第4讲·二次函数概念及y=ax²的性质·培优讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第4讲·二次函数概念及y=ax²的性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能识别二次函数并确定二次项系数、一次项系数、常数项 · 能根据二次函数的定义求参数的值或取值范围 · 掌握y=ax²的图象与性质，理解a对开口方向、开口大小的影响 · 能根据实际问题列二次函数关系式，确定自变量的取值范围 · 会用待定系数法求二次函数解析式 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数 判断要点：函数关系式是整式，自变量的最高次数是2，二次项系数a≠0 一般式中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 由定义求参数：x的最高次数为2且二次项系数不为0列方程（组） 概念辨析例题：下列函数中，是二次函数的是（　　） 答案：y=x2+2x-1 解析：二次函数需满足：整式、x最高次数2、x2项系数不为0。y=2x是一次函数，y=不是整式，y=ax2缺a≠0条件，y=x2+2x-1符合。 ☆ 2.y=ax²的图象与性质 图象：y=ax2（a≠0）的图象是抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴 开口方向：a>0开口向上，有最低点（最小值）；a<0开口向下，有最高点（最大值） |a|越大开口越小，|a|越小开口越大 性质：a>0时，x<0随x增大而减小、x>0随x增大而增大；a<0时相反 概念辨析例题：抛物线y=2x2的对称轴和顶点分别是（　　） 答案：y轴，(0,0) 解析：y=ax2的图象对称轴是y轴（直线x=0），顶点在原点(0,0)。a=2>0开口向上，有最低点。 ☆ 3.列二次函数关系式 根据实际问题中的等量关系列出二次函数关系式 面积、利润等实际问题：用自变量表示相关量，再列关系式 注意自变量的实际取值范围（如边长>0、件数≥0等） 关系式结果化为y=ax2+bx+c的一般形式，确认a≠0 概念辨析例题：正方形的边长为x，面积S与边长x之间的函数关系式为（　　） 答案：S=x2（x>0） 解析：正方形面积等于边长的平方，S=x2。自变量x为边长，必须为正数，故x>0。 ☆ 4.待定系数法求二次函数解析式 设解析式：一般式y=ax2+bx+c（a≠0） 代入已知点坐标（至少三点），建立关于a、b、c的方程组 解方程组求a、b、c，代回得到解析式 已知顶点或对称轴时，可设顶点式y=a(x-h)2+k简化计算 概念辨析例题：抛物线y=ax2经过点(2,8)，则a的值为（　　） 答案：2 解析：把点(2,8)代入y=ax2：8=a×22=4a，解得a=2。待定系数法：代点入式、解方程、回写解析式。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 整式、最高次数2、a≠0 开口方向 a>0向上；a<0向下 |a|越大开口越小 顶点与对称轴 顶点(0,0)，对称轴y轴 y=ax²图象过原点 增减性 a>0：x<0减、x>0增 以对称轴为分界 列关系式 按等量关系列式 注意自变量取值范围 待定系数法 代点入式解方程组 至少三个点 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的识别（第1-8题） · 看解析式是否为整式，x的最高次数是否为2，x2项系数是否不为0 · 化简合并后再判断，勿被含x的括号误导 · 含参数的识别题，先确定参数使二次项系数不为0 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列函数中，关于的二次函数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各选项中，解析式为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 8．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数的一次项是________． 【考点2】根据二次函数的定义求参数（第9-20题） · 由x的最高次数为2且二次项系数a≠0列方程（组）求参数 · 注意二次项系数为0的情况要排除 · 求出的参数回代检验是否满足a≠0 9．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段检测）若是二次函数，则（    ） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 10．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 12．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的二次函数，则m的值是_______． 13．（23-24九年级上·广西柳州·期中）当___________时，函数是关于x的二次函数． 14．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 15．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）当________时，是二次函数． 16．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 17．（26-27九年级上·全国·单元测试）若是关于x的二次函数，则______． 18．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，求m的值；并说出当x为何范围时，y随x的增大而增大？ 19．（23-24九年级上·天津东丽·阶段检测）已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 20．（25-26九年级上·吉林·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 【考点3】y=ax²的图象和性质（第21-39题） · 开口看a符号，顶点(0,0)，对称轴y轴 · 比较函数值大小：利用对称轴和增减性，或直接代入 · |a|大小影响开口：|a|越大开口越小 21．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 22．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 23．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）在数中任取两个数作为点的坐标，该点刚好在二次函数图象上的概率是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 25．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______．    27．（23-24九年级上·天津蓟州·阶段检测）已知二次函数有最小值，则m的取值范围是　____________ 28．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）点在函数的图象上，则代数式的值等于____． 29．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是_____．（只要写出一个表达式） 30．（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 31．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）二次函数，当时，则的取值范围是_________． 32．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 33．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数图象上有两个不同点，，则______． 34．（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为________． 35．（21-22九年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 36．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）在平面直角坐标系中有三个点，点，，，以为直径作圆M，若点P是抛物线上一个动点，点Q为圆M上一个动点，则的最小值等于__________ 37．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是______．    38．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)若此抛物线经过点和则与的大小关系是______； 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，点在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【考点4】列二次函数关系式（第40-49题） · 审清等量关系，用含x的式子表示相关量 · 利润类：总利润=单件利润×销量 · 关系式化一般形式，标出自变量取值范围 40．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 41．（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 42．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 43．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 44．（25-26九年级上·福建莆田·期中）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格元/千克在生产基地收购了千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计元，而且大蒜在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 45．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 46．（23-24九年级上·北京石景山·阶段检测）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 47．（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 48．（24-25九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角．设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角． (1)求与之间的函数表达式； (2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？ 49．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿AB方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)连接，设的面积为，求与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值． 【考点5】待定系数法求二次函数解析式（第50-52题） · 设一般式y=ax2+bx+c，代三点列方程组 · 已知顶点设顶点式y=a(x-h)2+k · 解方程组后回写解析式并检验 50．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数（其中a是常数，且） (1)若该函数的图象经过点，则a的值为___________． (2)若且当时，其对应的函数值y均为正数，则a的取值范围是___________ 51．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数的图象经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当时的值． 52．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图像．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点坐标及增减性． 💯 课后巩固 复习建议 · 识别二次函数看三要素：整式、最高次数2、a≠0 · 由定义求参数要同时满足次数2与a≠0，求后回代检验 · y=ax²图象：开口看a，顶点原点，对称轴y轴，|a|定开口大小 · 列关系式先找等量关系，别忘了自变量范围 · 待定系数法：设式→代点→解方程组→回写 【作业1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级上·广西贺州·期末）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【作业5】．（21-22九年级上·辽宁朝阳·期末）如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【作业6】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【作业7】．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）已知二次函数，则一次项系数__________ 【作业8】．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）函数是二次函数，则a的值是 _______． 【作业9】．（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知点在二次函数的图象上，则______． 【作业10】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 【作业11】．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【作业12】．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为_________． 【作业13】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有__________．（填序号） 【作业14】．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）二次函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)写出二次函数的解析式，并指出取何值时随的增大而增大． 【作业15】．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）若是关于的二次函数，求的值． 【作业16】．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线经过点． (1)求这个二次函数的关系式； (2)为何值时，的值随着的增大而增大？ 【作业17】．（25-26九年级上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【作业18】．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲·二次函数概念及y=ax²的性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能识别二次函数并确定二次项系数、一次项系数、常数项 · 能根据二次函数的定义求参数的值或取值范围 · 掌握y=ax²的图象与性质，理解a对开口方向、开口大小的影响 · 能根据实际问题列二次函数关系式，确定自变量的取值范围 · 会用待定系数法求二次函数解析式 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数 判断要点：函数关系式是整式，自变量的最高次数是2，二次项系数a≠0 一般式中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 由定义求参数：x的最高次数为2且二次项系数不为0列方程（组） 概念辨析例题：下列函数中，是二次函数的是（　　） 答案：y=x2+2x-1 解析：二次函数需满足：整式、x最高次数2、x2项系数不为0。y=2x是一次函数，y=不是整式，y=ax2缺a≠0条件，y=x2+2x-1符合。 ☆ 2.y=ax²的图象与性质 图象：y=ax2（a≠0）的图象是抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴 开口方向：a>0开口向上，有最低点（最小值）；a<0开口向下，有最高点（最大值） |a|越大开口越小，|a|越小开口越大 性质：a>0时，x<0随x增大而减小、x>0随x增大而增大；a<0时相反 概念辨析例题：抛物线y=2x2的对称轴和顶点分别是（　　） 答案：y轴，(0,0) 解析：y=ax2的图象对称轴是y轴（直线x=0），顶点在原点(0,0)。a=2>0开口向上，有最低点。 ☆ 3.列二次函数关系式 根据实际问题中的等量关系列出二次函数关系式 面积、利润等实际问题：用自变量表示相关量，再列关系式 注意自变量的实际取值范围（如边长>0、件数≥0等） 关系式结果化为y=ax2+bx+c的一般形式，确认a≠0 概念辨析例题：正方形的边长为x，面积S与边长x之间的函数关系式为（　　） 答案：S=x2（x>0） 解析：正方形面积等于边长的平方，S=x2。自变量x为边长，必须为正数，故x>0。 ☆ 4.待定系数法求二次函数解析式 设解析式：一般式y=ax2+bx+c（a≠0） 代入已知点坐标（至少三点），建立关于a、b、c的方程组 解方程组求a、b、c，代回得到解析式 已知顶点或对称轴时，可设顶点式y=a(x-h)2+k简化计算 概念辨析例题：抛物线y=ax2经过点(2,8)，则a的值为（　　） 答案：2 解析：把点(2,8)代入y=ax2：8=a×22=4a，解得a=2。待定系数法：代点入式、解方程、回写解析式。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 整式、最高次数2、a≠0 开口方向 a>0向上；a<0向下 |a|越大开口越小 顶点与对称轴 顶点(0,0)，对称轴y轴 y=ax²图象过原点 增减性 a>0：x<0减、x>0增 以对称轴为分界 列关系式 按等量关系列式 注意自变量取值范围 待定系数法 代点入式解方程组 至少三个点 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的识别（第1-8题） · 看解析式是否为整式，x的最高次数是否为2，x2项系数是否不为0 · 化简合并后再判断，勿被含x的括号误导 · 含参数的识别题，先确定参数使二次项系数不为0 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、是二次函数，故C符合题意； D、是常数函数，故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，分母有未知数，不是二次函数； B. ，不是整式，不是二次函数； C. ，是一次函数，不是二次函数； D. ，是二次函数； 故选：D． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列函数中，关于的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据二次函数的一般形式，对四个函数逐一分析，再作判断． 【详解】解：是一次函数，故A不符合； ，是二次函数，故B符合； 不是二次函数，故C不符合； ，是一次函数，故D不符合． 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各选项中，解析式为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如是函数，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：A、解析式不为二次函数，故本选项不符合题意； B、解析式不为二次函数，故本选项不符合题意； C、解析式不为二次函数，故本选项不符合题意； D、解析式为二次函数，故本选项符合题意； 故选：D 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】函数的概念、其他问题(一次函数的实际应用)、二次函数的识别、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确； 故选：C． 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 则阴影部分的面积为， 即：，为一次函数， 故选：A． 8．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数的一次项是________． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数（其中a、b、c是常数，且）中，叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的一次项是， 故答案为：． 【考点2】根据二次函数的定义求参数（第9-20题） · 由x的最高次数为2且二次项系数a≠0列方程（组）求参数 · 注意二次项系数为0的情况要排除 · 求出的参数回代检验是否满足a≠0 9．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段检测）若是二次函数，则（    ） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】令的指数为，系数不为，列出方程与不等式解答即可． 【详解】由题意得：；且； 解得或；， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 10．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数、增长率问题(实际问题与二次函数)、根据旋转的性质求解、化成一元二次方程的一般式 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的二次函数，则m的值是_______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据二次函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为： ． 13．（23-24九年级上·广西柳州·期中）当___________时，函数是关于x的二次函数． 【答案】3 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解方程即可得到答案；一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：3． 14．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 15．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）当________时，是二次函数． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 16．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的定义得到的次数为，由开口向上得到二次项系数大于，联立方程和不等式解答即可求解． 【详解】解：∵是二次函数，且开口向上， ∴， 解方程，得， ∴或， 解不等式，得， ∴不符合题意，舍去， ∴． 17．（26-27九年级上·全国·单元测试）若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数定义，得到x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列关系求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴可得方程组， 解得或， 由得， ∴． 18．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，求m的值；并说出当x为何范围时，y随x的增大而增大？ 【答案】，当时，y随x的增大而增大． 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的定义和性质．由二次函数的定义结合开口方向得到，，据此可求得，得到函数解析式为，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得，，， ∴， ∴函数解析式为，对称轴为轴， ∵函数图象的开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大． 19．（23-24九年级上·天津东丽·阶段检测）已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得且，即可求解； （2）根据抛物线开口向上，可得，即可求解； （3）根据题意可得抛物线开口向下，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴， ； （3）解：∵抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（25-26九年级上·吉林·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知，，求得的值即可． 【详解】解：二次函数的开口向下， ，， 解得，， ． 【考点3】y=ax²的图象和性质（第21-39题） · 开口看a符号，顶点(0,0)，对称轴y轴 · 比较函数值大小：利用对称轴和增减性，或直接代入 · |a|大小影响开口：|a|越大开口越小 21．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 22．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项． 【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 23．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）在数中任取两个数作为点的坐标，该点刚好在二次函数图象上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率公式求这个事件的概率．也考查了点在二次函数图象上，则点的横纵坐标满足二次函数的解析式． 先画树状图得到所有6种等可能的结果，其中点，在二次函数图象上，然后根据概率公式即可计算出概率． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中点，在二次函数上， ∴在二次函数图象上的概率为． 故选：B． 24．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 25．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 26．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______．    【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、等腰三角形的性质和判定、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质． 先根据抛物线的对称性得出，两点关于轴对称，，进而得到直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出点坐标，将坐标代入即可求出． 【详解】解：如图，   抛物线的对称轴为轴，且轴， , 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 关于轴对称， 点和点到的距离相等， ， ， 点的横坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标为，即， 将代入得，． 故答案为：． 27．（23-24九年级上·天津蓟州·阶段检测）已知二次函数有最小值，则m的取值范围是　____________ 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数有最小值可知开口向上，即，从而得解． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴开口向上，即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数有最小值即为开口向上是解题的关键． 28．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）点在函数的图象上，则代数式的值等于____． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】先把代入二次函数图象图象上，求出，再将化简，然后代入即可求出结论． 【详解】∵点在函数图象上， ∴， 由， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 29．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是_____．（只要写出一个表达式） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了根据要求写二次函数解析式． 根据顶点式的性质作答即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， 则抛物线的表达式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 30．（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向上 轴 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】利用的图像和性质求解即可． 【详解】解：， 开口向上； 型对称轴为轴，顶点为， 对称轴为轴，顶点为． 31．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）二次函数，当时，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数可得对称轴为，结合自变量的取值方法，代入进行计算，即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∴当时，，是最大值；时，是最小值； 当时，，是最大值；时，是最小值； ∴当时，， 故答案为： ． 32．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据正方形的性质求面积 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 33．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数图象上有两个不同点，，则______． 【答案】0 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键，根据二次函数的图象与性质及点的坐标可得关于轴对称，从而可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴点的纵坐标相等， ∴点关于轴对称， ∴， 故答案为：0． 34．（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 35．（21-22九年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 36．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）在平面直角坐标系中有三个点，点，，，以为直径作圆M，若点P是抛物线上一个动点，点Q为圆M上一个动点，则的最小值等于__________ 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了圆的性质，二次函数的性质，勾股定理．作点关于原点的对称点，作轴，过点作于点，此时，，连接交圆M于点Q，连接交圆M于点Q，此时的最小值等于的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，∵，， ∴，， 作点关于原点的对称点，则，作轴，过点作于点， 此时，，连接交圆M于点Q， 当点共线时，，即的最小值等于的长， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是______．    【答案】或或或 【知识点】y=ax²的图象和性质、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形 【分析】此题应分四种情况考虑：（1）当，时；（2）当，时；（3）当，时；（4）当，时，利用特殊三角形三边关系，根据三角形全等即可求解． 【详解】（1）当，时，    设，代入， 解得：（舍去），， ，， 又 ， ，， ； （2）当，时，    过点作轴，垂足为， 由（1）得，，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又 ， ， ； （3）当，时，      设，代入，解得：（舍去），， ，， ， ， ， ； （4）当，时，    过点作轴，垂足为点， 由（3）得，， 在中，由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 又 ， ， ， ， 综上所述，点A的坐标是或或或． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及二次函数图象和性质，由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用． 38．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)若此抛物线经过点和则与的大小关系是______； 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）抛物线经过点，可得，据此即可求得答案． （2）将代入抛物线，即可求得答案． （3）将代入抛物线，可得，同理可求得，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得． ∴此抛物线的解析式为． （2）解：将代入抛物线，得． ∴点不在此抛物线上． （3）解：将代入抛物线，得． 同理可求得． 则． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，点在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)6 (4)． 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）求出的长，根据“”求解即可； （4）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于直线：， 当时，， ∴， ∴； （4）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 【考点4】列二次函数关系式（第40-49题） · 审清等量关系，用含x的式子表示相关量 · 利润类：总利润=单件利润×销量 · 关系式化一般形式，标出自变量取值范围 40．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一年度的产值为， ∴第二年度的产值为， ∴． 故答案为： 41．（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 42．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 43．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【知识点】函数解析式、列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 44．（25-26九年级上·福建莆田·期中）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格元/千克在生产基地收购了千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计元，而且大蒜在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的大蒜损坏不能出售． (1)若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； (2)张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且为整数）； (2)存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是元． 【知识点】列二次函数关系式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数的应用． （1）根据题意可得与之间的函数解析式； （2）设利润为，根据题意可得与之间的函数关系式，根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意与之间的函数关系式为： （，且为整数）， ∴与之间的函数解析式为（，且为整数）． （2）解：设利润为， ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∵大蒜在冷库中最多保存天， ∴时，利润最大，（元）． ∴张经理将这批大蒜存放天后出售可获得最大利润，最大利润是元． 45．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】(1)． (2) 解：∵， ∴，对称轴为， ∵x为整数， ∴当或3时，y有最大值，元． 所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120． 【知识点】列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可列出表达式： ．即． ∵降价要确保盈利， ∴．即：． ∴． （2）略 46．（23-24九年级上·北京石景山·阶段检测）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【知识点】列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 47．（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 【答案】(1)方案一：，方案二： (2) (3)方案一，． ， ∴当时，S的值最大，最大值为147． 对于方案二，． ，， ， ， ∴当时，S的值最大，最大值为． ， ∴要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择方案一 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，根据方案一可知，然后可得面积S，再根据方案二可得，最后求出S即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）根据二次函数的性质分别得出方案一和方案二的最大值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设． 对于方案一，可知， ， ． 对于方案二，可知， ， ． （2）解：由（1）可令， 解得，． 由题意可知，即， ． （3）略． 48．（24-25九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角．设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角． (1)求与之间的函数表达式； (2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为角． 【知识点】列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的最值问题，能够根据题意找出等量关系，列出方程是解决此类题目的关键． （1）设每个馒头的利润为角，根据馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个，可知卖出的馒头个数为个；根据：利润=单个馒头利润×卖出馒头数量，可列出关系式； （2）将函数一般式转化为顶点式，求最值即可． 【详解】（1）解：每个馒头的利润为角，卖出的馒头个数为个 ∴， 即． （2）， ∴当时，y的最大值为 ∴当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为角． 49．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知：如图，在矩形中，，，点为边的中点，连接，交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿AB方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)连接，设的面积为，求与的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)存在；的值为或或 【知识点】列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据勾股定理求出，解直角三角形得出，根据，得出，根据，得出，求出t的值即可； （2）过作于，根据，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点为边的中点， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 根据题意可得：，， ∴， 解得：； ∴当时，； （2）解：过作于，如图所示： 则， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴y与t的函数式为：； （3）解：存在； 当时，， 解得：； 当时，过点P作于点G，如图所示： ∴，， 根据解析（1）可知：， 在中，， ∴， 解得：； 当时，过点Q作于点H，如图所示： ∴，， 根据解析（1）可得：， 在中，， ∴， 解得：； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的相关计算、求函数解析式，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式． 【考点5】待定系数法求二次函数解析式（第50-52题） · 设一般式y=ax2+bx+c，代三点列方程组 · 已知顶点设顶点式y=a(x-h)2+k · 解方程组后回写解析式并检验 50．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数（其中a是常数，且） (1)若该函数的图象经过点，则a的值为___________． (2)若且当时，其对应的函数值y均为正数，则a的取值范围是___________ 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）把代入进行计算求解； （2）由可知抛物线开口向下上，求得对称轴为直线，代当时，得到，解不等即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解：当时，， ∴二次函数轴的交点坐标为． 又∵二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴抛物线开口向下． ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， 解得， ∴． 故答案为：． 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式的解法．解题的关键是：（1）将代入二次函数解析式；（2）求出二次函数轴的交点坐标和对称轴，列出不等式． 51．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数的图象经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2)当时， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：当时，． 52．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图像．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点坐标及增减性． 【答案】 描点，连线，如下图， 由图像可知，①向右平移两个单位得到②， ②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y有最小值为0． 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的图像、性质和平移，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 根据描点法，画出函数图像，再根据函数图像即可得到解答． 【详解】解：列表如下： x 0 1 2 3 4 2 0 2 2 0 2 💯 课后巩固 复习建议 · 识别二次函数看三要素：整式、最高次数2、a≠0 · 由定义求参数要同时满足次数2与a≠0，求后回代检验 · y=ax²图象：开口看a，顶点原点，对称轴y轴，|a|定开口大小 · 列关系式先找等量关系，别忘了自变量范围 · 待定系数法：设式→代点→解方程组→回写 【作业1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：选项A：，分母含，自变量次数为，不符合二次函数定义． 选项B：展开：代入得：化简后为一次函数，不符合二次函数定义． 选项C：，符合形式（，，），是二次函数． 选项D：，分母含，自变量次数为，不符合二次函数定义． 综上，正确答案为C． 故选：C． 【作业2】．（23-24九年级上·广西贺州·期末）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据形如，这样的函数叫做二次函数，得到，求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∴， 故选：B． 【作业3】．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 【作业4】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 【作业5】．（21-22九年级上·辽宁朝阳·期末）如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 【作业6】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 【作业7】．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）已知二次函数，则一次项系数__________ 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次项系数． 故答案为：． 【作业8】．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）函数是二次函数，则a的值是 _______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；由题意易得且，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：； 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知点在二次函数的图象上，则______． 【答案】0 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点代入二次函数解析式求解即可得出m的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴当时，， 代入函数解析式：， ∴． 故答案为：0． 【作业10】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为y轴，且开口向上， ∴在对称轴右边，y随x的增大而增大， ∵点，， ∴． 【作业12】．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为_________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于的不等式是解题的关键． 根据形如的函数，叫做二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为： ． 【作业13】．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有__________．（填序号） 【答案】②③⑤ 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键； 根据的开口向下，顶点是可判断①，根据二次函数的增减性可判断②，根据抛物线的对称轴为y轴可判断③，根据二次函数的增减性和最值可判断④，根据二次函数的对称性可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴①抛物线开口向下，顶点是，故说法①错误； ②当时，y随x的增大而减小，故说法②正确； ③抛物线的对称轴为y轴，即直线，故说法③正确； ④当时，，故说法④错误； ⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则，故说法⑤正确； 综上，说法正确的是②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【作业14】．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）二次函数的图象与直线交于点． (1)求，的值； (2)写出二次函数的解析式，并指出取何值时随的增大而增大． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】（1）根据直线的图象过点可求得的值，根据二次函数的图象过点，可求得的值． （2）根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 【详解】（1）直线的图象过点，可得 ． 可得 ． 二次函数的图象过点，可得 ． 可得 ． （2）二次函数的解析式为． 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以，当，随的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 【作业15】．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴． 【作业16】．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线经过点． (1)求这个二次函数的关系式； (2)为何值时，的值随着的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】（1）利用待定系数法，把点代入即可得出答案； （2）根据函数的解析式确定开口方向和对称轴，即可求出答案． 【详解】（1）把点代入中得： 这个二次函数的关系式为； （2） 抛物线开口向下，对称轴为轴 时，的值随着的增大而增大． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业17】．（25-26九年级上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1)是二次函数 (2)不是二次函数 (3)是二次函数 (4)不是二次函数 (5)是二次函数 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：是二次函数，符合题意； （2）解：不是二次函数，不符合题意； （3）解：是二次函数，符合题意； （4）解：不是二次函数，不符合题意； （5）解：是二次函数，符合题意． 【作业18】．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $