第5讲· 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 ·培优讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第5讲·二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握y=a(x-h)2+k的顶点、对称轴与最值，能由顶点式直接读出图象特征 · 掌握二次函数图象的平移规律，能写出平移后的解析式 · 能利用增减性与对称轴比较函数值的大小 · 会用顶点式、一般式等求二次函数解析式 · 能综合运用图象与性质判断结论、解决综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.顶点式y=a(x-h)²+k的图象与性质 顶点式y=a(x-h)2+k的顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h a>0开口向上，有最小值k；a<0开口向下，有最大值k 抛物线y=a(x-h)2+k可由y=ax2平移得到：先向右（左）平移|h|个单位，再向上（下）平移|k|个单位 |a|决定开口大小：|a|越大开口越小，形状与y=ax2相同（a相等时） 概念辨析例题：抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标和对称轴分别是（　　） 答案：(2,3)，直线x=2 解析：顶点式y=a(x-h)2+k中，h=2、k=3，顶点为(h,k)=(2,3)，对称轴为x=h即x=2。 ☆ 2.二次函数图象的平移 平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体） y=a(x-h)2+k向左平移m个单位：y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位：y=a(x-h-m)2+k 向上平移n个单位：y=a(x-h)2+k+n；向下平移n个单位：y=a(x-h)2+k-n 平移不改变a，即开口方向、开口大小不变 概念辨析例题：把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） 答案：y=2(x-3)2+1 解析：右移3个单位：y=2(x-3)2（左加右减，x换成x-3）；再上移1个单位：y=2(x-3)2+1（上加下减）。 ☆ 3.增减性与函数值大小比较 a>0时，x<h随x增大而减小，x>h随x增大而增大（左减右增） a<0时，x<h随x增大而增大，x>h随x增大而减小（左增右减） 比较函数值大小：先看对称轴，点离对称轴越远，a>0时函数值越大、a<0时函数值越小 点在对称轴同侧直接利用增减性比较；异侧比较|横坐标-h|的大小 概念辨析例题：点(-2,y1)、(1,y2)在抛物线y=(x-1)2+2上，则y1与y2的大小关系是（　　） 答案：y1>y2 解析：对称轴x=1，a=1>0开口向上。(-2,y1)到对称轴距离3，(1,y2)到对称轴距离0，距离越远函数值越大，故y1>y2。 ☆ 4.求二次函数解析式 已知顶点(h,k)设顶点式y=a(x-h)2+k，代一个点求a 已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 已知一般三点设一般式y=ax2+bx+c，解三元一次方程组 由平移、形状相同确定a，再代点求参数 概念辨析例题：顶点为(1,-2)且过点(2,0)的抛物线的解析式为（　　） 答案：y=2(x-1)2-2 解析：设y=a(x-1)2-2，代入(2,0)：0=a(2-1)2-2=a-2，a=2，故y=2(x-1)2-2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 顶点式 y=a(x-h)2+k 顶点(h,k)，对称轴x=h 开口方向 a>0向上；a<0向下 |a|越大开口越小 平移规律 左加右减、上加下减 平移不改变a 增减性 a>0左减右增 以对称轴x=h为界 比较函数值 比到对称轴距离 同侧用增减性 求解析式 顶点式/交点式/一般式 按已知条件选形式 ⚠️ 核心考点 【考点1】顶点坐标与最值（第1-5题） · 顶点式直接读顶点(h,k)、对称轴x=h、最值k · 一般式配方法化顶点式，或套公式x=- · 注意最值是y值，开口向上取最小、向下取最大 1．（24-25九年级下·广东珠海·开学考试）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：B． 2．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】考查了二次函数的性质，因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数最值． 【详解】解：∵二次函数是顶点式，， ∴顶点坐标为，函数的最大值为1， 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记顶点式的顶点坐标是解题关键.；根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线 可化为 ， ∴ 顶点坐标为， 故选A． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次函数的最小值是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．由二次函数解析式求出顶点式，根据顶点式即可得出答案． 【详解】， ， 二次函数开口向上，函数有最小值， 当时，函数y的最小值为， 即答案为：． 5．（24-25九年级上·天津·期中）抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点．熟练掌握的顶点坐标为是解题的关键． 根据的顶点坐标为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，顶点坐标为， 故答案为：． 【考点2】图象的平移（第6-15题） · 左加右减对x、上加下减对整体，方向相反记清 · 平移前后a不变，先写平移后的顶点再写解析式 · 由平移后过某点求参数：写出平移式后代点解方程 6．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）将函数的图象向右平移4个单位所得新的函数图象的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减． 【详解】解：函数的图象向右平移4个单位所得新的函数， ∴对称轴为y轴， 故选A． 7．（24-25九年级上·湖南常德·期末）把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题考查了二次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为， 故选：C 8．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位长度，得到， 再向右平移3个单位长度，得到， 故选：B． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到新的图象的二次函数解析式是__________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题关键是明确函数平移变化规律，准确解答．根据“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，得到的二次函数解析式为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·福建莆田·期中）函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，先确定物线的顶点坐标为，再把点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：函数的顶点坐标为，向右平移1个单位，再向下平移2个单位顶点坐标为，所以平移后的抛物线解析式为． 12．（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是_____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于、的方程，再变形目标代数式求值． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度后，解析式为． 该抛物线经过点，代入得： 则，代入得： 故答案为：． 13．（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、二次函数图象的平移、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象的平移，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”． 由平移的规律可求得平移后的二次函数解析式，代入点直接求得答案． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度后的抛物线的函数解析式为， 将点代入得， 解得． 【考点3】增减性与函数值大小比较（第16-22题） · 开口向上：离对称轴越远值越大；开口向下：越远值越小 · 同侧点直接用增减性，异侧点比较|横坐标-h| · 画出草图辅助判断更直观 16．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数经过点，，若 ，则下列说法正确的为（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键：开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越小；开口向下，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越大，即可得到的取值范围．本题运用了分类讨论的思想． 【详解】解：当时 开口向上， ∵二次函数经过点，，且 ， ∴， ∴，故选项B符合题意，选项C不符合题意； 当时 开口向下， ∵二次函数经过点，，且 ， ∴， ∴，故选项A不符合题意，选项D不符合题意； 故选：B． 17．（23-24九年级上·北京东城·期中）若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性求解．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为， 点，，三点在抛物线的图象上， 点关于对称轴的对称点在抛物线的图象上， ， ． 故选：A． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握当开口向下时、离对称轴越近的点、函数值越大成为解题的关键． 根据抛物线确定开口方向及对称轴，判断各点离对称轴的距离，然后结合二次函数的增减性即可确定函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线．当开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大． ∵点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为． ∴， ∴． 故选B． 19．（23-24九年级上·福建南平·阶段检测）已知，当时，函数值y随x的增大而_______． 【答案】减小 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 20．（24-25九年级上·广西钦州·期中）若二次函数的图象过点，，则，的大小关系是________．（用“”符号连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可判断函数图象开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性比较大小即可．对于二次函数（、、为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点是， ∵， ∴，的大小关系是：． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；通过计算各点到抛物线对称轴的距离，结合抛物线开口向上的性质，距离对称轴越远函数值越大，从而比较大小． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上， ∴点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ． ∵抛物线开口向上，函数值随点到对称轴距离的增大而增大， ∴ ． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·广东珠海·期末）若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 【答案】/ 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 求出，，，进而比较即可． 【详解】解：对于点，； 对于点，； 对于点，； 故，，， 因此． 故答案为：． 【考点4】求二次函数解析式（第23-28题） · 已知顶点设顶点式，已知交点设交点式，已知三点设一般式 · 形状相同（a相等）先确定a，再代点求参数 · 开放题（写一个符合条件的解析式）按条件构造即可 23．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 24．（22-23九年级下·河南新乡·阶段检测）请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：当时，随着的增大而增大；该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点．你写出的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，根据当时，随着的增大而增大可知顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，再由该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点可知抛物线与轴的交点为，据此可得出结论，掌握二次函数的性质和平移是解题的关键． 【详解】解：∵当时，随着的增大而增大， ∴抛物线的顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上， ∵二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点， ∴抛物线与轴的交点为， ∴符合条件的二次函数解析式可以为， 故答案为：(答案不唯一)． 25．（23-24九年级上·青海海东·期中）某二次函数图像的顶点为，且它与轴交点的纵坐标为5，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解二次函数的解析式，根据顶点坐标设该二次函数解析式为，代入，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图像的顶点为， ∴设该二次函数解析式为， 代入二次函数与轴的交点坐标， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为． 26．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标； (2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）将代入中即可求出； （2）先求得平移后的函数解析式，继而待定系数法求出本题答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为； （2）解：根据题意，得平移后的抛物线解析式为：， 将代入得， ，， ． ． 27．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4． (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在这个二次函数的图象上吗？ 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)点不在这个二次函数的图象上 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意设顶点式． （1）设抛物线的顶点式，将点代入上式即可求解； （2）将自变量代入求出函数值即可作出判断． 【详解】（1）解：抛物线的顶点是， 设此抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，， 此抛物线的解析式为： （2）解：点不在这个二次函数的图象上，理由如下： 把代入得，， 点不在这个二次函数的图像上． 28．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： （1）该抛物线可由抛物线向_____平移_____个单位得到； （2）当时，y随x的增大而_____； （3）当x_____时，； （4）当时，y的取值范围是_____ 【答案】 函数图象如图， （1）向下，1；（2）增大；（3）；（4） 【知识点】从函数的图象获取信息、二次函数图象的平移、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质； （1）先利用描点法画二次函数的图象，再结合平移规律可得答案； （2）由二次函数的图象结合增减性可得答案； （3）由二次函数的图象与轴的交点坐标可得答案； （4）结合二次函数的图象与可得答案． 【详解】解：列表如下： 0 1 2 0 0 3 （1）该抛物线可由抛物线向下平移1个单位得到， 故答案为：向下，1； （2）当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）∵， 解得：， ∴当时，， 故答案为：； （4）由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【考点5】函数图象与性质综合判断（第29-36题） · 逐条验证：顶点、对称轴、增减、最值、过定点等 · 新定义题按定义翻译成图象性质再判断 · 多结论判断用特殊值+图象验证，排除法 29．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的平移，以及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据题意得到顶点坐标为，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，顶点坐标为， 故平移后二次函数的解析式为． 故选C． 30．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 31．（2026·天津宁河·二模）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 32．（23-24九年级上·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可． 【详解】解：对于 ， 顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为，， 对于 ，顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为， 如图， 观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误； ②函数图象上纵坐标为0的点有点，共3个，结论②正确； ③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点或且平行于轴两条直线与图象的交点，此时或，结论③正确； ④点，是该函数图象上的两个点，由图象知，当时，则的最大距离即，结论④正确． 故答案为：②③④． 34．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得到，交x轴于点；将绕点旋转得到，交x轴于点……如此进行下去，直至得到，若在第22段抛物线上，则_______． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值． 【详解】解：∵ ∴图象与轴交点坐标为：，， ∴， ∵将绕点旋转得，交轴于点； ∴，同理可得， ， ∴，，，， ∴第段抛物线解析式为， 则当时，，解得：，， ∵第段抛物线可以看作第向右平移个单位， ∴，向右平移个单位可得， ∴，， ∴的值为或． 故答案为：或． 35．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行___________秒才能停下来，滑行的最大距离为___________米． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数的应用． 将函数解析式配方成顶点式求出S取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，S取得最大值， 即无人机着陆后滑行16秒才能停下来，滑行的最大距离为米． 故答案为：16， 36．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________． 【答案】36 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据方程有两个实数根确定t的取值范围，再利用根与系数的关系得到和的表达式，将所求式子整理为关于t的二次函数，最后根据二次函数性质求最小值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，化简得， 解得， ∵，是该一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， 展开整理得：， 将，代入得：， ∵二次函数开口向上，对称轴为，且， ∴当时，取得最小值， 将代入得最小值为． 【考点6】二次函数综合解答（第37-45题） · 先求解析式（顶点式或一般式），再按要求求值、判断 · 与直线交点：联立方程组求解 · 综合题按步骤书写，注意数形结合 37．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】(1) 解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： (2) 解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）略 （2）略 38．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题：    (1)抛物线的顶点坐标是________； (2)求抛物线线中b，c的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】点坐标规律探索、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解． （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 【详解】（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，… ∴抛物线的顶点横坐标是， 代入，则， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． （2），当时，抛物线的顶点坐标是， 由顶点式得： ，展开得． ∴，． 【点睛】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 39．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段检测）对抛物线 ，定义：点 叫做该抛物线的焦点，直线 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线：的图象与轴交于，两点，且过点， (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线的图象． ①抛物线的解析式为___________ ②设为抛物线上任意一点，轴于点，求的最小值； 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）把点代入，待定系数法求解析式，令，解方程，即可求得点的坐标； （2）①根据二次函数的平移规律，得出解析式即可求解； ②设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，由抛物线焦点和准线的性质可得，可知，又，故当点与点重合时，的值最小，由勾股定理可得的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 在中，令得或， ； （2）①解：根据题意，抛物线解析式为 故答案为：． ② ， 抛物线的焦点为，，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，如图： 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， ， ； ， 当点与点重合时，的值最小， 此时的值最小． ，，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义等知识，解题的关键是读懂新定义，能熟练应用抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等解决问题． 40．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 【答案】12 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、坐标与图形、三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数的性质确定、，即，再根据三角形面积公式即可． 【详解】解：如图：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为，当时，，即该抛物线交轴于点， ∴， ∴的面积． 41．（2024·广东潮州·一模）如图所示，直线与抛物线交于点和，点在第三象限． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)抛物线与轴另一交点为A，直线交抛物线对称轴于点，求的面积． 【答案】(1)抛物线的表达式为，线的表达式为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质等知识点，解题的关键是找到对应点的坐标，然后运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． （1）把点的坐标代入抛物线方程，即可求得抛物线的解析式；把代入确定点D的坐标，然后在运用待定系数法求解即可； （2）把代入求得点A的坐标，然后再根据抛物线的性质求得点E的坐标，最后根据及三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得，解得． 抛物线的表达式为． 把代入，得，解得． 点在第三象限， ． 把代入，得，解得 直线的表达式为． （2）解：把代入，得，解得， ． 抛物线的对称轴是直线， 把代入，得． ． ． 42．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使及的一段所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)直线，的最大值为4 (2)；点到对称轴的距离为1 (3)移动的最短路程为 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）将二次函数变形为即可求解； （2）将代入解析式可得a的值，结合对称轴的位置可得点到对称轴的距离； （3）根据平移前后解析式求出顶点间距离，即为移动的最短路程． 【详解】（1）解： ， 当时，y取最大值4， 抛物线的对称轴为直线，的最大值为4； （2）解：将代入，得：， 解得或， 对称轴为直线，在抛物线的对称轴右侧， ，点到对称轴的距离为：； （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后所得抛物线的解析式， 抛物线的顶点坐标为， 平移前后两顶点间直线距离为：， 移动的最短路程为． 43．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知抛物线． (1)若点， 都在该抛物线上，试比较与的大小 (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）根据二次函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，从而得出当时，随的增大而增大，再结合题意即可得解； （2）由二次函数解析式得出当时，有最大值，为，再分别求出当，时的的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵点，都在该抛物线上，且， ∴； （2）解：∵抛物线， ∴当时，有最大值，为， 当时，， 当时，， ∴当时，． 44．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，．二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点E． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数y的最大值等于4，则m的取值范围为________; ②连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则n的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解； （2）①根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合对称轴及y的最大值求解；②结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点A，B时n的值，进而求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为； （2）解：①∵抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为4，对称轴为直线． 当时，函数y的最大值等于4， 则， 解得：； 故答案为：； ②二次函数的图象向上平移个单位的解析式为， 抛物线顶点坐标为， 如图1，当顶点落在线段上时，， 解得：； 如图2，当抛物线向上移动，经过点时，， 解得：； 如图3，当抛物线经过点时，， 解得：； 综上所述，当或时，函数图象与线段有一个公共点， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律． 45．（2025·河北唐山·三模）如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． (1)求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． (3)在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 【答案】(1) 证明：在中，， ∴抛物线与x轴一定有两个交点； 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，， ∵， ∴这两个交点分别在原点的两侧； (2)①；② (3)①；②或 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系即可证得结论； （2）①利用待定系数法求得抛物线的表达式，运用配方法求得顶点坐标即可；②利用二次函数的性质即可求得答案； （3）①根据抛物线的平移规律即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵与y轴交于点， ∴点D关于直线的对称点为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1， ∴结合图象得，． （3）解：①由（2）知：抛物线的表达式为，顶点为， 又∵抛物线的表达式为，顶点为， ∴抛物线是由抛物线L1向右平移2个单位向上平移2个单位得到的， ∴， ∴k的最小值为； ②在中，令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵直线，且直线l经过点C， ∴直线l的表达式为， 设直线l与抛物线的对称轴交于点K， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， 当时，若点P在直线上，则， ∴， 解得： （舍去），， 此时，点Q在点K的上方， ∴； 当时，如图，点N的纵坐标， ∴点Q在点K的上方，四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图，设直线l与交于点L，则， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：（舍去），， 综上，点M的横坐标m的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移，矩形性质等，运用数形结合，分类讨论是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 顶点式y=a(x-h)2+k直接读顶点(h,k)、对称轴x=h · 平移口诀：左加右减对x、上加下减对整体，a不变 · 比较函数值：比点到对称轴距离，开口向上远者大 · 求解析式按已知条件选顶点式/交点式/一般式 · 综合题先求解析式，再数形结合逐问求解 【作业1】．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）要得到抛物线，需将抛物线（   ） A．先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度可得抛物线， 故选；B． 【作业2】．（23-24九年级上·福建莆田·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式即可得到答案，熟练掌握的顶点是是解题的关键 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：A 【作业3】．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小，掌握由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是解题的关键． 由二次函数，可得开口向上，对称轴为，易知、、三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断、、的大小． 【详解】解：二次函数， 二次函数开口向上，对称轴为， ，，三点在二次函数上，且， 、、的大小关系为， 故选：B． 【作业4】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最大值y=2 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向上，顶点为，对称轴为． ∵开口向上， ∴顶点为最低点，纵坐标为2，无最大值． ∴选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【作业5】．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列关于抛物线的说法，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性求解即可 【详解】解：∵抛物线解析式为，其中，， ∴抛物线开口向上，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． 顶点坐标为，故C错误． ∵，抛物线开口向上，对称轴为 ∴当时，随的增大而减小． 又∵包含在的范围内 ∴时，随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 【作业6】．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数性质．根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减少，根据和，得到． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 【作业7】．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的对称轴为直线__________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题考查顶点式抛物线解析式的性质，熟记解析式中各字母的意义是解题的关键． 根据顶点式函数解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 【作业8】．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 【作业9】．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且形状与函数的图象相同，开口向下，则该抛物线对应的函数解析式为___________ 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线解析式的几种表达形式并会灵活应用是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标设解析式，再根据图象相同，得到值相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为, ∵所求抛物线与的图象相同，开口向下， ∴， ∴ 所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 【作业10】．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）二次函数，当______时，随的增大而减小． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 【作业11】．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【作业13】．（23-24九年级上·广东湛江·期末）用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查的是二次函数一般式和顶点式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键． 利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解： 故二次函数对称轴为直线，顶点． 【作业14】．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）略 【作业15】．（23-24九年级上·山东济宁·阶段检测）对于函数，请回答下列问题： (1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ (2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 【答案】(1)由向左平移个单位，再向上平移个单位得到 (2)对称轴为直线，顶点为 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）化成顶点式，由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． （2）由二次函数的对称轴为直线，顶点，即可求解． 【详解】（1）解： ， 可以由向左平移个单位，再向上平移个单位得到． （2）解：由可得 对称轴为直线，顶点为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及平移规律，掌握性质及规律是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲·二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握y=a(x-h)2+k的顶点、对称轴与最值，能由顶点式直接读出图象特征 · 掌握二次函数图象的平移规律，能写出平移后的解析式 · 能利用增减性与对称轴比较函数值的大小 · 会用顶点式、一般式等求二次函数解析式 · 能综合运用图象与性质判断结论、解决综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.顶点式y=a(x-h)²+k的图象与性质 顶点式y=a(x-h)2+k的顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h a>0开口向上，有最小值k；a<0开口向下，有最大值k 抛物线y=a(x-h)2+k可由y=ax2平移得到：先向右（左）平移|h|个单位，再向上（下）平移|k|个单位 |a|决定开口大小：|a|越大开口越小，形状与y=ax2相同（a相等时） 概念辨析例题：抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标和对称轴分别是（　　） 答案：(2,3)，直线x=2 解析：顶点式y=a(x-h)2+k中，h=2、k=3，顶点为(h,k)=(2,3)，对称轴为x=h即x=2。 ☆ 2.二次函数图象的平移 平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体） y=a(x-h)2+k向左平移m个单位：y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位：y=a(x-h-m)2+k 向上平移n个单位：y=a(x-h)2+k+n；向下平移n个单位：y=a(x-h)2+k-n 平移不改变a，即开口方向、开口大小不变 概念辨析例题：把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） 答案：y=2(x-3)2+1 解析：右移3个单位：y=2(x-3)2（左加右减，x换成x-3）；再上移1个单位：y=2(x-3)2+1（上加下减）。 ☆ 3.增减性与函数值大小比较 a>0时，x<h随x增大而减小，x>h随x增大而增大（左减右增） a<0时，x<h随x增大而增大，x>h随x增大而减小（左增右减） 比较函数值大小：先看对称轴，点离对称轴越远，a>0时函数值越大、a<0时函数值越小 点在对称轴同侧直接利用增减性比较；异侧比较|横坐标-h|的大小 概念辨析例题：点(-2,y1)、(1,y2)在抛物线y=(x-1)2+2上，则y1与y2的大小关系是（　　） 答案：y1>y2 解析：对称轴x=1，a=1>0开口向上。(-2,y1)到对称轴距离3，(1,y2)到对称轴距离0，距离越远函数值越大，故y1>y2。 ☆ 4.求二次函数解析式 已知顶点(h,k)设顶点式y=a(x-h)2+k，代一个点求a 已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 已知一般三点设一般式y=ax2+bx+c，解三元一次方程组 由平移、形状相同确定a，再代点求参数 概念辨析例题：顶点为(1,-2)且过点(2,0)的抛物线的解析式为（　　） 答案：y=2(x-1)2-2 解析：设y=a(x-1)2-2，代入(2,0)：0=a(2-1)2-2=a-2，a=2，故y=2(x-1)2-2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 顶点式 y=a(x-h)2+k 顶点(h,k)，对称轴x=h 开口方向 a>0向上；a<0向下 |a|越大开口越小 平移规律 左加右减、上加下减 平移不改变a 增减性 a>0左减右增 以对称轴x=h为界 比较函数值 比到对称轴距离 同侧用增减性 求解析式 顶点式/交点式/一般式 按已知条件选形式 ⚠️ 核心考点 【考点1】顶点坐标与最值（第1-5题） · 顶点式直接读顶点(h,k)、对称轴x=h、最值k · 一般式配方法化顶点式，或套公式x=- · 注意最值是y值，开口向上取最小、向下取最大 1．（24-25九年级下·广东珠海·开学考试）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：B． 2．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】考查了二次函数的性质，因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数最值． 【详解】解：∵二次函数是顶点式，， ∴顶点坐标为，函数的最大值为1， 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记顶点式的顶点坐标是解题关键.；根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线 可化为 ， ∴ 顶点坐标为， 故选A． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次函数的最小值是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．由二次函数解析式求出顶点式，根据顶点式即可得出答案． 【详解】， ， 二次函数开口向上，函数有最小值， 当时，函数y的最小值为， 即答案为：． 5．（24-25九年级上·天津·期中）抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点．熟练掌握的顶点坐标为是解题的关键． 根据的顶点坐标为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，顶点坐标为， 故答案为：． 【考点2】图象的平移（第6-15题） · 左加右减对x、上加下减对整体，方向相反记清 · 平移前后a不变，先写平移后的顶点再写解析式 · 由平移后过某点求参数：写出平移式后代点解方程 6．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）将函数的图象向右平移4个单位所得新的函数图象的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减． 【详解】解：函数的图象向右平移4个单位所得新的函数， ∴对称轴为y轴， 故选A． 7．（24-25九年级上·湖南常德·期末）把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题考查了二次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为， 故选：C 8．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位长度，得到， 再向右平移3个单位长度，得到， 故选：B． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到新的图象的二次函数解析式是__________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题关键是明确函数平移变化规律，准确解答．根据“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，得到的二次函数解析式为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·福建莆田·期中）函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，先确定物线的顶点坐标为，再把点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：函数的顶点坐标为，向右平移1个单位，再向下平移2个单位顶点坐标为，所以平移后的抛物线解析式为． 12．（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是_____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于、的方程，再变形目标代数式求值． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度后，解析式为． 该抛物线经过点，代入得： 则，代入得： 故答案为：． 13．（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、二次函数图象的平移、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象的平移，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”． 由平移的规律可求得平移后的二次函数解析式，代入点直接求得答案． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度后的抛物线的函数解析式为， 将点代入得， 解得． 【考点3】增减性与函数值大小比较（第16-22题） · 开口向上：离对称轴越远值越大；开口向下：越远值越小 · 同侧点直接用增减性，异侧点比较|横坐标-h| · 画出草图辅助判断更直观 16．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数经过点，，若 ，则下列说法正确的为（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键：开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越小；开口向下，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越大，即可得到的取值范围．本题运用了分类讨论的思想． 【详解】解：当时 开口向上， ∵二次函数经过点，，且 ， ∴， ∴，故选项B符合题意，选项C不符合题意； 当时 开口向下， ∵二次函数经过点，，且 ， ∴， ∴，故选项A不符合题意，选项D不符合题意； 故选：B． 17．（23-24九年级上·北京东城·期中）若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性求解．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为， 点，，三点在抛物线的图象上， 点关于对称轴的对称点在抛物线的图象上， ， ． 故选：A． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）是抛物线上三点，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握当开口向下时、离对称轴越近的点、函数值越大成为解题的关键． 根据抛物线确定开口方向及对称轴，判断各点离对称轴的距离，然后结合二次函数的增减性即可确定函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线．当开口向下时，离对称轴越近的点，函数值越大． ∵点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为；点的横坐标到对称轴的距离为． ∴， ∴． 故选B． 19．（23-24九年级上·福建南平·阶段检测）已知，当时，函数值y随x的增大而_______． 【答案】减小 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 20．（24-25九年级上·广西钦州·期中）若二次函数的图象过点，，则，的大小关系是________．（用“”符号连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可判断函数图象开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性比较大小即可．对于二次函数（、、为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点是， ∵， ∴，的大小关系是：． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；通过计算各点到抛物线对称轴的距离，结合抛物线开口向上的性质，距离对称轴越远函数值越大，从而比较大小． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上， ∴点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ． ∵抛物线开口向上，函数值随点到对称轴距离的增大而增大， ∴ ． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·广东珠海·期末）若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 【答案】/ 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 求出，，，进而比较即可． 【详解】解：对于点，； 对于点，； 对于点，； 故，，， 因此． 故答案为：． 【考点4】求二次函数解析式（第23-28题） · 已知顶点设顶点式，已知交点设交点式，已知三点设一般式 · 形状相同（a相等）先确定a，再代点求参数 · 开放题（写一个符合条件的解析式）按条件构造即可 23．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 24．（22-23九年级下·河南新乡·阶段检测）请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：当时，随着的增大而增大；该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点．你写出的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，根据当时，随着的增大而增大可知顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，再由该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点可知抛物线与轴的交点为，据此可得出结论，掌握二次函数的性质和平移是解题的关键． 【详解】解：∵当时，随着的增大而增大， ∴抛物线的顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上， ∵二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点， ∴抛物线与轴的交点为， ∴符合条件的二次函数解析式可以为， 故答案为：(答案不唯一)． 25．（23-24九年级上·青海海东·期中）某二次函数图像的顶点为，且它与轴交点的纵坐标为5，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解二次函数的解析式，根据顶点坐标设该二次函数解析式为，代入，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图像的顶点为， ∴设该二次函数解析式为， 代入二次函数与轴的交点坐标， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为． 26．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标； (2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）将代入中即可求出； （2）先求得平移后的函数解析式，继而待定系数法求出本题答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为； （2）解：根据题意，得平移后的抛物线解析式为：， 将代入得， ，， ． ． 27．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4． (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在这个二次函数的图象上吗？ 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)点不在这个二次函数的图象上 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意设顶点式． （1）设抛物线的顶点式，将点代入上式即可求解； （2）将自变量代入求出函数值即可作出判断． 【详解】（1）解：抛物线的顶点是， 设此抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，， 此抛物线的解析式为： （2）解：点不在这个二次函数的图象上，理由如下： 把代入得，， 点不在这个二次函数的图像上． 28．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： （1）该抛物线可由抛物线向_____平移_____个单位得到； （2）当时，y随x的增大而_____； （3）当x_____时，； （4）当时，y的取值范围是_____ 【答案】 函数图象如图， （1）向下，1；（2）增大；（3）；（4） 【知识点】从函数的图象获取信息、二次函数图象的平移、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质； （1）先利用描点法画二次函数的图象，再结合平移规律可得答案； （2）由二次函数的图象结合增减性可得答案； （3）由二次函数的图象与轴的交点坐标可得答案； （4）结合二次函数的图象与可得答案． 【详解】解：列表如下： 0 1 2 0 0 3 （1）该抛物线可由抛物线向下平移1个单位得到， 故答案为：向下，1； （2）当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）∵， 解得：， ∴当时，， 故答案为：； （4）由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【考点5】函数图象与性质综合判断（第29-36题） · 逐条验证：顶点、对称轴、增减、最值、过定点等 · 新定义题按定义翻译成图象性质再判断 · 多结论判断用特殊值+图象验证，排除法 29．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的平移，以及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据题意得到顶点坐标为，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，顶点坐标为， 故平移后二次函数的解析式为． 故选C． 30．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 31．（2026·天津宁河·二模）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 32．（23-24九年级上·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可． 【详解】解：对于 ， 顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为，， 对于 ，顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为， 如图， 观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误； ②函数图象上纵坐标为0的点有点，共3个，结论②正确； ③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点或且平行于轴两条直线与图象的交点，此时或，结论③正确； ④点，是该函数图象上的两个点，由图象知，当时，则的最大距离即，结论④正确． 故答案为：②③④． 34．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得到，交x轴于点；将绕点旋转得到，交x轴于点……如此进行下去，直至得到，若在第22段抛物线上，则_______． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值． 【详解】解：∵ ∴图象与轴交点坐标为：，， ∴， ∵将绕点旋转得，交轴于点； ∴，同理可得， ， ∴，，，， ∴第段抛物线解析式为， 则当时，，解得：，， ∵第段抛物线可以看作第向右平移个单位， ∴，向右平移个单位可得， ∴，， ∴的值为或． 故答案为：或． 35．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行___________秒才能停下来，滑行的最大距离为___________米． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数的应用． 将函数解析式配方成顶点式求出S取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，S取得最大值， 即无人机着陆后滑行16秒才能停下来，滑行的最大距离为米． 故答案为：16， 36．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________． 【答案】36 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据方程有两个实数根确定t的取值范围，再利用根与系数的关系得到和的表达式，将所求式子整理为关于t的二次函数，最后根据二次函数性质求最小值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，化简得， 解得， ∵，是该一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， 展开整理得：， 将，代入得：， ∵二次函数开口向上，对称轴为，且， ∴当时，取得最小值， 将代入得最小值为． 【考点6】二次函数综合解答（第37-45题） · 先求解析式（顶点式或一般式），再按要求求值、判断 · 与直线交点：联立方程组求解 · 综合题按步骤书写，注意数形结合 37．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】(1) 解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： (2) 解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）略 （2）略 38．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题：    (1)抛物线的顶点坐标是________； (2)求抛物线线中b，c的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】点坐标规律探索、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解． （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 【详解】（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，… ∴抛物线的顶点横坐标是， 代入，则， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． （2），当时，抛物线的顶点坐标是， 由顶点式得： ，展开得． ∴，． 【点睛】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 39．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段检测）对抛物线 ，定义：点 叫做该抛物线的焦点，直线 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线：的图象与轴交于，两点，且过点， (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线的图象． ①抛物线的解析式为___________ ②设为抛物线上任意一点，轴于点，求的最小值； 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）把点代入，待定系数法求解析式，令，解方程，即可求得点的坐标； （2）①根据二次函数的平移规律，得出解析式即可求解； ②设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，由抛物线焦点和准线的性质可得，可知，又，故当点与点重合时，的值最小，由勾股定理可得的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 在中，令得或， ； （2）①解：根据题意，抛物线解析式为 故答案为：． ② ， 抛物线的焦点为，，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，如图： 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， ， ； ， 当点与点重合时，的值最小， 此时的值最小． ，，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义等知识，解题的关键是读懂新定义，能熟练应用抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等解决问题． 40．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 【答案】12 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、坐标与图形、三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数的性质确定、，即，再根据三角形面积公式即可． 【详解】解：如图：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为，当时，，即该抛物线交轴于点， ∴， ∴的面积． 41．（2024·广东潮州·一模）如图所示，直线与抛物线交于点和，点在第三象限． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)抛物线与轴另一交点为A，直线交抛物线对称轴于点，求的面积． 【答案】(1)抛物线的表达式为，线的表达式为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质等知识点，解题的关键是找到对应点的坐标，然后运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． （1）把点的坐标代入抛物线方程，即可求得抛物线的解析式；把代入确定点D的坐标，然后在运用待定系数法求解即可； （2）把代入求得点A的坐标，然后再根据抛物线的性质求得点E的坐标，最后根据及三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得，解得． 抛物线的表达式为． 把代入，得，解得． 点在第三象限， ． 把代入，得，解得 直线的表达式为． （2）解：把代入，得，解得， ． 抛物线的对称轴是直线， 把代入，得． ． ． 42．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使及的一段所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)直线，的最大值为4 (2)；点到对称轴的距离为1 (3)移动的最短路程为 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）将二次函数变形为即可求解； （2）将代入解析式可得a的值，结合对称轴的位置可得点到对称轴的距离； （3）根据平移前后解析式求出顶点间距离，即为移动的最短路程． 【详解】（1）解： ， 当时，y取最大值4， 抛物线的对称轴为直线，的最大值为4； （2）解：将代入，得：， 解得或， 对称轴为直线，在抛物线的对称轴右侧， ，点到对称轴的距离为：； （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后所得抛物线的解析式， 抛物线的顶点坐标为， 平移前后两顶点间直线距离为：， 移动的最短路程为． 43．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知抛物线． (1)若点， 都在该抛物线上，试比较与的大小 (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）根据二次函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，从而得出当时，随的增大而增大，再结合题意即可得解； （2）由二次函数解析式得出当时，有最大值，为，再分别求出当，时的的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵点，都在该抛物线上，且， ∴； （2）解：∵抛物线， ∴当时，有最大值，为， 当时，， 当时，， ∴当时，． 44．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，．二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点E． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数y的最大值等于4，则m的取值范围为________; ②连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则n的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解； （2）①根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合对称轴及y的最大值求解；②结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点A，B时n的值，进而求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为； （2）解：①∵抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为4，对称轴为直线． 当时，函数y的最大值等于4， 则， 解得：； 故答案为：； ②二次函数的图象向上平移个单位的解析式为， 抛物线顶点坐标为， 如图1，当顶点落在线段上时，， 解得：； 如图2，当抛物线向上移动，经过点时，， 解得：； 如图3，当抛物线经过点时，， 解得：； 综上所述，当或时，函数图象与线段有一个公共点， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律． 45．（2025·河北唐山·三模）如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． (1)求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． (3)在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 【答案】(1) 证明：在中，， ∴抛物线与x轴一定有两个交点； 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，， ∵， ∴这两个交点分别在原点的两侧； (2)①；② (3)①；②或 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系即可证得结论； （2）①利用待定系数法求得抛物线的表达式，运用配方法求得顶点坐标即可；②利用二次函数的性质即可求得答案； （3）①根据抛物线的平移规律即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵与y轴交于点， ∴点D关于直线的对称点为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1， ∴结合图象得，． （3）解：①由（2）知：抛物线的表达式为，顶点为， 又∵抛物线的表达式为，顶点为， ∴抛物线是由抛物线L1向右平移2个单位向上平移2个单位得到的， ∴， ∴k的最小值为； ②在中，令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵直线，且直线l经过点C， ∴直线l的表达式为， 设直线l与抛物线的对称轴交于点K， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， 当时，若点P在直线上，则， ∴， 解得： （舍去），， 此时，点Q在点K的上方， ∴； 当时，如图，点N的纵坐标， ∴点Q在点K的上方，四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图，设直线l与交于点L，则， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：（舍去），， 综上，点M的横坐标m的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移，矩形性质等，运用数形结合，分类讨论是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 顶点式y=a(x-h)2+k直接读顶点(h,k)、对称轴x=h · 平移口诀：左加右减对x、上加下减对整体，a不变 · 比较函数值：比点到对称轴距离，开口向上远者大 · 求解析式按已知条件选顶点式/交点式/一般式 · 综合题先求解析式，再数形结合逐问求解 【作业1】．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）要得到抛物线，需将抛物线（   ） A．先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度可得抛物线， 故选；B． 【作业2】．（23-24九年级上·福建莆田·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式即可得到答案，熟练掌握的顶点是是解题的关键 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：A 【作业3】．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小，掌握由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是解题的关键． 由二次函数，可得开口向上，对称轴为，易知、、三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断、、的大小． 【详解】解：二次函数， 二次函数开口向上，对称轴为， ，，三点在二次函数上，且， 、、的大小关系为， 故选：B． 【作业4】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最大值y=2 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向上，顶点为，对称轴为． ∵开口向上， ∴顶点为最低点，纵坐标为2，无最大值． ∴选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【作业5】．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列关于抛物线的说法，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性求解即可 【详解】解：∵抛物线解析式为，其中，， ∴抛物线开口向上，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． 顶点坐标为，故C错误． ∵，抛物线开口向上，对称轴为 ∴当时，随的增大而减小． 又∵包含在的范围内 ∴时，随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 【作业6】．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数性质．根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减少，根据和，得到． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 【作业7】．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的对称轴为直线__________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题考查顶点式抛物线解析式的性质，熟记解析式中各字母的意义是解题的关键． 根据顶点式函数解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 【作业8】．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 【作业9】．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且形状与函数的图象相同，开口向下，则该抛物线对应的函数解析式为___________ 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线解析式的几种表达形式并会灵活应用是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标设解析式，再根据图象相同，得到值相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为, ∵所求抛物线与的图象相同，开口向下， ∴， ∴ 所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 【作业10】．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）二次函数，当______时，随的增大而减小． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 【作业11】．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【作业13】．（23-24九年级上·广东湛江·期末）用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查的是二次函数一般式和顶点式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键． 利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解： 故二次函数对称轴为直线，顶点． 【作业14】．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）略 【作业15】．（23-24九年级上·山东济宁·阶段检测）对于函数，请回答下列问题： (1)对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ (2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 【答案】(1)由向左平移个单位，再向上平移个单位得到 (2)对称轴为直线，顶点为 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）化成顶点式，由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． （2）由二次函数的对称轴为直线，顶点，即可求解． 【详解】（1）解： ， 可以由向左平移个单位，再向上平移个单位得到． （2）解：由可得 对称轴为直线，顶点为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及平移规律，掌握性质及规律是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $