精品解析：江苏省姜堰中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段练习数学试题

江苏省姜堰中学2026—2027学年度第一次阶段练习 高一年级数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再结合交集的运算即可求解. 【详解】解得，即集合， 所以. 2. 命题 的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定规则得命题的否定为：. 3. 已知，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】， 故，，得 故选：B 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 5. 若 ，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，移项得，即， 即， 解得或， 所以不等式的解集是. 6. 已知集合 或， ．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按、、分类解出集合，再抓住的闭端点与的端点、比较，得到的范围． 【详解】． 若，则，满足； 若，由得，即， 因其含有端点，故需，即，得； 若，由得，即， 同理需，即，得； 综上的取值范围是． 7. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件概念求解即可. 【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙， 因为丙是乙的充要条件，所以丙乙，即甲丙， 又因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁， 所以甲丁，即丁是甲的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件化简分式，将双变量不等式转化为关于的单变量不等式，再通过换元和分离参数，将恒成立问题转化为二次函数的最值问题求解. 【详解】已知且，对前两项通分化简， 因此原不等式等价于， 令，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故， 原问题转化为对所有，不等式恒成立， 将不等式变形为，因为，所以， 要使不等式恒成立，只需大于等于右侧函数在上的最大值， 而是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此当时，取得最大值，故. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断ABD，作差法比较大小可判断C. 【详解】由，可得，又，所以，故A错误； 由，所以，故，故B正确； ， 因为，，，， 所以，则，故C错误； 由，可得，又，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数 的零点是 和 B. 当 时， C. 成立的充要条件是 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据零点的定义，求出零点，判断A；由不等式的性质，分析的正负，判断B；分析成立的条件，判断C；求解不等式，并结合充分、必要条件的判断方法判断D. 【详解】令 ，得，函数 的零点是 和 ，所以A错误； 当 时，，所以，所以B正确； 若 ，则， 所以，所以，与不一致，所以C错误； 由，得. 因为，所以，解得. 因为，， 所以“”是“”的必要不充分条件. 所以D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据二次函数与一元二次不等式的关系即可求解；对于B，根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系可求得b、c和a的等量关系，代入式子即可判断正负；对于C，将b、c和a的等量关系代入不等式中即可求解；对于D，将b、c和a的等量关系代入式子中，得到只含有a的式子，利用基本不等式可求最值，根据等号成立的条件验证等号是否成立即可. 【详解】对于A，因为的解集为， 所以说明二次函数开口向下，即，故A正确； 对于B，因为的解集为， 所以和是方程的两个根， 由韦达定理，即， 所以，故B错误； 对于C，将，代入不等式中得： ， 即， 解得，故C错误； 对于D，因为，所以 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 即，得，解得， 因为，所以取不到最小值，故D错误. 所以错误选项有B、C、D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知，，，则的最小值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用“”的代换结合基本不等式求解：由，，，得，将目标式与相乘，展开后用基本不等式求最小值. 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 13. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】解出不等式，由是的充分不必要条件求出实数的取值范围. 【详解】由得. 因为是的充分不必要条件， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 14. 用 表示非空集合中的元素个数,定义 ，若 ，且 ，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于________ 【答案】 【解析】 【分析】根据和得到或，即集合的元素个数只能是个或者个，的解为或，按照和讨论求解. 【详解】因为，所以, ， 若，所以， 即，解得， 若，所以， 即，解得， 则集合的元素个数只能是个或者个， 集合是方程的解集， 即或， 的解为或， 当时，中只有1个元素，说明方程只有一个实根， 则的两根必须相等，即，解得， 此时方程变为转化为，此方程无实根， 则，满足，是一个解. 当时，中有个不同实根， 则要有两个不相等实根，即，解得， 则要有两个相等实根，且这个重根不能等于（否则总元素少于）， 判别式为，解得， 当时，转化为，此方程的根为， 的根为或，则，即， 当时，转化为，此方程的根为， 的根为或，则，即， 综上可知，的取值为，则，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求 的值； （2）若 ，求实数 的值. 【答案】（1），. （2）或. 【解析】 【分析】（1）直接由函数解析式求得 的值. （2）分别在、和三种情况下，求解，即可得实数 的值. 【小问1详解】 ， ， 所以. 【小问2详解】 当时，，所以（舍去）； 当时，，所以， 即，解得或.所以. 当时，，解得. 综上所述，或. 16. 已知全集，集合，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）求出中不等式的解集,根据全集求出的补集 （2）根据为的子集,确定出的取值范围即可. 【详解】（1）由,得或, ∴或, ． （2）． , , 当时,, 解得符合题意． 当时,,且, 解得, 综上：的取值范围为. 【点睛】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得； （2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，即命，，所以，所以， 若命题为真命题，即，，所以，解得， 因为命题和命题有且只有一个为假命题， 当命题为假，命题为真时，解得； 当命题为真，命题为假时，所以； 所以； 【小问2详解】 解：若命题和命题都为假命题，则，即； 因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即； 18. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）；（2）；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意时，可得解； （2）由（1）求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解. （2）由（1），利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得， （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2020年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19. 对于四个正数，如果 ，那么称是的“下位序列”. （1）对于，试求元素取自这四个数的的“下位序列”； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断： 之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 【答案】（1）和 （2）由是的“下位序列”，得，即.① 因为， 所以，② 因为， 所以，③ 由②③得. （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义，结合不等式的性质，利用作差法得到结论； （3）根据定义结合第（2）的结论求解. 【小问1详解】 设是的“下位序列”，其中、取自且， 由定义得, 若，则，与矛盾， 当且时取等号，不成立，故只能， 此时，即，故可取或，检验， ，均成立， 所以的“下位序列”为和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是 的“下位序列”， 是的“下位序列”， 于是问题等价于：求最小正整数，使得对每个， 都存在正整数满足， 取，， ， ， 两个不等式均等价于，对恒成立，故满足要求. 设正整数满足要求，特别取，则存在正整数， 使，即， 令，由知为正整数， 代入得，即， 当时，，无正整数解； 当时，，得； 当时，，此时的取值大于， 故一切满足条件的均有，则正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省姜堰中学2026—2027学年度第一次阶段练习 高一年级数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题 的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若 ，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合 或， ．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数 的零点是 和 B. 当 时， C. 成立的充要条件是 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集是 D. 的最小值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知，，，则的最小值是________. 13. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 14. 用 表示非空集合中的元素个数,定义 ，若 ，且 ，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求 的值； （2）若 ，求实数 的值. 16. 已知全集，集合，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. 对于四个正数，如果 ，那么称是的“下位序列”. （1）对于，试求元素取自这四个数的的“下位序列”； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断： 之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $