29.3 弧长和扇形面积（第1课时 弧长和扇形面积）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“弧长和扇形面积”，引导学生理解并掌握弧长公式与扇形面积公式的推导及应用。课堂导入通过田径比赛起跑画面创设情境，结合问题链复习圆周长和面积公式，以追问从360°到1°再到n°圆心角的量，搭建从整体到部分的比例推导支架。 这份导学案以“猜想—推导—应用”为主线，渗透类比、转化及从特殊到一般思想，通过典型例题、中考真题及综合实践活动，培养学生抽象能力、运算能力和应用意识，助力学生理解公式本质并解决实际问题。

29.3弧长和扇形面积（第1课时　弧长和扇形面积） （导学案） (1)理解并掌握弧长公式：能通过类比圆周长公式推导出弧长公式，理解公式中各字母的含义，并能正确运用公式计算弧长. (2) 理解并掌握扇形面积公式：能类比圆面积公式推导出扇形面积公式，理解扇形面积与弧长之间的内在联系，掌握这一简化形式. (3) 灵活运用公式：能综合运用弧长和扇形面积公式解决简单的实际问题. (4) 发展核心素养：经历公式的“猜想—推导—应用”过程，体会类比思想、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展抽象能力和运算能力. 重点：弧长公式和扇形面积公式的推导及其应用. 难点：弧长和扇形面积公式的推导过程（理解“从整体到部分”的比例缩放逻辑）；这一形式与三角形面积公式的类比理解；在实际问题中，准确识别并应用相应的公式进行计算. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示田径比赛400米起跑画面. 问题1：在400米比赛中，不同跑道的运动员起跑线为什么不在同一处？ 问题2：为了确定每条跑道的起跑位置，需要知道什么？ 复习铺垫： 圆的周长公式是什么？ 圆的面积公式是什么？ 追问1：圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ 追问2：圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形面积？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ134－136内容 【学法指导】自研课本Ｐ134－136内容 （一）推导弧长公式 追问1：半径为R的圆，周长是多少？ 追问2：360°的圆心角所对的弧长是多少？ 追问3：1°的圆心角所对的弧长是多少？ 追问4：n°的圆心角所对的弧长是多少？ 强调注意事项： n是圆心角的度数（1°的倍数），不带单位；180是常数，不带单位；若题目未要求精确，结果保留π的形式. （二）扇形概念与扇形面积公式 定义：如图，像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。如图，∠AOB的两条半径OA、OB和弧AB围成的图形，记作“扇形OAB”. 展示辨析：多媒体展示多个图形，让学生判断哪些是扇形，哪些不是，并说明理由. 引导探究（类比弧长公式推导）： 追问1：半径为R的圆，面积是多少？ 追问2：360°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 追问3：1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 追问4：n°的圆心角所对的扇形面积是多少？ （三）两个公式的联系——弧长表示扇形面积 问题：扇形面积公式与弧长公式之间有怎样的联系？ 追问：这个形式让你联想到哪个公式？ 解释：把扇形看成一个“曲边三角形”，弧长l相当于底，半径R相当于高.这个类比帮助我们记忆和理解公式. 引导归纳：已知条件不同，选择不同形式的公式会更方便： 【自研自探】 自研课本Ｐ134－136内容 典型例题 例1.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，计算如图所示管道的展直长度L（结果取整数） 例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 第二环节 合作探究 1.讨论弧长公式的推导？ 2.讨论扇形概念与扇形面积公式的推导？ 3.讨论两个公式的联系？ 1．如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为、、． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)求点A运动到点所经过的路径长． 课本课堂练习P136（①②③）. 1．（2026年广东省）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2（2026年安徽省中考）.如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 知识技能： 两个公式：弧长公式 ，扇形面积公式： .一个模型：弓形面积 = - .一种策略：已知n和R → 直接代入公式；已知l和R → 更简便. 思想方法：类比思想：弧长公式和扇形面积公式的推导方法完全一致——从 到 转化思想：扇形面积用弧长表示时，转化为“ ”，与 类比.从特殊到一般：从1°对应的量推导 ，实现由特殊到一般的数学抽象. 易错提醒：公式记混：弧长公式分母是 ，扇形面积公式分母是 ——口诀：“弧长 ，面积 ”单位混淆：n是 的度数，不带 ；若题目给出的是 或其他单位，需先转换.半径误代：若题目给出的是 ，需先 再代入公式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3弧长和扇形面积（第1课时　弧长和扇形面积） （导学案） (1)理解并掌握弧长公式：能通过类比圆周长公式推导出弧长公式，理解公式中各字母的含义，并能正确运用公式计算弧长. (2) 理解并掌握扇形面积公式：能类比圆面积公式推导出扇形面积公式，理解扇形面积与弧长之间的内在联系，掌握这一简化形式. (3) 灵活运用公式：能综合运用弧长和扇形面积公式解决简单的实际问题. (4) 发展核心素养：经历公式的“猜想—推导—应用”过程，体会类比思想、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展抽象能力和运算能力. 重点：弧长公式和扇形面积公式的推导及其应用. 难点：弧长和扇形面积公式的推导过程（理解“从整体到部分”的比例缩放逻辑）；这一形式与三角形面积公式的类比理解；在实际问题中，准确识别并应用相应的公式进行计算. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示田径比赛400米起跑画面. 问题1：在400米比赛中，不同跑道的运动员起跑线为什么不在同一处？ 问题2：为了确定每条跑道的起跑位置，需要知道什么？（弯道的“展直长度”——即弧长） 复习铺垫： 圆的周长公式是什么？（） 圆的面积公式是什么？（） 追问1：圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？（360°） 追问2：圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形面积？（360°） 揭示课题：今天我们就来研究——如何计算圆心角为n°的弧长和扇形面积. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ134－136内容 【学法指导】自研课本Ｐ134－136内容 （一）推导弧长公式 追问1：半径为R的圆，周长是多少？（） 追问2：360°的圆心角所对的弧长是多少？（整个圆的周长） 追问3：1°的圆心角所对的弧长是多少？ （圆周长的，即 ） 追问4：n°的圆心角所对的弧长是多少？ （1°圆心角所对弧长的n倍，即 .） 强调注意事项： n是圆心角的度数（1°的倍数），不带单位；180是常数，不带单位；若题目未要求精确，结果保留π的形式. （二）扇形概念与扇形面积公式 定义：如图，像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。如图，∠AOB的两条半径OA、OB和弧AB围成的图形，记作“扇形OAB”. 展示辨析：多媒体展示多个图形，让学生判断哪些是扇形，哪些不是，并说明理由. 引导探究（类比弧长公式推导）： 追问1：半径为R的圆，面积是多少？（） 追问2：360°的圆心角所对的扇形面积是多少？（整个圆的面积，） 追问3：1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ （圆面积的，即 ） 追问4：n°的圆心角所对的扇形面积是多少？ （1°圆心角所对扇形面积的n倍，即 ） （三）两个公式的联系——弧长表示扇形面积 问题：扇形面积公式与弧长公式之间有怎样的联系？ 追问：这个形式让你联想到哪个公式？（三角形面积公式 S =底×高） 解释：把扇形看成一个“曲边三角形”，弧长l相当于底，半径R相当于高.这个类比帮助我们记忆和理解公式. 引导归纳：已知条件不同，选择不同形式的公式会更方便： 已知圆心角n和半径R → 用 ； 已知弧长l和半径R → 用 . 【自研自探】 自研课本Ｐ134－136内容 典型例题 例1.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，计算如图所示管道的展直长度L（结果取整数） 【分析】追问1：管道的展直长度由哪几部分组成？（两段直线段 + 中间一段弯道弧长） 追问2：图中弯道对应的圆心角是多少度？（100°）半径是多少？（900 mm） 追问3：如何求这段弧长？ （代入弧长公式计算） 【详解】解：由弧长公式，可得弯道弧的长： 因此所要求的展直长度 答：管道的展直长度约为2970 mm. 例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 【分析】追问1：有水部分的面积在图中是哪一部分？（弓形——扇形OAB减去△OAB） 追问2：已知半径OC=0.6 m，水面高CD=0.3 m，OD是多少？（OD = 0.6 - 0.3 = 0.3 m） 追问3：在Rt△AOD中，OD与OA有什么关系？（OD=OA，所以∠OAD=30°，∠AOD=60°） 追问4：∠AOB等于多少度？（120°） 追问5：如何求有水部分的面积？ （=-） 【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C. 由题意，OC=0.6 m，CD=0.3 m， ∴ OD = OC-CD=0.3 m。 在Rt△AOD中，OA=0.6 m，OD=0.3 m， ∴OD=OA，∠OAD =30°，∠AOD=60°. 同理∠BOD=60°，∴ ∠AOB=120°. =-= －AB·OD=0.12π－×0.6××0.3≈0.22（m²） 答：截面上有水部分的面积约为0.22 m². 第二环节 合作探究 1.讨论弧长公式的推导？ 2.讨论扇形概念与扇形面积公式的推导？ 3.讨论两个公式的联系？ 1．如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为、、． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)求点A运动到点所经过的路径长． 【详解】（1）解：所得如图所示： （2）解：由作图可知：从点A运动到点所经过的路径为一段圆弧长，连接， ∴，， ∴点A运动到点所经过的路径长为． 课本课堂练习P136（①②③）. 1．（2026年广东省）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 2（2026年安徽省中考）.如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． 3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得． 知识技能： 两个公式：弧长公式：，扇形面积公式：.一个模型：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积.一种策略：已知n和R → 直接代入公式；已知l和R → 用 更简便. 思想方法：类比思想：弧长公式和扇形面积公式的推导方法完全一致——从整体（圆）到部分（弧/扇形）.转化思想：扇形面积用弧长表示时，转化为“曲边三角形”，与三角形面积公式类比.从特殊到一般：从1°对应的量推导n°对应的量，实现由特殊到一般的数学抽象. 易错提醒：公式记混：弧长公式分母是180，扇形面积公式分母是360——口诀：“弧长180，面积360”单位混淆：n是圆心角的度数，不带单位；若题目给出的是弧度或其他单位，需先转换.半径误代：若题目给出的是直径，需先除以2得到半径再代入公式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $