26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（讲义，3大知识11大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过y=ax²→y=ax²+k（上下平移）→y=a(x-h)²（左右平移）→y=a(x-h)²+k（综合平移）的递进结构，构建从基础到综合的学习支架，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标等核心性质。 资料特色在于表格化对比呈现参数a、h、k对图象的影响，培养几何直观（数学眼光），即学即练与11类分层题型设计，通过典例与变式巩固推理意识（数学思维），结合生活实例应用题渗透模型观念（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 知识点一 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 对于二次函数来说，当k＞0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向上平移|k|个单位长度得到的；当k＜0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向下平移|k|个单位长度得到的. 即学即练 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A．B．C．D． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 知识点二 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 对于二次函数来说，可看成是将的函数图像沿着x轴向左或向右平移|h|个单位长度得到的. 即学即练 1．（25-26九年级上·福建泉州·月考）已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 5．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______． 知识点三 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 对于二次函数来说，是由的函数图像通过向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位而得到 即学即练 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，则下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点为 C．对称轴为直线 D．此抛物线的图像由向下平移3个单位得到 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 3．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为____________． 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，随的增大而减小 D．顶点是 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 2．（24-25九年级上·全国·暑假作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 3．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 题型02 已知抛物线上一点坐标，求参数的值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为___． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是_______． 4．（23-24九年级上·福建莆田·月考）二次函数的最小值为2，则的值为_________． 5．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 题型03 比较抛物线上两点的函数值大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东云浮·期中）若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·安徽·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 4．（25-26九年级上·天津武清·月考）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型04 图象平移问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（   ） A．持续向上 B．持续向右 C．先向上再向下 D．先向下再向上 2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是______． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则______． 题型05 二次函数增减性与含参问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段检测）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 3．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 题型06 画二次函数图象 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 变｜式｜巩｜固 1．如图，二次函数（a为常数，），当时，． (1)求a的值； (2)求此抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (3)画出此二次函数的图像． 2．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）小明同学学习二次函数后，对函数研究，在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了函数图象的一部分，补全剩余函数图象； (2)写出该函数的一条性质：______． (3)观察研究 ①方程的解为______． ②关于的方程有四个实数根时的取值范围是______． 题型07 与二次函数有关的开放性问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）写出一个开口向下、顶点是的抛物线解析式为___________（写出一个即可）． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 2．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式_____． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质___________． 题型08 二次函数与最值问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·浙江温州·月考）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（  ） A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值 C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北荆州·月考）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段检测）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 题型09 利用待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东汕头·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是； ②小球运动的时间为； ③小球抛出3秒时，其高度达到最高； ④当时，小球的高度． 其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型10 二次函数与一次函数交点问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ______． 2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，点，，当L与线段有交点时，h的取值范围是______． 3．（2025·江西·二模）已知二次函数． (1)当时，此函数图象的顶点坐标为________． (2)若此函数图象经过点，求m的值． (3)求证：此函数图象与直线必有两个不同的交点． (4)设（3）中的交点为A，B，请判断：的长是否是一个定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由． 题型11 二次函数与几何图形综合 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数，其图像如图中的实曲线部分，图像上两个最高点是，，连接，则图中阴影部分的面积是____________________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知点和都在二次函数的图象上，且A、B两点位于该二次函数图象对称轴的异侧． (1)如图，若该二次函数的图象经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②当时，求的面积； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，直接写出a的取值范围． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C． (1)求的面积； (2)点P是抛物线上一动点，当的面积为6时，求所有符合条件的点P的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 知识点一 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 对于二次函数来说，当k＞0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向上平移|k|个单位长度得到的；当k＜0时，可看成是将的函数图像沿着y轴向下平移|k|个单位长度得到的. 即学即练 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 2．（25-26九年级上·福建厦门·期末）已知点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较．通过将点的横坐标代入抛物线解析式，直接计算纵坐标值，并比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，， ∴． 故选：A 3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称性．抛物线的对称轴是轴，因此点关于轴对称的点也在抛物线上，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴是轴， ∵抛物线经过点，且点关于轴对称的点是， ∴必在抛物线上， 故选：D 4．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可． 【详解】解：由于抛物线的开口向上， 则， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 知识点二 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 对于二次函数来说，可看成是将的函数图像沿着x轴向左或向右平移|h|个单位长度得到的. 即学即练 1．（25-26九年级上·福建泉州·月考）已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握顶点解析式的性质． 根据二次函数的增减性，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，可知函数在处取得最小值，因此抛物线开口向上且对称轴为直线． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 二次函数在处有最小值，抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵ 二次函数的标准形式为，其中对称轴为， ∴，且． 选项B中，，对称轴为，，满足条件． 其他选项：A和C对称轴为，不符合；D对称轴为但，开口向下，不满足增减性要求． ∴ 该二次函数的解析式可以是； 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 【答案】② 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确． 【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交； 对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误； 结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确； 结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误； 结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误； 故答案为：②． 5．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______． 【答案】0或5/5或0 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 二次函数开口向下，对称轴为，根据对称轴与区间范围的位置关系分类讨论：当时，最大值在处取得；当时，最大值在处为0，不符合题意；当时，最大值在处取得，分别解方程求． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，当时，随着的增大而减小， ∴函数在处取得最大值，即， 解得或（舍去，因为），故； 当时，在处函数取得最大值0，但，无解； 当时，当时，随着的增大而增大， ∴函数在处取得最大值，即，解得（舍去，因为）或，故， 综上，的值为0或5， 故答案为：0或5． 知识点三 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 对于二次函数来说，是由的函数图像通过向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位而得到 即学即练 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，则下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点为 C．对称轴为直线 D．此抛物线的图像由向下平移3个单位得到 【答案】D 【分析】利用顶点式性质判断开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合平移规则判断选项即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为顶点式，二次项系数， ∴抛物线开口向上，选项A错误， ∵顶点式的顶点坐标为，对称轴为直线，本题中，， ∴抛物线顶点为，对称轴为直线，选项B、C错误， ∵将向下平移3个单位，得到解析式，即为抛物线， ∴选项D正确． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（     ） A．当时，有最大值4 B．当时，有最小值4 C．当时，有最大值4 D．当时，有最小值4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握顶点式中参数与函数最值的关系是解题关键． 【详解】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式． 又∵． ∴抛物线开口向上，函数有最小值． ∵该函数的顶点坐标为． ∴当时，有最小值4． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，通过抛物线的开口方向与对称轴，结合点到对称轴的距离判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小 又∵点在对称轴上，故是最大值． 点到对称轴的距离为 点到对称轴的距离为 ∵ ∴ ∴ 故选：B． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟知关于轴对称的图象的特点是解题的关键． 根据关于轴对称的图象的特点即可得到结论． 【详解】解：抛物线的顶点为，顶点关于轴对称的点的坐标为， 抛物线关于轴对称的抛物线开口与相反，且顶点坐标为，即为． 故答案为：． 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，随的增大而减小 D．顶点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式 解析式的性质，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：二次函数为， ，开口向上， 故A选项正确； 二次函数为， 对称轴为 ， 故B选项正确； 二次函数为， ，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 故C选项正确； 二次函数为的顶点坐标是， 故D选项错误． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，由解析式判断出开口方向、对称轴、最值及增减性，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，开口向下； 对称轴 为直线； 最大值为 ； ∵ ， ∴当 时，y 随 x 增大而减小，故当 时，y 随 x 增大而减小； ∴选项D正确， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·暑假作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 3．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】A. 当时，抛物线的开口向下，A选项错误； B.抛物线 的对称轴为直线，B选项错误； C.抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小，C选项正确； D.抛物线 的顶点坐标为，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质． 题型02 已知抛物线上一点坐标，求参数的值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的性质，关键是二次函数性质的熟练掌握．根据抛物线顶点式，对称轴为，结合给定条件求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 由题意得，故． 故答案为3． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为___． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据抛物线的顶点坐标，可得，，即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线上的顶点坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：1． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的对称性，二次函数图象与轴的交点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据抛物线的对称性，求出与轴的交点坐标，代入解析式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 又抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 交点的横坐标分别为：和， 将点代入解析式， 得， 即， 解得，． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建莆田·月考）二次函数的最小值为2，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据顶点式求得最小值为，结合题意，可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数，，开口向上， ∴最小时为， 依题意，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 题型03 比较抛物线上两点的函数值大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东云浮·期中）若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向下，对称轴为，比较点A和点B与对称轴的距离，距离越大函数值越小，进一步可求解. 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵点和点在图象上， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为， ∴点A距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴函数值随距离增大而减小， ∴. 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级下·安徽·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·天津武清·月考）点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】∵点在抛物线上， ∴，． ∵， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 故选：B． 题型04 图象平移问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（   ） A．持续向上 B．持续向右 C．先向上再向下 D．先向下再向上 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的平移规律，二次函数的增减性分析，动点运动轨迹的判断，将动态过程转化为函数表达式是解题关键． 通过二次函数图象向左平移过程中与轴交点纵坐标的表达式，分析其随平移量变化趋势． 【详解】解：设向左平移个单位（），则平移后函数为， 令，得交点纵坐标， 令，可知这是一个关于的一元二次函数，开口向上，对称轴为， 当，随的增加而减小； 当，随的增加而增加． ∴二次函数图像向左平移过程中，点纵坐标先减后增，运动轨迹先向下再向上． 故选：． 2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移． 根据函数图象的平移“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，进而即可得顶点坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得： ， ∴抛物线的顶点坐标为：． 故答案为： 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的性质、抛物线的平移规律及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据顶点式分别求出原抛物线与平移后抛物线与y轴交点A、的坐标，再利用两点间距离公式（y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值）计算的长度． 先根据原抛物线顶点式，令求出与y轴交点A的坐标；再根据抛物线平移时二次项系数不变，结合新顶点写出平移后抛物线的顶点式，令求出交点的坐标；最后计算A与纵坐标差的绝对值，得到的长度． 【详解】解：在原抛物线中， 令，则， ∴点A的坐标为． ∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为， ∴平移后抛物线的解析式为． 令，则， ∴点的坐标为． ∵A、均在y轴上，横坐标均为0， ∴． 故答案为：． 题型05 二次函数增减性与含参问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段检测）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】利用形如的形式的二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，， 二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数中，决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口，对称轴为直线，熟练掌握此二次函数的性质是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质， 首先判断出二次函数开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，当时y随x的增大而减小，故对称轴直线需满足． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 题型06 画二次函数图象 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 变｜式｜巩｜固 1．如图，二次函数（a为常数，），当时，． (1)求a的值； (2)求此抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (3)画出此二次函数的图像． 【答案】(1) (2)与x轴交点，；与y轴交点 (3)见解析 【分析】（1）把，代入即可求出a的值； （2）确定抛物线的关系式后，分别令，求出图像与y轴的交点坐标，令，求出与x轴的交点坐标； （3）由题意和抛物线的性质可得，抛物线顶点，对称轴，与x轴和y轴的交点，过，得出还过点，根据这些特殊点即可画出其图像． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴代入，可得， 解得； （2）∵， ∴该二次函数的解析式为， 令，得， 解得，， ∴与轴的交点坐标为，． 令，得， 解得， ∴与y轴的交点坐标为； （3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点坐标为，，顶点坐标为，图像过，由对称性可知还过点，根据这些特殊点可以画出图像，如图所示： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与x轴和y轴的交点，以及过一些特殊点，把握二次函数的性质，并根据相应的点大致画出来函数图像． 2．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）小明同学学习二次函数后，对函数研究，在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了函数图象的一部分，补全剩余函数图象； (2)写出该函数的一条性质：______． (3)观察研究 ①方程的解为______． ②关于的方程有四个实数根时的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)函数图像关于y轴对称（答案不唯一） (3)①或或；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用图象求方程的根是解题的关键． （1）首先得到当时，，然后列表、描点、连线画出图象即可； （2）根据图象求解即可； （3）①找到图象与的交点的横坐标即可； ②找到图象与有4个交点时即可求解； 【详解】（1）当时， 列表如下： x 0 y 0 1 0 描点，画图如下： （2）由图象得，函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； （3）①由图象得，函数经过点，，， ∴方程的解为或或； ②由图象得，当时，函数图象与有4个交点， ∴关于的方程有四个实数根时的取值范围是． 题型07 与二次函数有关的开放性问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）写出一个开口向下、顶点是的抛物线解析式为___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式 ，由开口向下可知 ，取 即可得到解析式． 【详解】解：由题意得，一个开口向下、顶点是的抛物线解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 2．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式_____． 【答案】答案不唯一， 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合二次函数的性质和已知条件的一个函数解析式即可． 【详解】解：当时，函数值随自变量的增大而增大， 二次函数顶点的横坐标，不妨取，抛物线开口向下，， 设函数的解析式是， 函数的图象经过点， 把代入得：， 即， 取， 所以函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质___________． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大； 开口向上，但与的图象形状相同； ②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象的形状相同； 所以，符合上述3个性质的是②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质． 题型08 二次函数与最值问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·浙江温州·月考）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（  ） A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值 C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵甲， ∴，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，当时，甲有最小值，最小值为30； ∵乙， ∴，顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，当时，乙有最大值，最大值为30； ∴选项错误，正确． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北荆州·月考）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段检测）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h的取值范围，利用函数在的范围上的最大值为列方程，即可求解． 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 题型09 利用待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的平移可得新二次函数为，由表可得，当时，；当时，，代入解析式求解即可得到a，h的值，从而得到新二次函数的解析式，根据二次函数的图象及性质即可判断各个选项． 【详解】解∶将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到新二次函数为，即， 由表可得，当时，；当时，， ∴，解得， ∴新二次函数为． ∴其图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，． 综上所述，选项A、B、D正确，选项C错误． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东汕头·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是； ②小球运动的时间为； ③小球抛出3秒时，其高度达到最高； ④当时，小球的高度． 其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象、性质以及应用，解题的关键是会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析．根据二次函数图象依次判断各选项即可，由最高点可知路程为，可判定①；根据抛物线与x轴的交点可知运动时间为，可判定②；根据函数图象可知，小球抛出3秒时，小球达到最高点，可判定③；将代入解析式即可求h，可判定④． 【详解】解：①由图象知小球在空中经过的路程是；故①错误； ②当时，高度为0，则运动时间是，或由图象可知，小球时落地，故小球运动的时间为，故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即其高度达到最高，故③正确； ④设函数解析式为：， 把原点代入得， 解得：， ∴， 当时，， 即当时，小球的高度，故④正确； 综上，正确的有②③④． 故选：C． 题型10 二次函数与一次函数交点问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出对称轴为直线． 先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线可知对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 另一个交点坐标是， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ______． 【答案】 【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴另一个交点为， 把代入，得， 把，代入，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答． 2．（25-26九年级上·广西南宁·月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，点，，当L与线段有交点时，h的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．当L过点时，易得当时，二次函数的右支过点；当L过点时，易得当时，二次函数的左支过点，通过二次函数在时，可得抛物线左右支之间的宽度小于线段的长度，即可求出当L与线段有交点时，h的取值范围． 【详解】解：第一种情况，当L过点时，， 解得，， 当时，如图所示，二次函数的右支过点， 第二种情况，当L过点时，， 解得，， 当时，如图所示，二次函数的左支过点， 二次函数的图像是顶点为、开口方向向上、开口大小确定的抛物线， 当时，， ， 点，， 线段的长度为4， ， 在时，抛物线左右支之间的宽度小于线段的长度， 当L与线段有交点时，h的取值范围是， 故答案为：． 3．（2025·江西·二模）已知二次函数． (1)当时，此函数图象的顶点坐标为________． (2)若此函数图象经过点，求m的值． (3)求证：此函数图象与直线必有两个不同的交点． (4)设（3）中的交点为A，B，请判断：的长是否是一个定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3)见解析 (4)是一个定值， 【分析】（1）把代入解析式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）把代入解析式，然后解关于m的解析式即可； （3）令，求出根的判别式即可判断； （4）先求出，，然后根据求解即可． 【详解】（1）把代入，得 ， ∴此函数图象的顶点坐标为． 故答案为：； （2）解：根据题意，得． 解得，，即m的值为或2． （3）证明：令，化简得． ， 此函数图象与直线必有两个不同的交点． （4）解：AB的长是一个定值． 根据题意，设点A，B的坐标分别为，，则，， ． ，为定值， 的长为定值，且． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与几何综合等知识，熟练掌握，二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键． 题型11 二次函数与几何图形综合 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数，其图像如图中的实曲线部分，图像上两个最高点是，，连接，则图中阴影部分的面积是____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，矩形的面积计算，找到图中阴影部分的面积矩形的面积是解题的关键．过A作轴于D，过B作轴于E，得到四边形是矩形，根据图中阴影部分的面积矩形的面积即可得到结论． 【详解】解：过A作轴于D，过B作轴于E， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， 图中阴影部分的面积矩形的面积， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知点和都在二次函数的图象上，且A、B两点位于该二次函数图象对称轴的异侧． (1)如图，若该二次函数的图象经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②当时，求的面积； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，轴，根据二次函数的对称性求出和的值，然后根据列式计算即可； （2）根据A，B两点位于对称轴的异侧，二次函数的最小值为，分两种情况：①当时，，②当时，，分别求出a关于m的等式，结合m的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：①将点代入中， 得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为：； ②∵点和在二次函数的图象上，，抛物线的对称轴为， ∴，轴， ∴，， 当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和两点位于该二次函数图象对称轴的异侧， ∴，， ∴， ∵二次函数的最大值与最小值的差为1，二次函数的最小值为， ∴①当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 综上，a的取值范围为． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C． (1)求的面积； (2)点P是抛物线上一动点，当的面积为6时，求所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)面积为8 (2)符合条件的点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标． （1）求得点的坐标即可求得的面积； （2）设点的坐标为，由的面积为6得到，从而求得，即，求得的值后即可求得点的坐标. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C， ，点C到x轴的距离为， ∴当时，，解得，， ，， ， ， 的面积为8． （2）解：设点P的坐标为， 的面积为6， ， ． ∵点在抛物线上， ， 或， 解得，，，， ∴符合条件的点P的坐标为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $