专题03二次函数的概念、y=ax2及y=a(x−h)2+k的图象和性质（暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学九年级上册.

专题03二次函数的概念、y=a及y=a+k 的图象和性质 暑假预习讲义 ✺知识框架 板块1 二次函数概念：实例变量关系→二次函数定义、判定条件→特殊解析式形式→自变量取值范围 板块2 二次函数图象与性质：①基础模型y=ax2图象与性质→②平移模型y=a(x-h)2+k参数意义、图象性质→③图象平移规律→④性质应用（比较函数值、判断增减与最值） ✅本节小结：本节包含二次函数概念和二次函数图象与性质两大核心内容。先掌握二次函数的定义、判定规则与基础解析式形式，筑牢概念根基；再从基础函数y=ax2入手，掌握抛物线的开口、对称轴、顶点、增减性及最值，进而学习顶点式y=a(x-h)2+k的图象性质、参数意义与平移规律。 ✺学习目标 基础知识：1.掌握二次函数的定义、判定条件与解析式形式，能准确判别二次函数 2.熟练掌握y=a的图象特征、开口、对称轴、顶点、增减性与最值 3.掌握顶点式y=a(x-h)2+k的图象性质，理解a、h、k参数几何意义 4.掌握抛物线平移规律，能实现两种解析式的转化与简单应用 能力提升：1.能依据解析式快速判断二次函数图象特征、增减性、最值 2.熟练运用平移规律求解平移前后函数解析式。 3.能利用二次函数性质比较函数值大小、判断取值范围，规避常见易错点 综合素养：依托“概念—图象—性质—应用”的学习逻辑，熟练运用数形结合、分类讨论、转化思想，提升函数直观想象、逻辑推理与数学应用素养，夯实二次函数学习基础。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=a的图象和性质 题型5.y=a+k的图象和性质 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型8.二次函数图象的平移 题型9.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，X是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.关键限定条件（1）自变量x的最高次数是2； （2）二次项系数 a≠0（b、c可以为0）； （3）解析式是关于x的整式。 3.特殊形式：当b=0、c=0时，二次函数最简形式：y=ax2； 顶点式形式：y=a(x-h)2+k。 4.自变量取值范围 一般情况下，二次函数自变量x的取值范围是全体实数。 知识点二、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点三、y=a+k的图象性质 知识点四、y=a的图象性质 知识点五、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 通用特征：图象仍是抛物线，形状、开口大小与y=a完全相同，仅位置发生平移变化。 知识点六、二次函数图象平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 1.左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2. 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 易错提醒：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 ✺题型◆精讲 题型1.列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 3．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 3．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 3．若（为常数）是二次函数，求的值． 题型4.y=a的图象和性质 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A．B． C． D． 2．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 3．画出下列函数的图象： (1)； (2) 题型5.y=a+k的图象和性质 1．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是__________． 3．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 3．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A．B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标为________． 3．试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 题型8.二次函数图象的平移 1．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 2．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______． 3．试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 7．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 8．函数是关于的二次函数，则______． 三、解答题 9．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 10．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 11．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的概念、y=a及y=a+k 的图象和性质 暑假预习讲义 ✺知识框架 板块1 二次函数概念：实例变量关系→二次函数定义、判定条件→特殊解析式形式→自变量取值范围 板块2 二次函数图象与性质：①基础模型y=ax2图象与性质→②平移模型y=a(x-h)2+k参数意义、图象性质→③图象平移规律→④性质应用（比较函数值、判断增减与最值） ✅本节小结：本节包含二次函数概念和二次函数图象与性质两大核心内容。先掌握二次函数的定义、判定规则与基础解析式形式，筑牢概念根基；再从基础函数y=ax2入手，掌握抛物线的开口、对称轴、顶点、增减性及最值，进而学习顶点式y=a(x-h)2+k的图象性质、参数意义与平移规律。 ✺学习目标 基础知识：1.掌握二次函数的定义、判定条件与解析式形式，能准确判别二次函数 2.熟练掌握y=a的图象特征、开口、对称轴、顶点、增减性与最值 3.掌握顶点式y=a(x-h)2+k的图象性质，理解a、h、k参数几何意义 4.掌握抛物线平移规律，能实现两种解析式的转化与简单应用 能力提升：1.能依据解析式快速判断二次函数图象特征、增减性、最值 2.熟练运用平移规律求解平移前后函数解析式。 3.能利用二次函数性质比较函数值大小、判断取值范围，规避常见易错点 综合素养：依托“概念—图象—性质—应用”的学习逻辑，熟练运用数形结合、分类讨论、转化思想，提升函数直观想象、逻辑推理与数学应用素养，夯实二次函数学习基础。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=a的图象和性质 题型5.y=a+k的图象和性质 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型8.二次函数图象的平移 题型9.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，X是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.关键限定条件（1）自变量x的最高次数是2； （2）二次项系数 a≠0（b、c可以为0）； （3）解析式是关于x的整式。 3.特殊形式：当b=0、c=0时，二次函数最简形式：y=ax2； 顶点式形式：y=a(x-h)2+k（可直接读出顶点坐标）。 4.自变量取值范围 一般情况下，二次函数自变量x的取值范围是全体实数。 知识点二、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点三、y=a+k的图象性质 知识点四、y=a的图象性质 知识点五、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 通用特征：图象仍是抛物线，形状、开口大小与y=a完全相同，仅位置发生平移变化。 知识点六、二次函数图象平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 1.左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2. 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 易错提醒：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 ✺题型◆精讲 题型1.列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 3．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 2．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 3．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】①②③为二次函数，不是二次函数的有：④⑤；各对应项的系数及常数项见解析 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 3．若（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出关于a的不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， 解得：， 则a的值为． 题型4.y=a的图象和性质 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 2．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 3．画出下列函数的图象： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 27 12 3 0 3 12 27 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． 题型5.y=a+k的图象和性质 1．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知抛物线的性质是解题关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 3．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 2．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 3．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 2．二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数符合顶点式的形式， ∴二次函数的顶点坐标为． 3．试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 解：对于二次函数， 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下； 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口向上 直线 开口向下 【详解】略 题型8.二次函数图象的平移 1．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 2．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______． 【答案】 【分析】根据函数图象平移的性质求解． 【详解】解：根据题意得，函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位， ． 3．试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 【答案】 抛物线由抛物线向左平移3个单位长度得到，抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到． 【分析】抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 4．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 5．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 二、填空题 6．抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 【答案】 向上 随的增大而增大 最小 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 由抛物线解析式可求得开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合函数的增减性可求得答案． 【详解】 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，有最小值， 故答案为：向上；；；随的增大而增大；最小；． 7．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 8．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 三、解答题 9．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 10．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 11．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $