精品解析：福建福州格致中学鼓山校区2026-2027学年第一学期九年级10月数学学科适应性练习

福州格致中学鼓山校区2026—2027学年第一学期 10月数学学科适应性练习 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是-（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 4. 点A（-1，y1），B（2，y2），在反比例函数y=的图象上，则下列结论正确的是（） A. 0<y2<y1 B. 0<y1<y2 C. y2<0<y1 D. y1<0<y2 5. 已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（　　） A. 图象在第二、四象限 B. 图象与y轴的交点为（0，6） C. 图象经过点（3，2） D. 函数值y随x的增大而减小 6. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） x … … y … … A. B. C. D. 7. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 8. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 9. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 先变小再变大 10. 已知点，为抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）上两点，且＜，则下列说法正确的是（ ） A. 若＋＜4，则y1＜y2 B. 若＋＞4，则y1＜y2 C. 若a（＋－4）＞0，则y1＞y2 D. 若a（＋－4）＜0，则y1＞y2 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 12. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 13. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为________N． 14. 如图，若抛物线上的，它的对称轴对称，则当时，x的取值范围是______． 15. 跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过______秒钟后它在离抛出点高的地方． 16. 二次函数可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当时，，当时，．我们把上述现象称为函数参照取值延后，延后值为．若函数参照取值延后，延后值为3，则的值是_____． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 19. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 20. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图像； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 … （2）根据图象回答： ①方程的两个解是________，________； ②当时，函数值的取值范围是________． 21. 通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求反比例函数解析式和点A、D的坐标； （2）陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 23. 如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． （1）求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 24. 定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： （1）已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； （2）判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； （3）如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州格致中学鼓山校区2026—2027学年第一学期 10月数学学科适应性练习 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是-（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A．∵2×1=2≠-2，∴此点不在反比例函数的图象上； B．∵×3=2≠-2，∴此点不在反比例函数的图象上； C．∵-2×（-1）=2≠-2，∴此点不在反比例函数的图象上； D．∵-1×2=-2，∴此点在反比例函数的图象上． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握顶点式是解题的关键． 3. 将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 4. 点A（-1，y1），B（2，y2），在反比例函数y=的图象上，则下列结论正确的是（） A. 0<y2<y1 B. 0<y1<y2 C. y2<0<y1 D. y1<0<y2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式求出y1和y2的值，再进行比较即可． 【详解】解：∵A（-1，y1），B（2，y2），在反比例函数y=的图象上， ∴，． ∴y1<0<y2． 故选：D． 【点睛】本题考查求反比例函数值，实数的大小比较，熟练掌握这些知识点是解题关键． 5. 已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（　　） A. 图象在第二、四象限 B. 图象与y轴的交点为（0，6） C. 图象经过点（3，2） D. 函数值y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，函数图象在第一、三象限，与坐标轴无交点，在第一或第三象限中函数值y随x的增大而减小，可判断A、B、D的正误，将代入中得，可知反比例函数的图象经过，进而可判断C的正误． 【详解】解：由可知，函数图象在第一、三象限，与坐标轴无交点，在第一或第三象限中函数值y随x的增大而减小 故A、B、D错误，不符合题意； 将代入中得 ∴反比例函数的图象经过 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质． 6. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） x … … y … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“时，时”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】解：由表可得时，时， 二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标在和之间， 的一个近似解的范围为， 故选：C． 7. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数的增减性，根据反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； B、∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴开口方向向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大，故该选项符合题意； D、∵，∴开口方向向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 9. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 先变小再变大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式和矩形、三角形的面积公式把四边形的面积用含的代数式表示出来，即可得到结果． 【详解】解：点在的图象上， ， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为， 点、都在函数上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积不变． 10. 已知点，为抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）上两点，且＜，则下列说法正确的是（ ） A. 若＋＜4，则y1＜y2 B. 若＋＞4，则y1＜y2 C. 若a（＋－4）＞0，则y1＞y2 D. 若a（＋－4）＜0，则y1＞y2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 当时，， 则当时，；当时，； 当时，， 则当时，；当时，； 故A、B选项都不正确； 若，则与同号，由上可知， 故C不正确； 若，则与异号，由上可知， 故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：二次函数中， ∴二次函数图象的开口向上， 故答案为：向上． 12. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 13. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为________N． 【答案】2400 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数为：， 将代入得 得， 故答案为：2400． 14. 如图，若抛物线上的，它的对称轴对称，则当时，x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的图象可求当时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 由图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 15. 跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过______秒钟后它在离抛出点高的地方． 【答案】0.2或1.8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可． 【详解】解：由题意得：． 整理得， 解得． ∴0.2或1.8秒后，物体处在离抛出点高的地方． 故答案为：0.2或1.8． 16. 二次函数可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当时，，当时，．我们把上述现象称为函数参照取值延后，延后值为．若函数参照取值延后，延后值为3，则的值是_____． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值，理解新定义是解决本题的关键． 根据取值延后的含义可得，则，即可求得的值． 【详解】解：函数参照取值延后，延后值为3， ∴， ， ， 故答案为：39． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用配方法求解即可． 【详解】解： 移项，得：． 配方，得：， 即． 开方，得：， 即，或． 所以． 18. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为；当时，有最小值为， ∴． 19. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换． 20. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图像； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 … （2）根据图象回答： ①方程的两个解是________，________； ②当时，函数值的取值范围是________． 【答案】（1）0；3 函数图象如图， ； （2）①1，3；② 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）先利用对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线，则利用对称性得到和对应的函数值，然后通过描点法画出函数图象； （2）①方程的两个解就是使函数为0所对应的自变量的值，即抛物线与轴的交点的横坐标为方程的解； ②先确定和所对应的函数值，时有最小值，然后利用增减性求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，即，； 和对应的函数值相等，即时，； 补全表格，如下； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 【小问2详解】解：①当和时，， 方程的两个解为，； 故答案为：1，3； ②时，， 当时，有最小值， 当时，， 当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 21. 通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求反比例函数解析式和点A、D的坐标； （2）陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，， （2） 解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据，结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 所以； 故答案为：； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 故答案为：或． 23. 如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． （1）求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于小球脱离管道落入书包的轨迹可以近似看作抛物线，且小球球心经过的最高点坐标是，因而可设该抛物线的顶点式为，将小球从管道脱离时球心的坐标代入，得，解方程即可求出的值，进而可得出小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）根据题意，将代入，得，解方程即可求出书包开口中心处的坐标． 【小问1详解】 解：小球脱离管道落入书包的轨迹可以近似看作抛物线， 且小球球心经过的最高点坐标是， 设该抛物线的顶点式为， 小球从管道脱离时球心的坐标为， 将代入，得： ， 解得：， 小球球心轨迹对应抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，将代入，得： ， 解得：，， ， 此时小球的球心在点左侧，与实际不符，故舍去， ，即小球在水泥管道内部， 书包开口中心处的坐标为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），一元二次方程的应用（其他问题），待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，有理数大小比较的实际应用，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，读懂题意，学会用二次函数及一元二次方程解决实际问题是解题的关键． 24. 定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： （1）已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； （2）判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； （3）如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 【答案】（1） （2） 不在，理由如下： 根据题意，， 若经过点， ∴， ∴， 整理，得． ∵， ∴此方程无解， ∴不存在的值，使得， ∴点不在函数和的“均值函数”图象上； （3） 证明：∵点在的图象上， ∴或， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴，． ∵和的“均值函数”为， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】（）根据两个函数的“均值函数”的定义即可求解； （）根据题意得，若经过点，则转化为，然后根据根的判别式即可求解； （）由点在的图象上，则或，再根据轴，轴，求出，，，，再由和的“均值函数”为，则，最后由平行四边形的判定与性质即可求证； 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数和， ∴， ∴它们的“均值函数”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 证明：略． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． 【小问3详解】 解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $