精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第二十九中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测试数学试题

初二学年作业反馈数学试题 2026.09 考生注意： 1．全卷共两道大题，总分120分 2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一、选择题（本题共10小题，每题3分，满分30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 3. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，欲使．甲、乙、丙三位同学分别添加下列条件：甲：；乙：；丙：．其中满足要求的条件是（ ） A. 仅甲 B. 仅乙 C. 甲和乙 D. 甲、乙、丙均可 5. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，若点，，在一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，，是的中点，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④． 其中能使成立的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的____． 12. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 13. 已知，在中，，是边上的高，若，则_______． 14. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 15. 如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为______． 16. 如图1，已知为的角平分线上一点，连接；如图2，已知为的角平分线上面两点，连接；如图3，已知为的角平分线上面三点，连接；…，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是_____． 三、解答题：（本题共8小题，共72分） 17. 如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 18. 若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 19. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，，与 之间有什么关系？说明你的理由． 20. 如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． （1）直接写出______． （2）请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． 请画出的中线和高． 在线段右侧找到点，使得． （3）要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在轴上找点，使平分． 21. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 22. 如图所示，相交于点O，． （1）若平分交于平分交于G，求的度数； （2）延长至点H，若直线平分交于F，平分交直线于M，求的度数． 23. 模型意识以及知识运用 （1）【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． （2）【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． （3）【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 24. 如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点的一个动点． （1）如图1，①直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②当点位于点与点之间时，连接，以线段为边作等腰直角(为直角顶点，，，按逆时针方向排列)，连接．求证：；(提示：在同一三角形中，等角对等边) （2）点是直线上异于点与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二学年作业反馈数学试题 2026.09 考生注意： 1．全卷共两道大题，总分120分 2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一、选择题（本题共10小题，每题3分，满分30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 【详解】、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 3. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，欲使．甲、乙、丙三位同学分别添加下列条件：甲：；乙：；丙：．其中满足要求的条件是（ ） A. 仅甲 B. 仅乙 C. 甲和乙 D. 甲、乙、丙均可 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形外角性质求出，根据全等三角形的判定推出即可；根据推出两三角形全等即可；求出，根据全等三角形判定推出即可． 【详解】解：，，， ， 在和中 ，甲正确； 在和中 ，乙正确； 连接， ，， ，， ， 即， 在和中 ，丙正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 5. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12，故应该列两个方程组求解． 【详解】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或， 解得或． ，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm， 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 6. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，则和的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义可得，即可求得，再根据三角形角平分线的定义可得，，即可求得． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， ，是角平分线， ，， ． 7. 如图，已知，，，若点，，在一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点，由，得，而，，即可根据“”证明，得，由，且，推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 点，，在一条直线上， ，且， ， ， 故选：． 8. 如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 9. 如图，，是的中点，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④． 其中能使成立的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，运用角角边判定． 综上所述，可以使的有①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，利用三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 12. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【详解】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 13. 已知，在中，，是边上的高，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ，正确进行分类讨论是解题关键． 分为两种情况，画出图形，先求得再根据角度关系求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图， 为边上的高， ， ， ∴， ∵， ； ②如图， 同理可得：， ∵， ． 故答案为：或． 14. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为______． 【答案】或7或10 【解析】 【分析】分，，以及四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， ∴当时：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时： ， 即：， ∴（不合题意，舍去）； 当：时，，， 当重合时，，即：，， ∴，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 综上：当的值为或7或10． 故答案为：或7或10． 【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键． 16. 如图1，已知为的角平分线上一点，连接；如图2，已知为的角平分线上面两点，连接；如图3，已知为的角平分线上面三点，连接；…，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．根据图形得出：当有1个点时，有1对全等三角形；当有2个点时，有3对全等三角形；当有3个点时，有6对全等三角形；，根据以上结果得出当有个点时，图中有对全等三角形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 当有1个点时，有对全等三角形； 当有2个点时，有对全等三角形； 当有3个点时，有对全等三角形； 当有4个点时，有对全等三角形； 当有个点时，图中有对全等三角形， 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共72分） 17. 如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 【答案】（1）② （2）的整数值为或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． (1)根据“不均衡三角形”的定义即可求解； (2)分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）①， 不能组成“不均衡三角形”； ②， 能组成“不均衡三角形”； ③， 不能组成“不均衡三角形”； ④， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②． （2）①当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； ③当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 19. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，，与 之间有什么关系？说明你的理由． 【答案】 ，，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由得出，由，得出，即可证明，则，，则． 【详解】略 20. 如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． （1）直接写出______． （2）请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． 请画出的中线和高． 在线段右侧找到点，使得． （3）要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在轴上找点，使平分． 【答案】（1）8 （2） ①如图，线段，线段即为所求． ②如图，即为所求． ， （3） 如图，点F为所求. 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用分割法求解即可． （2）①取的中点（BC与网格线的一个交点），连接，．取格点，连接交于点，线段即为所求． ②利用数形结合的思想，作出，即可． （3）将顺时针旋转到位置，可得，再找到、的对称轴与x轴交点，连接，可得，即是所求点F. 【小问1详解】 解：． 故答案为8． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 21. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2） 证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图所示，相交于点O，． （1）若平分交于平分交于G，求的度数； （2）延长至点H，若直线平分交于F，平分交直线于M，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角的性质． （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【小问1详解】 解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． 【小问2详解】 解：，平分交直线于， ， ，， ． 23. 模型意识以及知识运用 （1）【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则______． （2）【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为______． （3）【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：． 【答案】（1） （2）6 （3） 证明：∵，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）依据题意，由于E，于F，则，，又四边形是正方形，可得，，从而，进而，最后由即可判断得解； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，∵于E，于F， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 24. 如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点的一个动点． （1）如图1，①直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②当点位于点与点之间时，连接，以线段为边作等腰直角(为直角顶点，，，按逆时针方向排列)，连接．求证：；(提示：在同一三角形中，等角对等边) （2）点是直线上异于点与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①， ②证明：如图，过点作交轴于点， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ，即． （2），证明如下： 解：①当点在线段上，如图，过点作交延长线于点， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ②当点在的延长线上，如图，作交延长线于点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出和的值，即可得出点和点的坐标； ②通过证明，得出，，推出，再得出，则，得证． （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线于点，通过证明，得，得出结论；②当点在的延长线上，过点作交延长线于点，通过证明，得，得出结论． 【小问1详解】 ①解：， ，， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为． ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题是全等三角形的综合题，主要考查了绝对值的非负性，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $