黑龙江省黑河市北安市九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.2二次函数图象的性质）

九年级数学二次函数图象的性质课时作业设计 设计说明：本作业设计严格依据新课标育人要求与人教版教材编排体系，立足九年级学生认知规律，采用分层梯度化设计模式，构建“基础巩固—拓展提升—探究创新”三级作业体系，聚焦二次函数图象核心性质重难点突破，兼顾知识夯实、能力提升与素养落地，适配课后巩固、能力拔高、思维拓展的多元化教学需求，整体设计逻辑闭环、分层清晰、素养导向明确。 1、 作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 二次函数图象的性质课时分层作业设计 学段学科 初中数学 适用年级 九年级 教材版本 人教版九年级上册 对应内容 第二十六章 二次函数 二次函数图象的性质专项课时 作业类型 课后分层巩固拓展作业 完成时长 总时长40分钟 设计者 贾春奎 2、 设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业聚焦初中数学核心素养，重点落地数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大素养。对应学段学业质量标准明确要求：学生能够依托二次函数图象直观表征，精准建立图象特征与系数、判别式的关联模型，熟练掌握二次函数对称轴、单调性、最值等核心性质；能够运用数形结合思想完成图象信息与代数推理的转化，具备规范、严谨的数学论证能力，可独立解决函数综合辨析类问题。 教材地位：二次函数是初中函数知识体系的收官核心内容，承接一次函数、反比例函数的学习基础，整合整式运算、方程求解、几何直观等多重知识模块，是初中代数知识的综合升华。本节课《二次函数图象的性质》是二次函数章节的核心重难点课时，聚焦图象与系数的对应关系、对称轴几何意义、函数增减性规律、图象交点特征等核心内容，承载数形结合、转化与化归、建模推理等核心数学思想，既是对前期函数知识的深化拓展，也是衔接高中函数深度学习的关键铺垫，在初中数学知识体系中具有承上启下的核心价值。 教学重难点：本次作业精准贴合课堂教学重难点，核心重点为二次函数系数a、b、c及判别式与抛物线图象特征的对应关系，对称轴、函数增减性的基础应用；核心难点为多条件约束下的函数结论综合辨析、图象几何特征向代数关系的精准转化，旨在突破学生重公式记忆、轻图象分析，重结果判断、轻逻辑推理的思维短板。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 九年级学生已系统掌握二次函数的定义、三种解析式形式，初步认知抛物线开口、顶点、对称轴等基础几何特征；具备一次函数、反比例函数的图象分析经验，熟练掌握基础代数运算、等式变形、一元二次方程求解等技能，初步形成数形结合的解题思维，为本课时性质探究与综合应用奠定了知识与能力基础。 现有困惑 学生普遍存在知识碎片化问题，无法系统建立二次函数系数与图象特征的关联逻辑，易混淆对称轴两侧函数增减规律；在多结论辨析题型中，缺乏有序推理思维，容易遗漏约束条件、主观误判结论；难以灵活完成“几何图象特征—代数数量关系”的双向转化，面对综合性、开放性推理问题时，论证逻辑不严谨、思维体系不完整。 差异分析 班级学生学业层次差异化显著：基础薄弱型学生仅能完成单一知识点的基础判断，无法适配综合题型；中等层次学生可熟练解决常规基础、简单拓展题型，但复杂多结论推理、多条件综合应用易错频发；学优生基础知识扎实、推理能力较强，亟需开放性、探究性、创新性任务拔高思维层级。本次作业采用分层设计，精准适配各层级学生的个性化发展需求。 3. 设计意图 本次作业以新课标素养育人理念为核心，立足学情差异化特征与课时重难点，构建梯度化、层级化、素养化的作业体系。通过基础题型夯实核心知识点，筑牢学生知识根基；通过拓展题型突破教学难点，锤炼学生数形结合与逻辑推理能力；通过开放性探究题型激活学生创新思维，培养自主探究、命题论证、合作互评的综合能力。整体设计摒弃机械刷题模式，以“分层提质、以练促思、以思育素”为核心目标，有效弥补课堂教学的针对性短板，落实因材施教的教学理念，实现知识掌握、能力提升、素养培育的三维育人目标。 3、 作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 精准识记并理解二次函数开口方向、对称轴、判别式与系数a、b、c的内在关联，能够精准辨别抛物线各类基础图象特征，构建系统的知识认知体系 数学抽象、直观想象 基础题型正确率、核心概念辨析准确度、知识体系完整性 能力运用 B 熟练运用数形结合核心方法，依托二次函数图象特征，精准分析函数单调性、函数值大小关系，规范完成多结论辨析类综合题型的求解与论证 数学运算、直观想象 解题方法适配性、推理过程完整性、综合结论准确率 思维发展 C 通过探究性任务，归纳总结二次函数图象性质的通用推理方法，具备自主发现、严谨论证函数相关结论的能力，培育批判性思维与创新探究思维 逻辑推理、数学建模 情感态度 D 深度感知数形结合数学思想的应用价值，养成严谨规范、求真务实的数学解题习惯，在合作互评、讲题探究中培育协作意识与探究精神，增强数学学习的自信心与主动性 数学文化、科学态度 作业完成规范性、探究任务参与度、合作互评积极性、自我反思主动性 4、 作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题（基础层） 依托二次函数图象，判断系数a、b、c及判别式的符号特征 A、B 聚焦基础核心知识点，考查学生对图象与系数对应关系的掌握程度，夯实数形结合基础认知，适配学困生知识巩固需求 答案：B；评价要点：可精准通过开口方向、对称轴位置、图象交点判定参数符号，无概念性认知错误 2 选择题（基础层） 结合抛物线对称轴、图象特征，综合辨析多项函数结论的正误 A、B、C 递进式考查知识点融合应用，训练学生多条件整合推理能力，初步培养有序逻辑推理思维，衔接基础与综合应用 答案：B；评价要点：可结合对称轴、特殊点函数值、顶点性质完成逐项推理，推理逻辑清晰、依据充分 3-4 填空题（基础层） 依托抛物线静态图象、函数对应值表格两种载体，辨析多项函数结论 A、B 丰富函数信息呈现形式，拓宽学生解题视角，强化学生对图象、表格两类函数载体的解读能力，巩固核心性质 3题答案：②④；4题答案：①③；评价要点：熟练掌握双载体函数解读方法，结论判断精准，无细节疏漏 5-8 填空题（拓展层） 结合定点坐标、对称轴、图象区间等多条件，完成复杂多结论综合辨析 B、C 聚焦课时教学难点，强化多条件整合应用能力，锤炼学生严谨的逻辑推理素养，规避高频易错考点，适配中等及以上学生能力提升需求 5题：①③④；6题：②④；7题：②③；8题：①②④；评价要点：可整合多重约束条件完成推理，精准规避易错点，论证逻辑严谨 9 填空题（探究层） 辨析多项函数结论并统计正确数量，自主创编函数结论并完成互评证明 C、D 设置开放性探究任务，突破传统刷题模式，激活学生创新思维，培养自主命题、严谨论证、合作讲解的综合素养，适配学优生拔高需求 答案：4；评价要点：结论辨析精准，自主创编结论科学合理，证明过程逻辑严谨，积极参与互评交流 5、 作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题型作答全部正确，二次函数图象与系数、判别式的核心概念掌握精准，知识体系完整，无概念混淆与认知偏差 基础题型仅存在少量细节失误，核心概念认知清晰，无原则性、体系性认知错误 基础题型错误较多，核心概念模糊，无法建立图象与系数的对应关系，存在明显认知误区 20% 能力运用 拓展题型解题方法适配精准，数形结合思路清晰完整，推理步骤规范严谨，论证依据充分 拓展题型解题方法基本正确，推理过程存在少量细节疏漏，不影响最终结论判定 解题方法选用不当，推理过程缺失严重，无法依托已知条件推导正确结论 30% 思维发展 结论辨析观点明确、逻辑闭环，自主创编结论具备合理性与创新性，推理论证严谨规范，思维层级较高 可正确辨析大部分结论，论证表达清晰通顺，但思维深度与创新性不足 结论判断逻辑混乱，缺乏有效推理依据，无法独立完成开放性探究任务 30% 情感态度 主动规范完成全部作业，书写工整、作答严谨，积极参与探究互评与讲题交流，具备主动反思、自主提升的学习意识 学习态度端正，按时保质完成全部作业，可主动参与小组合作与互评活动 学习态度消极懈怠，作业完成质量差、完整性不足，拒绝参与合作探究与交流展示活动 20% 6、 试题详情 基础题： 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b＞0，b2﹣4ac＞0 C．a＜0，b＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b＜0，b2﹣4ac＞0 2．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的是（　　） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④ 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是 _______ ．（填序号） ①a＞0； ②c＞0； ③b2﹣4ac＜0； ④9a+3b+c＝0． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 则下列结论：①该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1）；②ab＞0；③a﹣b+c＞0；④若点（﹣2，y1），点（4，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤当y＝3时，方程有两个相等的实数根．其中所有正确结论的序号为 _______ ． 拓展题：5．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＞0；④a+c＝1； 其中正确的结论的序号是 ________ 6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是_______ ． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）；④若B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的结论是 _______ .（填写代表正确结论的序号） 8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，n），且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论：①a+b+c＜0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+（b）x+c0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝2；④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b≤0恒成立．则上述说法正确的是 ________ ．（填序号） 探究题：9．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为_____ 个． 根据二次函数图象，自主创编若干正确结论，交由同学完成推理证明。评分规则：同伴证明正确，创编者得5分；同伴证明错误或无法证明，创编者自行规范证明得5分，能够完整讲解解题思路与知识点，额外加10分。 7、 答案与解析 1．【解答】解：观察图象可知开口向下，a＜0， 对称轴为y轴右侧，故， 即b＞0， 图象与x轴有两个不同交点，即b2﹣4ac＞0， 故A、C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 2．【解答】解：①∵抛物线图象开口向上， ∴a＞0， 由图象可知a，b同号，b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①正确． ②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b）， 由图象可得当x＝2时，y＞0，即4a+c+2b＞0， 由图象可得x＝﹣2时，y＜0，即4a+c﹣2b＜0， ∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故②正确． ③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|， ∵|x1+1|＞|x2+1|， ∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③错误． ④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m）， ∴y≥m， ∴ax2+bx+c≥m， ∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 3．【解答】解：由图象可知，a＜0，①错误，故不符合要求； 当x＝0时，y＝c＞0，②正确，故符合要求； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＞0，③错误，故不符合要求； 将（3，0）代入得，9a+3b+c＝0，④正确，故符合要求； 故答案为：②④． 4．【解答】解：∵图象经过（0，0），（2，0）， ∴图象对称轴为直线x1， 由表格可得，x＞1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线图象开口向上， ∴a＞0，b＜0，c＝0， ∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），ab＜0， ∴①正确，②不正确． ∵图象经过点（﹣1，3）， ∴a﹣b+c＝3＞0， ∴③正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，1﹣（﹣2）＝4﹣1， ∴y1＝y2， ∴④不正确． ∵图象开口向上，y最小值小于﹣1， ∴抛物线与直线y＝3有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根． ∴⑤不正确． 故答案为：①③． 5．【解答】解：①∵点（1，0）在二次函数图象上， ∴a+b+c＝0，结论①正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，0，c＜0， ∴b＜0， ∴abc＞0，结论②错误； ③∵1，a＞0， ∴2a＞﹣b， ∴2a+b＞0，结论③正确； ④∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）和（1，0）， ∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝0， ∴a+c＝1，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 6．【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，1，c＞0， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，结论①错误； ②抛物线对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，结论②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时y＞0， ∴当x＝2时y＞0， ∴4a+2b+c＞0，结论③错误； ④1﹣（），1， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，，抛物线开口向下， ∴y1＜y2，结论④正确． 综上所述：正确的结论有②④． 故答案为②④． 7．【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为的横坐标为2×（﹣1）﹣（﹣3）＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），所以③正确； ∵B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近， ∴y1＜y2，故④错误． ∴②③正确， 故答案为：②③． 8．【解答】解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣1，n）， 所以其对称轴为直线x＝﹣1． 又抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， 所以与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间． 则当x＝1时，函数值小于0， 即a+b+c＜0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， 所以，即2a﹣b＝0． 故②正确． 一元二次方程的根可转化成函数y＝ax2+bx+c和y图象交点的横坐标， 又直线y经过点（1，0）和（﹣1，n）， 且抛物线的顶点坐标为（﹣1，n），抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间， 所以x1＝﹣1，0＜x2＜1． 所以|x1﹣x2|＜2． 故③错误． 因为x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c， 所以当x＝m时， am2+bm+c≤a﹣b+c． 即a（m2﹣1）+（m+1）b≤0． 故④正确． 故答案为：①②④． 9．【解答】解：观察图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故①正确； ∵对称轴为直线x＝1，图象未经过（﹣1，0），则图象必不经过（3，0）， ∴4a+2b+c＜0，故③错误； ∵， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＞0，即a+2a+c＝3a+c＞0，故④正确； 图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确； ∵对称轴为直线x＝1，开口向上， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑥错误； 当x＝1时，y＝a+b+c≤am2+bm+c（m为任意实数）， 整理可得a+b≤m（am+b），故⑤正确； 综上，正确的序号有：①②④⑤． 故答案为：4． 例：（4a+c）2＜（2b）2； （4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b）， 由图象可得当x＝2时，y＜0，即4a+c+2b＜0， 由图象可得x＝﹣2时，y＞0，即4a+c﹣2b＞0， ∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故正确． 学科网（北京）股份有限公司 $