2.会恰当熟练地运用公式计算弧长及扇形的面积,增强数学运用能力. 3.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程,体验从特殊到一般的学习方法. 重点 弧长及扇形面积公式的推导及应用. 【自主预习】 预学思考 知识点一 弧长公式 阅读课本本课时开始至“例1”的内容,补全下列新知要点: 1.将以圆心为顶点的周角360等分,则得到360个度数是1°的圆心角,每个圆心角所对的弧 (填“相等”或“不相等”),每条弧的长度等于圆周长的 .设圆的半径为R,则圆的周长是 ,1°的圆心角所对的弧长是 ,n°的圆心角所对的弧长是 .  2.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l= .  知识点二 扇形面积公式 阅读课本本课时“例1”之后的内容,补全下列新知要点: 1.在半径为R的圆中,将以圆心为顶点的周角 360等分,则得到360个度数是1°的扇形,每个扇形的面积是圆面积的 ,即 ,n°的扇形的面积为 .  2.半径为R,圆心角为n°的扇形的面积S扇形= .  自学检测 1.在半径为3的圆中,150°的圆心角所对的弧长是 ( ) A.π　　　　 B.π C.π　　　　 D.π 2.圆心角为120°的扇形的半径是3 cm,则这个扇形的面积是 ( ) A.6π cm2　　　　 B.3π cm2 C.9π cm2　　　　 D.π cm2 【合作探究】 题型精讲 题型1 弧长公式、扇形面积公式的变形应用 例1　(传统文化·扇文化)如图,一扇形纸扇完全打开后,AB和AC的夹角为120°,AB的长为25 cm,贴纸部分的宽BD为15 cm. (1)求的长. (2)求纸扇上贴纸部分的面积. 【方法归纳交流】弧长公式和扇形面积公式中各有三个量,已知其中任意两个量,可以求出第三个. 变式训练 1.已知某扇形的面积为12π,半径等于6,则它的圆心角等于 ,弧长为 .  2.已知在☉O中,扇形的弧长为12π,所对的圆心角为40°,则☉O的半径为 ,扇形的面积为 .  题型2 图形中特殊面积的求法 例2　(推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D. (1)求证:AD=3BD. (2)求的长. (3)求阴影部分的面积. 【方法归纳交流】不规则图形面积的求法:用分割或补全的办法,转化为规则图形的面积和或者面积差. 变式训练　 如图,将扇形AOB翻折,使点A与圆心O重合,展开后折痕所在的直线l与交于点C,连接AC.若OA=2,则图中阴影部分的面积是 .  课堂检测 1.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠DCB=130°,OB=3,则的长为 ( ) A.π　　　　B.π C.π　　　　D.π 2.已知扇形半径是9 cm,面积为18π cm2,则扇形的圆心角为 ( ) A.20°　　　　B.40°　　　　C.60°　　　　D.80° 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.相等　　2πR　　 2. 知识点二 1.　　 2. 自学检测 1.A　2.B 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:(1)的长为=π(cm). (2)∵AB=25 cm,BD=15 cm, ∴AD=25-15=10(cm). ∵S扇形ABC==(cm2), S扇形ADE==(cm2), ∴贴纸部分的面积为-=175π(cm2). 变式训练 1.120°　4π 2.54　324π 题型2 例2 解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°. ∵BC为半圆O的直径, ∴∠CDB=90°, ∴∠BCD=30°, ∴BC=2BD. ∵∠A=30°, ∴AB=2BC=4BD, ∴AD=3BD. (2)由(1)得∠B=60°,易得△BOD为等边三角形, ∴∠BOD=60°. ∵BC=4, ∴OC=OD=OB=2, ∴的长为=π. (3)∵BC=4,∠BCD=30°, ∴CD=BC=2, ∴图中阴影部分的面积=S扇形COD-S△COD=-×2×1=-. 变式训练　 - 课堂检测 1.C　2.D 学科网（北京）股份有限公司 $