第3讲·实际问题与一元二次方程·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第3讲·实际问题与一元二次方程·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 · 能解决增长率（下降率）问题，理解a(1±x)n=b的模型 · 能解决与图形有关的问题，利用面积公式与勾股定理列方程 · 能解决握手、循环赛、传播、行程、数字等问题，理解其数量关系模型 · 能解决营销、方案设计等实际问题，检验解的合理性 📚 知识梳理 ☆ 1.列方程解应用题的一般步骤 审题：弄清已知量与未知量，找出等量关系 设未知数：设出合适的未知数x，用含x的式子表示相关量 列方程：根据等量关系列一元二次方程；解方程并检验 检验：既要检验是否满足方程，又要检验是否符合实际意义，最后作答 概念辨析例题：某商品原价100元，连续两次降价后售价81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） 答案：100(1-x)2=81 解析：第一次降价后为100(1-x)，第二次再降为100(1-x)2，等于81。增长率模型a(1±x)n=b中，下降用减号，n为次数。 ☆ 2.增长率（下降率）问题 模型：a(1+x)n=b，a为基数，x为增长率（下降率），n为次数，b为结果量 下降率问题用(1-x)，增长率问题用(1+x) 连续两次增长（下降）是常考形式，注意n=2 列方程后解出x，增长率不能为负、通常为正小数，结果写成百分数 概念辨析例题：某厂一月份产值50万元，三月份产值72万元，求平均每月增长率，设增长率为x，列方程为（　　） 答案：50(1+x)2=72 解析：从一月到三月经过两次增长，50(1+x)2=72，解得(1+x)2=1.44，1+x=1.2，x=0.2=20%（负值舍去）。 ☆ 3.与图形有关的问题 面积问题：长方形、正方形面积=长×宽；小路、边框问题常用整体面积减去空白面积 平移法：把几条小路平移靠边，转化为一个整体矩形列方程 勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，据此列方程 注意图形边长必须为正，解得负值或超范围要舍去 概念辨析例题：用一条长32cm的绳子围成一个面积为60cm2的矩形，设矩形一边为xcm，则列方程为（　　） 答案：x(16-x)=60 解析：周长32cm，一边x，另一边=16-x，面积x(16-x)=60。解得x=6或10，两边分别为6cm、10cm。 ☆ 4.握手、循环赛与传播问题 握手问题：n个人两两握手，总次数；x个人握手y次列方程=y 循环赛（单循环）问题与握手模型相同；双循环（主客场）为x(x-1)=场次 传播问题：每轮1个人传播给x人，两轮后总数(1+x)+x(1+x)=(1+x)2 注意辨析总次数是否重复计数（两人之间是否只算一次） 概念辨析例题：参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手45次，设共有x人参加聚会，则列方程为（　　） 答案：=45 解析：x人两两握手，每两人只握一次，总次数为组合数，令其等于45，解得x=10（x=-9舍去）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 解应用题步骤 审、设、列、解、验、答 检验要符合实际意义 增长率模型 a(1+x)n=b 增长用+、下降用- 面积问题 面积=长×宽，小路平移靠边 注意图形边长为正 握手/单循环 =总次数 每两人只算一次 双循环 n(n-1)=场次 主客场各算一次 传播问题 两轮后(1+x)2=总人数 含最初源头 ⚠️ 核心考点 【考点1】增长率问题（第1-20题） · 识别增长/下降率模型a(1±x)n=b，n是发生次数 · 先设增长率为x，把两次变化表达为(1±x)2再列方程 · 解得x取正值，写百分数；注意题意中的基数与结果量对应 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）某商品原售价为元，连续两次降价后，售价为元．若平均每次降低的百分率为，则根据题意所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东深圳·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）我国森林面积逐年增加，2021年森林覆盖面积为亿公顷，2023年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·重庆·期中）提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（   ） A． B． C． D．或 11．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 12．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）某商品原价每件100元，连续两次降价后每件81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）报告显示，2021年我国快递业务完成量为1083亿件，2023年我国快递业务完成量为1319亿件，设我国快递业务量的年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为______． 14．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）为了美化环境，2022年陇西县的绿化投资额为20万元，2024年的绿化投资额为24.2万元，则这两年绿化投资额的年平均增长率为______． 15．（21-22九年级上·广东清远·期末）某地区猪肉价格连续两个月大幅上升．由原来每斤元上调到每斤元，设平均每个月上调的百分率为则可列方程为___________． 16．（23-24九年级上·广东深圳·期中）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 17．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套． (1)求2月到4月公司销售产品的月平均增长率； (2)该公司4月份销售45套产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调查发现，当产品每套的销售利润每涨价万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元，而且尽可能让顾客得到实惠，产品每套应涨价多少万元？ 18．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．该市某城区2023年底时绿化面积约为万亩，计划到2025年底时绿化面积达到万亩．若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题： (1)求该城区绿化面积的年平均增长率； (2)按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到万亩，请通过计算说明该目标能否实现． 19．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 20．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． (1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． (2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 【考点2】与图形有关的问题（第21-37题） · 面积类：整体面积-空白面积=实际面积，或把小路平移靠边整体列方程 · 勾股类：由直角三角形三边关系列方程，边长必须为正 · 多个图形条件综合时，用含x的代数式表示各边长再列式 21．（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 25．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作弧，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则________．（结果保留根号） 26．（25-26九年级上·福建泉州·期中）欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的值为______． 27．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则________． 28．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为______步；长为______步． 29．（22-23九年级上·山西运城·期中）已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ________． 30．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 31．（2023·西藏日喀则·一模）列方程（组）解应用题：    在西藏自治区农业农村厅实施的良种公羊补贴的惠民政策鼓励下，一山羊养殖户要用长的建筑材料建一个如图所示的矩形羊舍，所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为？ 32．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 33．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 34．（2025·江西·模拟预测） 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 35．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）潮阳某村要对一块长30米、宽20米的矩形场地进行改造，计划在场地中央修建一个矩形花坛，花坛的四周与场地边界之间留有宽度相等的小路，小路与场地的边平行． (1)设小路的宽为x米，用含x的代数式表示花坛的长和宽． (2)若花坛的面积为336平方米，求小路的宽． (3)按（2）中的方案施工，铺设花坛草坪每平方米需要60元，求铺设草坪的总费用． 36．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域．    (1)求正方形区域的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积，求小道的宽度． 37．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点在上，过点作交于点，交于点，交抛物线于点，连接，若，求点的坐标． 【考点3】握手、循环赛问题（第38-40题） · 单循环（握手）：=总次数 · 双循环（主客场）：n(n-1)=总场次 · 解出n后舍去负值，结果必须是正整数 38．（2026·山西朔州·模拟预测）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 39．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 40．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【考点4】营销问题（第41-43题） · 利润=售价-进价，总利润=单件利润×销量 · 降价（涨价）促销：销量随之增加（减少），用x表示新销量再列方程 · 注意检验售价、销量是否符合题意（不为负） 41．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__________元． 42．（24-25九年级上·云南昆明·期末）某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情．下表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 火腿的进价为40元/千克． 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ 43．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【考点5】传播与行程问题（第44题） · 传播：每轮感染人数模型，两轮后总数(1+x)2 · 行程：速度×时间=路程，用含x的式子表示两段路程列方程 · 按题意逐轮累加，分清感染轮次与总人数 44．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有196人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为______ 【考点6】其他问题与综合（第45-52题） · 数字问题：十位数字a、个位数字b的数=10a+b · 方案、图表信息题：先读图提取数据，再按等量关系列方程 · 综合题按步骤书写，结果需检验实际意义 45．（23-24八年级上·全国·单元测试）平面上有若干个点，没有任何三点在同一直线上，现将每两个点连成一条线段，共有36条线段，则平面上有____个点． 46．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）现要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意列出的方程为__________________． 47．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 48．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 49．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 50．（24-25八年级下·广东中山·期中）高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 51．（24-25九年级上·江西南昌·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 52．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费．某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元．求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 解应用题六步：审、设、列、解、验、答，检验放在最后一步 · 增长率（下降率）统一用a(1±x)n=b模型，n表示发生次数 · 图形问题用面积公式或勾股定理列方程，先画图标出未知量 · 握手单循环、双循环n(n-1)，别混用 · 营销问题总利润=单件利润×销量，降价涨价联动分析 【作业1】．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如果把周长为，面积为的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），下结论正确的是（    ） A．不存在这样的减半矩形 B．存在无数个这样的减半矩形 C．减半矩形的较长一边长为 D．减半矩形的较长一边长为 【作业3】．（25-26九年级上·福建·期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【作业5】．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【作业6】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【作业7】．（24-25九年级下·重庆·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为__________． 【作业8】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【作业9】．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段检测）某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有_______人． 【作业10】．（23-24九年级上·山西晋城·期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价______元． 【作业11】（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【作业12】．（25-26九年级上·山东青岛·期中）新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现之后，成为全球流行的变异株，若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染______个人． 【作业13】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【作业14】．（21-22九年级上·四川内江·期中）国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率． 【作业15】．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ． 【作业16】．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【作业17】．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）三（1）班为奖励期中考试的优秀学生，派小明到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1600元买回了奖品，求小明购买该奖品的件数． 购买件数 销售价格 不超过30件 单价50元 超过30件 每多买1件，购买的所有奖品单价降低1元 【作业18】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲·实际问题与一元二次方程·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 · 能解决增长率（下降率）问题，理解a(1±x)n=b的模型 · 能解决与图形有关的问题，利用面积公式与勾股定理列方程 · 能解决握手、循环赛、传播、行程、数字等问题，理解其数量关系模型 · 能解决营销、方案设计等实际问题，检验解的合理性 📚 知识梳理 ☆ 1.列方程解应用题的一般步骤 审题：弄清已知量与未知量，找出等量关系 设未知数：设出合适的未知数x，用含x的式子表示相关量 列方程：根据等量关系列一元二次方程；解方程并检验 检验：既要检验是否满足方程，又要检验是否符合实际意义，最后作答 概念辨析例题：某商品原价100元，连续两次降价后售价81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） 答案：100(1-x)2=81 解析：第一次降价后为100(1-x)，第二次再降为100(1-x)2，等于81。增长率模型a(1±x)n=b中，下降用减号，n为次数。 ☆ 2.增长率（下降率）问题 模型：a(1+x)n=b，a为基数，x为增长率（下降率），n为次数，b为结果量 下降率问题用(1-x)，增长率问题用(1+x) 连续两次增长（下降）是常考形式，注意n=2 列方程后解出x，增长率不能为负、通常为正小数，结果写成百分数 概念辨析例题：某厂一月份产值50万元，三月份产值72万元，求平均每月增长率，设增长率为x，列方程为（　　） 答案：50(1+x)2=72 解析：从一月到三月经过两次增长，50(1+x)2=72，解得(1+x)2=1.44，1+x=1.2，x=0.2=20%（负值舍去）。 ☆ 3.与图形有关的问题 面积问题：长方形、正方形面积=长×宽；小路、边框问题常用整体面积减去空白面积 平移法：把几条小路平移靠边，转化为一个整体矩形列方程 勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，据此列方程 注意图形边长必须为正，解得负值或超范围要舍去 概念辨析例题：用一条长32cm的绳子围成一个面积为60cm2的矩形，设矩形一边为xcm，则列方程为（　　） 答案：x(16-x)=60 解析：周长32cm，一边x，另一边=16-x，面积x(16-x)=60。解得x=6或10，两边分别为6cm、10cm。 ☆ 4.握手、循环赛与传播问题 握手问题：n个人两两握手，总次数；x个人握手y次列方程=y 循环赛（单循环）问题与握手模型相同；双循环（主客场）为x(x-1)=场次 传播问题：每轮1个人传播给x人，两轮后总数(1+x)+x(1+x)=(1+x)2 注意辨析总次数是否重复计数（两人之间是否只算一次） 概念辨析例题：参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手45次，设共有x人参加聚会，则列方程为（　　） 答案：=45 解析：x人两两握手，每两人只握一次，总次数为组合数，令其等于45，解得x=10（x=-9舍去）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 解应用题步骤 审、设、列、解、验、答 检验要符合实际意义 增长率模型 a(1+x)n=b 增长用+、下降用- 面积问题 面积=长×宽，小路平移靠边 注意图形边长为正 握手/单循环 =总次数 每两人只算一次 双循环 n(n-1)=场次 主客场各算一次 传播问题 两轮后(1+x)2=总人数 含最初源头 ⚠️ 核心考点 【考点1】增长率问题（第1-20题） · 识别增长/下降率模型a(1±x)n=b，n是发生次数 · 先设增长率为x，把两次变化表达为(1±x)2再列方程 · 解得x取正值，写百分数；注意题意中的基数与结果量对应 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）某商品原售价为元，连续两次降价后，售价为元．若平均每次降低的百分率为，则根据题意所列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可，正确理解题意、准确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 故选：． 2．（23-24九年级上·广东深圳·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 3．（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据增长率规律列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次为人次， 可列方程为． 5．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）我国森林面积逐年增加，2021年森林覆盖面积为亿公顷，2023年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，根据题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为， 依题意得：， 故选：D． 6．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长（1+周平均增长率）2第三周人均运动时长列出方程即可． 【详解】解：∵第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，周平均增长率为x， ∴． 故选：A． 7．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 二月份和三月份的总产量为750台，利用平均增长率x表示各月产量，列出方程即可． 【详解】解：∵一月份产量为200台，月平均增长率为x， ∴二月份产量为，三月份产量为， 又∵二、三月份共生产750台， ∴． 故选：A． 8．（23-24九年级上·重庆·期中）提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份店新能源汽车的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 所以，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为， 故选：B． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：B． 10．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设降价的百分率为，根据降低率的公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 根据题意可列方程为， 解方程得(舍)， ∴每次降价的百分率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键． 11．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】明确三月到五月共2次月增长，以三月游客量为基数，结合五月游客量列方程． 【详解】解：三月份接待游客25万人次，每月平均增长率为，则四月份接待游客万人次，五月份接待游客万人次． ∵五月份接待游客64万人次， ∴可列方程． 12．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）某商品原价每件100元，连续两次降价后每件81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每次降价的百分率为x，根据连续两次降价后每件81元列一元二次方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x 根据题意得， 解得，（舍去） 答：每次降价的百分率为． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）报告显示，2021年我国快递业务完成量为1083亿件，2023年我国快递业务完成量为1319亿件，设我国快递业务量的年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程． 根据年平均增长率的定义，经过两年增长，列出方程即可， 【详解】解：设年平均增长率为， 则2022年业务量为亿件， 2023年业务量为亿件． 根据题意，2023年业务量为1319亿件，因此方程为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）为了美化环境，2022年陇西县的绿化投资额为20万元，2024年的绿化投资额为24.2万元，则这两年绿化投资额的年平均增长率为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年绿化投资的年均增长率为x，根据2022年陇西县的绿化投资额为20万元，2024年的绿化投资额为24.2万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这两年绿化投资的年均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 15．（21-22九年级上·广东清远·期末）某地区猪肉价格连续两个月大幅上升．由原来每斤元上调到每斤元，设平均每个月上调的百分率为则可列方程为___________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查的知识点是“增长率问题”．在增长率问题中，常用公式为增长后的量增长前的量(增长率)．本题中，猪肉价格经过两次上调，每次上调的百分率相同，根据这个公式，通过设未知数，结合已知条件列出方程来求解． 【详解】解：根据题意知：第一次上调后每斤的价格为元， 第二次上调后每斤的价格为元； 所以，可列方程：． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·广东深圳·期中）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)3元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设月平均增长率为，根据1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元，列出方程进行求解即可； （2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：月平均增长率是； （2）设售价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低3元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 17．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套． (1)求2月到4月公司销售产品的月平均增长率； (2)该公司4月份销售45套产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调查发现，当产品每套的销售利润每涨价万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元，而且尽可能让顾客得到实惠，产品每套应涨价多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套A产品需涨价y万元，则平均每月可售出套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该公司销售产品的月平均增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该公司销售产品的月平均增长率为． （2）解：设每套产品应涨价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得， 整理方程，得， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去， ， 答：每套产品应涨价万元． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．该市某城区2023年底时绿化面积约为万亩，计划到2025年底时绿化面积达到万亩．若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题： (1)求该城区绿化面积的年平均增长率； (2)按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到万亩，请通过计算说明该目标能否实现． 【答案】(1) (2)能实现 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设年平均增长率为x，依题意得：，即可求解； （2）求出2026年的绿化面积为万亩，即可求解 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，依题意得：， 解得： 答：绿化面积的平均增长率为； （2）解：2026年的绿化面积为万亩， 该目标能实现． 19．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1) (2)万辆 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是关键． （1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程求解即可． （2）通过1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程得： ， ∴或（舍）， 答：月平均增长率为． （2）∵该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同， ∴4月份该品牌新能源汽车的销售量为（万辆）， 答：4月份该品牌新能源汽车的销售量大约为万辆． 20．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． (1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． (2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 【答案】(1) (2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）求出7月投递快递总件数为：万件，比较后得出该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，再设增加m名投递业务员，根据7月的投递量不少于万件，列出一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为； （2）解：7月投递快递总件数为：（万件）， ， 该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务， 设增加m名投递业务员， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 的最小值为3， 答：至少需要增加3名投递业务员． 【考点2】与图形有关的问题（第21-37题） · 面积类：整体面积-空白面积=实际面积，或把小路平移靠边整体列方程 · 勾股类：由直角三角形三边关系列方程，边长必须为正 · 多个图形条件综合时，用含x的代数式表示各边长再列式 21．（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 22．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】依题意得，矩形挂图的宽为，长为，根据长方形面积公式列方程即可． 【详解】解：依题意得：． 23．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 24．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设小路宽为米，则把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米， 根据题意得：． 故答案为：． 25．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作弧，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则________．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、解一元二次方程；结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值． 【详解】解：依题得：， 设， 则正方形中，，， 是的中点， ， 又， ， 在直角中，， 即 ，（舍去）， ． 故答案为：． 26．（25-26九年级上·福建泉州·期中）欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的值为______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是构造直角三角形．根据题意构造以和为直角边长的直角三角形，再根据，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示， 则，，（） ， ． ． 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，（负值已舍去）． 故答案为：． 27．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则________． 【答案】2 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 故答案为：2． 28．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为______步；长为______步． 【答案】 24 36 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设阔为步，则长为步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 阔为24步，长为36步． 故答案为：24，36 29．（22-23九年级上·山西运城·期中）已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ________． 【答案】8或7 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或b时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【详解】解：∵ ， 则无论k取何实数值，方程总有实数根， 当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为3，2，2，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为3，3，2，周长为， 综上所述，的周长为7或8． 故答案为：8或7． 30．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 31．（2023·西藏日喀则·一模）列方程（组）解应用题：    在西藏自治区农业农村厅实施的良种公羊补贴的惠民政策鼓励下，一山羊养殖户要用长的建筑材料建一个如图所示的矩形羊舍，所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为？ 【答案】矩形羊舍的长、宽分别为和时，羊舍面积为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握计算法则是解题关键．设矩形羊舍一条边长为x米，则它的邻边长为米，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设矩形羊舍一条边长为x米，则它的邻边长为米． 由题意可得： 解得：， 当时，另一条边的长为：； 当时，另一条边的长为： 答：矩形羊舍的长、宽分别为和时，羊舍面积为． 32．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为 长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：， 不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 33．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】(1) (2)x的值为20 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）根据题意列代数式即可求解； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 34．（2025·江西·模拟预测） 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 【答案】（1）； （2）上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）设中央矩形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 上、下边衬的宽均为， 左、右边衬的宽为． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据题意可得：封面的长宽之比为，则中央矩形的长宽之比也是，设中央矩形的长、宽分别是，，即可求解； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，由题意可得：中央矩形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解； （3）设中央矩形的长为、宽为，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解． 【详解】解：（1）封面长，宽， 封面的长宽之比为：， 中央矩形的长宽之比也是：， 设中央矩形的长、宽分别是，， 上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为， 四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央矩形的面积是封面总面积的， ， 整理得：， 解得：，， 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，不符合实际意义； 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，符合实际意义； 综上所述，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）略 35．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）潮阳某村要对一块长30米、宽20米的矩形场地进行改造，计划在场地中央修建一个矩形花坛，花坛的四周与场地边界之间留有宽度相等的小路，小路与场地的边平行． (1)设小路的宽为x米，用含x的代数式表示花坛的长和宽． (2)若花坛的面积为336平方米，求小路的宽． (3)按（2）中的方案施工，铺设花坛草坪每平方米需要60元，求铺设草坪的总费用． 【答案】(1)花坛的长为米，宽为米 (2)3米 (3)20160元 【知识点】实数运算的实际应用、列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）花坛的长为矩形地块的长减去小路宽的2倍的差，宽为矩形地块的宽减去小路宽的2倍的差； （2）根据等量关系：花坛的面积为336平方米，列出一元二次方程并求解即可； （3）花坛的面积乘每平方米的费用即得铺设草坪的总费用． 【详解】（1）解：花坛的长为米，宽为米． （2）解：由题意得， 化简得， ． 当时，，不合题意舍去， 所以小路的宽为3米． （3）解：（元）． 答：铺设草坪的总费用为20160元． 36．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域．    (1)求正方形区域的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积，求小道的宽度． 【答案】(1) (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为， 依题意得，， 整理得：， ∴， 解得：（舍去）， ∴正方形区域的边长为； （2）解：设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 依题意得，， 整理得，， ∴， 解得：（舍去）， ∴小道的宽度为． 37．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点在上，过点作交于点，交于点，交抛物线于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）把原抛物线解析式化为交点式，即可得点，点，把点代入直线得，从而知，故，可得结论； （2）设点，确定直线的解析式为，可得结论； （3）先证明，再过点作轴交的延长线于点，证明，作于点，由三线合一性质可知，证明得，即，解得，所以，作轴于点，因为，从而，所以，设点，则有，解得或（舍去），从而得点坐标． 【详解】（1）解：∵， 当时，； 当时，， 解得：； ∴，，， ∵直线经过、两点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵的长为， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴， 又∵， ，， ∴， ∵交于点， ∴， ∴， ∴， 过点作轴交的延长线于点，作于点，作轴于点，         ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程等知识点，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题的关键． 【考点3】握手、循环赛问题（第38-40题） · 单循环（握手）：=总次数 · 双循环（主客场）：n(n-1)=总场次 · 解出n后舍去负值，结果必须是正整数 38．（2026·山西朔州·模拟预测）足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 39．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【答案】40 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 40．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 【考点4】营销问题（第41-43题） · 利润=售价-进价，总利润=单件利润×销量 · 降价（涨价）促销：销量随之增加（减少），用x表示新销量再列方程 · 注意检验售价、销量是否符合题意（不为负） 41．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__________元． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 42．（24-25九年级上·云南昆明·期末）某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情．下表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 火腿的进价为40元/千克． 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ 【答案】（1）火腿的售价为60元/千克；（2）当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 问题1：设火腿的售价为x元/千克，根据每千克火腿的利润×销售量=1600列出方程，解方程求出x的值即可； 问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元，根据该店每天的利润=每千克火腿的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】解：问题1：设火腿的售价为x元/千克， 由题意得：， 解得：或， ∵要让顾客得到更大的实惠， ∴， 答：火腿的售价为60元/千克； 问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元， 由题意得： ， ∵， ∴当时，y最大，最大值为1800， 答：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大． 43．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 【考点5】传播与行程问题（第44题） · 传播：每轮感染人数模型，两轮后总数(1+x)2 · 行程：速度×时间=路程，用含x的式子表示两段路程列方程 · 按题意逐轮累加，分清感染轮次与总人数 44．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有196人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为______ 【答案】13 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【考点6】其他问题与综合（第45-52题） · 数字问题：十位数字a、个位数字b的数=10a+b · 方案、图表信息题：先读图提取数据，再按等量关系列方程 · 综合题按步骤书写，结果需检验实际意义 45．（23-24八年级上·全国·单元测试）平面上有若干个点，没有任何三点在同一直线上，现将每两个点连成一条线段，共有36条线段，则平面上有____个点． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义．设平面上有n点，则每个点与其他点连成线段有条，每条线段两个端点，故线段总数为，依题意列方程求解即可． 【详解】解：设平面上有n个点，则每个点与其他点连成线段有条，依题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 答：平面上有9个点， 故答案为：9． 46．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）现要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意列出的方程为__________________． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，根据题意得： ． 故答案为：． 47．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 所以经过，的面积是． 故答案为：1． 48．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动同学人数为______． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加此次活动同学人数有人，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设参加此次活动同学人数有人， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方程求解是解本题的关键．先求解，设运动时间为，可得，再利用面积建立方程求解，即可求出时间t． 【详解】解：， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， ． 故答案为：． 50．（24-25八年级下·广东中山·期中）高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 【答案】(1)一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒 (2)该物品坠落到地面大约用了3秒 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后问题可求解； （2）由题意可得，然后把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：（负根舍去）； 答：该物品坠落到地面大约用了3秒． 51．（24-25九年级上·江西南昌·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数（队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意得 解得或或（舍去） 答：应邀请6个球队参加比赛． 52．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费．某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元．求的值． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意列方程求解即可． 【详解】根据题意得： 解得： 月份用水立方米，缴纳水费元 ． 💯 课后巩固 复习建议 · 解应用题六步：审、设、列、解、验、答，检验放在最后一步 · 增长率（下降率）统一用a(1±x)n=b模型，n表示发生次数 · 图形问题用面积公式或勾股定理列方程，先画图标出未知量 · 握手单循环、双循环n(n-1)，别混用 · 营销问题总利润=单件利润×销量，降价涨价联动分析 【作业1】．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解每次减价的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，由此列式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的为元， ∴可列方程为． 故选：C． 【作业2】．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如果把周长为，面积为的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），下结论正确的是（    ） A．不存在这样的减半矩形 B．存在无数个这样的减半矩形 C．减半矩形的较长一边长为 D．减半矩形的较长一边长为 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为，宽为， 则，，即得，设减半矩形的长为，则宽为，由题意得，解方程求出即可逐项判断求解，根据题意列出方程求出减半矩形的长和宽是解题的关键． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则，， ∴， 设减半矩形的长为，则宽为， 由题意得， ， 解得，(不合题意，舍去)， ∴， ∴减半矩形的两邻边长分别为， 即减半矩形的较长一边长为， ∴选项不合题意，选项符合题意， 故选：． 【作业3】．（25-26九年级上·福建·期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，单循环比赛场次公式的应用，需熟记公式并正确变形． 每组人进行单循环比赛，比赛场次公式为，根据题意该式等于15，列方程并变形即可． 【详解】解：∵ 每组人，单循环比赛总场次为， 又∵ 每组需进行15场比赛， ∴ ， 两边同乘以2，得． 故选：B． 【作业4】．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【答案】C 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和列代数式，需根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润单件利润销量可列出对应的方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意． B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意． C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件， ∴涨元时，少售出件， ∵原销量为300件， ∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意． D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【作业5】．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、根据等角对等边证明等腰三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断①正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断②错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论①正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论②错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 【作业6】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、图表信息题(一元二次方程的应用) 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 【作业7】．（24-25九年级下·重庆·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为__________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年全市机器人台数年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这两年全市机器人台数年平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【作业8】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【答案】24 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 【作业9】．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段检测）某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有_______人． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设该小组有个人，根据互送照片的方法，每个人要送出张，由此列式解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设该小组有个人， ∴，整理得，， ∴， ∴（不符合题意，舍去），， ∴该组有人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的解决实际问题的方法是解题的关键． 【作业10】．（23-24九年级上·山西晋城·期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价______元． 【答案】60 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得，解方程即可． 【详解】根据题意，得， 整理得， 解方程，得， 要让顾客得到实惠， 价格取较低的， 故， 故答案为：60． 【作业11】（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【作业12】．（25-26九年级上·山东青岛·期中）新冠肺炎奥密克戎变异株自2021年底出现之后，成为全球流行的变异株，若有两个人患了该新冠肺炎，经过两轮传播后共有338个人被传染，那么每轮传染中平均一个人传染______个人． 【答案】12 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染x人，根据传播模型，两轮后总感染人数，据此列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 开始时感染人数为2人， 第一轮传播后，新感染人数为人，总感染人数为人． 第二轮传播后，新感染人数为人，总感染人数为人． 根据题意，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：12． 【作业13】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 【作业14】．（21-22九年级上·四川内江·期中）国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率． 【答案】该药品每次降价的百分率为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决率的问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设该药品每次降价的百分率为，根据两次降价列出方程求解即可． 【详解】解：设该药品每次降价的百分率为，由题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 答：该药品每次降价的百分率为． 【作业15】．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，要利用一面墙（墙长25m）建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ． 【答案】20 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设的长度为，则的长度为． 根据题意，得， 解得， 则或． ， 舍去， ． 所以，羊圈的边长为是． 故答案为：20． 【作业16】．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【答案】12个人 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信，再解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】解：设小明发短信给个人，由题意得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小明发短信给12个人． 【作业17】．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）三（1）班为奖励期中考试的优秀学生，派小明到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1600元买回了奖品，求小明购买该奖品的件数． 购买件数 销售价格 不超过30件 单价50元 超过30件 每多买1件，购买的所有奖品单价降低1元 【答案】小明购买该奖品的件数为40件 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小明购买该奖品的件数为x件，根据费用实际每件的单价购买数量列出方程求解即可． 【详解】解：设小明购买该奖品的件数为x件， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， 答：小明购买该奖品的件数为40件． 【作业18】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 【答案】(1)1秒 (2) 解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则原方程无解． 所以的面积不能等于． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解； （2）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：或4（不符合题意，舍去）． 所以1秒时，的面积等于； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $