第9讲 二次函数简单应用及综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数简单应用及综合题，系统梳理从实际问题建模（审设列解验答）到抛物线运动、面积最大、利润最大、拱桥问题及综合题的解题脉络，搭建从函数性质到实际应用的学习支架。 资料以思维导图总览课程，通过方法总结表构建模型意识，典例与压轴题融合分类讨论、方程思想培养推理能力，如拱桥问题建系求解体现数学眼光。课中辅助教师高效授课，课后分层练习助学生查漏补缺，强化应用与创新意识。

第8讲 二次函数简单应用及综合题 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握抛物线运动曲线的建模：能根据实际问题（抛体、拱桥、喷泉等）建立二次函数模型并求解。 · 解决面积最大问题：能利用二次函数的顶点性质求矩形、三角形等几何图形的最大面积。 · 解决利润最大问题：能建立利润关于售价的二次函数，求最大利润并注意取值范围。 · 理解拱桥问题的数学本质：能建立坐标系，利用抛物线方程解决拱桥相关的高度、宽度问题。 · 提升二次函数综合题的解题能力：能综合运用函数性质、几何关系、方程思想解决复杂问题 ✨ 核心思想：用二次函数描述现实变化规律，利用顶点求最值，实现效益最大化。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； （2）设：设适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式及自变量的取值范围； （4）解：根据题目中的条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解； （5）验：检验结果的合理性，必要时进行合理取舍； （6）答：确定实际问题的答案． 提醒 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须考虑各个量的实际意义和已知条件的限制. 例1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB= m，花园面积为S ㎡. （1）求面积S关于一边长的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 解：(1）由题意，得BC=(28-x)m, 则 (2) 当x=14时，S有最大值，最大值是196． ☆2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 （1）依据抛物运动中时间和高度的关系，求最大高度或描述运动状态． （2）求图形面积的最值-依据图形面积公式写出函数表达式． （3）求最大利润，要熟练掌握以下几个常用的公式：利润＝售价-成本价， 总利润＝单 （4）解决抛物线形建筑的问题． 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； ②设出函数表达式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数表达式； ③利用二次函数的图像与性质求解实际问题. 提示 同一个问题中，建立平而直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.通常应使已知点在坐标轴上. 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图1所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的 最高点C到公路的距离为6m． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并写出自变量的取值范 （2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离 隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全 通过这条隧道. 解：(1）答案不唯一．如以AB所在直线为x轴， 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图所示， 则A(-4,0)、B(4,0)、C(0,6)设这条抛物线的表达式 为y=a(x-4)(x+4).将C(0.6）的坐标代人，得-16a=6， 解得所以抛物线的表达式 为 （2）当x=1时因为， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. 总结： 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知 的值，根据函数表达式求 的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高＋0.5)，看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知 的值，根据函数表达式求的值，再与限制的宽的值比较大小）. ☑ 常考应用问题类型方法总结表 类型 核心模型 关键方法 注意事项 抛物线运动 高度 与水平距离 满足二次函数 顶点式求最值，令 求落点 自变量非负，顶点为最高点 面积最大 面积 与边长 为二次函数 配方法或顶点坐标求最大值 注意边长取值范围（和>0，且受总长限制） 利润最大 利润 （单件利润）× 销量 建立二次函数，求顶点 售价需在合理区间（进价≤售价≤市场价） 拱桥问题 拱形为抛物线，已知拱高、跨度等 设顶点式，代入端点求解析式，利用对称性 注意坐标系的建立，水位变化对应 值变化 综合题 二次函数 + 几何图形（平行四边形、菱形等） 坐标法、分类讨论、方程思想 灵活运用几何性质转化为代数条件 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】抛物线运动曲线 （第1—9题） 📌 方法总结： · 建立适当的坐标系，顶点式 y=a(x-h)²+k 是首选。 · 利用最高点、落地点、出发点确定参数。 · 注意实际意义：高度、宽度、距离的正负。 · 结合对称性简化计算。 1．（2025秋•泌阳县期末）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为（　　） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【分析】设DE＝3a，EF＝2a，进而得到D（﹣a，3a），代入抛物线进行求解即可． 【解答】解：由条件可设DE＝3a，EF＝2a， ∴由题意，得：D（﹣a，3a）， 把点D坐标代入，得： ， 解得：a＝2或a＝﹣8（舍去）； ∴DE＝3a＝6； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，理解题意熟练掌握二次函数性质是关键． 2．（2025秋•娄烦县期末）已知在高度h0处以初速度v0竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示．若小明将一个小球从距离地面2m的高处以10m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 【分析】将h0＝2、v0＝10代入公式h＝﹣5t2+v0t+h0，得到二次函数，再利用顶点公式求最大值． 【解答】解：小球从距离地面2m的高处以10m/s的初速度竖直向上抛出，将h0＝2、v0＝10代入公式h＝﹣5t2+v0t+h0，得： h＝﹣5t2+10t+2， ∴顶点横坐标为， ∵﹣5＜0， ∴当t＝1时，h取最大值，最大值为：﹣5×12+10×1+2＝﹣5+10+2＝7， ∴该小球达到的离地面的最大高度为7m， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 3．（2025秋•白云区校级期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度是多少？（　　） A．1m B．1.5m C．2m D．3m 【分析】先根据题意建立适当的平面直角坐标系，然后设y＝ax2，利用待定系数法求出二次函数解析式，再把y＝﹣0.5代入解析式中进行计算，即可解答． 【解答】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： ∵抛物线的顶点O的坐标为（0，0）， ∴y＝ax2， 由题意得：把（2，﹣2）代入y＝ax2中得： ﹣2＝4a， 解得：a， ∴yx2， ∵2﹣1.5＝0.5（m）， ∴当y＝﹣0.5时，﹣0.5x2， 解得：x＝±1， ∴1﹣（﹣1）＝1+1＝2（m）， ∴若水面再上升1.5m，则水面的宽度是2m， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025秋•洪洞县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则CD的长为　18　 m． 【分析】将y＝0代入，求得点D的坐标，然后根据对称性，得到OC的长度，最后求得CD的长度即可． 【解答】解：将y＝0代入，得到， 解得，x1＝9或x2＝﹣1（舍）， ∴D（9，0）， ∴OD＝9， ∵从A点向四周喷水，形状相同，喷出的水柱为抛物线， ∴OC＝OD＝9， ∴CD＝OC+OD＝9+9＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键． 5．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2025秋•新华区校级月考）淇淇从地面以vm/s的速度竖直向上发射一个小球，小球高地面的高度h（m）与运动的时间t（s）满足关系式h＝﹣5t2+vt．若小球离地面的最大高度为20m，则v的值为　20　 ． 【分析】根据h＝﹣5t2+vt，可以求得h的最大值，再根据小球离地面的最大高度为20m，即可求得v的值． 【解答】解：∵h＝﹣5t2+vt＝﹣5（t）2， ∴当t时，h取得最大值， ∵小球离地面的最大高度为20m， ∴20， 解得v＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． 7．（2026•郑州二模）塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分AB，以墙OA所在的直线为y轴，以水平地面所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若离y轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点A距离地面2米． （1）求此抛物线的解析式； （2）为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架CD两个端点均在抛物线上，求钢架CD的长； （3）为更好地种植蔬菜，老张准备将A点上移m米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，且到地面的距离均为3米，求m的值． 【分析】（1）依据题意，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，将A（0，2）代入y＝a（x﹣2）2+3得，4a+3＝2，则，从而可以得解； （2）依据题意，当时，，则，，由（米），从而可以得解； （3）依据题意，设上移后的抛物线的解析式为：，又到地面的距离均为3米，则大棚两个端点的距离，又吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，从而，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3， 将A（0，2）代入y＝a（x﹣2）2+3得，4a+3＝2， ∴， ∴； （2）当时，， ∴，． ∵（米）， ∴钢架CD的长为米； （3）设上移后的抛物线的解析式为：， 由题意可知，到地面的距离均为3米， ∴，解得， ∴大棚两个端点的距离． ∵吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米， ∴， ∴m． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（2026•深圳模拟）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）． （1）轨道初段AC的总长为　40　 cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． （2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式． ②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由图3可以得出轨道初段AC的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式； （2）①设出抛物线的顶点式，再把点P（4，40）代入解析式求解即可； ②求出OP解析式，再联立直线OP和抛物线所组成的方程组，根据判别式Δ＝0得出结论； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【解答】解：（1）由图3可知，轨道初段AC的总长为40cm； 设v＝kt+b， 则， 解得， 故， 故答案为：40；v与t之间的关系式为vt+12； （2）①由题意，Q为顶点，设Q（h，140）， 则， 把P（4，40）代入解析式得：， 解得h＝24（舍去 h＝﹣16）， ∴t2+12t﹣4； ②设直线OP表达式：s＝k1t，代入P（4，40），有k1＝10， 即s＝10t， 联立， 得， ∵， ∴直线OP与抛物线有且只有一个交点P，且直线OP不与抛物线对称轴平行，故线段OP与抛物线光滑连接； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：m＝5.5， 当m＝5.5时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 9．（2026•新疆）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题． 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2+bx+0.8（a≠0），求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米． 【分析】（1）抛物线经过（8，0），对称轴为直线x＝3.5，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令y＝0，求出x，即可求解半径． 【解答】解：（1）由题意得， ， 解得； ∴a＝﹣0.1，b＝0.7； （2）由（1）可得原抛物线的表达式为y＝﹣0.1x2+0.7x+0.8， 配方可得y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+2.025， 由题意可得： 新抛物线的表达式为y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+2.025+1，即y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+3.025， 当y＝0时，﹣0.1（x﹣3.5）2+3.025＝0， 解得x1＝9，x2＝﹣2（舍去）， ∴9×2＝18（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少18米． 【点评】本题二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【考点2】面积最大问题 （第10—16题） 📌 方法总结： · 将面积表示为二次函数，利用顶点求最值。 · 注意自变量的实际范围（墙长、篱笆长等）。 · 对于分段函数，需分别求最值再比较。 · 结合图形理解变量关系。 10．（2025•宿松县模拟）如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（　　） A．9 B． C．7 D． 【分析】连接BD，作PH⊥AD于点H，由图象得到BA＝BC，再得到BD⊥AC，由M点坐标可知，当P点运动到B点时，AB＝5，BD＝4，则，，，即可求解． 【解答】解析：连接BD，作PH⊥AD于点H， 由题意可得：BA＝BC， ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， 由M点坐标可知，当P点运动到B点时，AB＝5，BD＝4， ∴，则，，， ∵PD2＝PH2+DH2， ∴， ∴当时，x2+y2有最小值． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，二次函数的应用，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 11．（2024秋•巢湖市校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　） A．7 B． C． D． 【分析】当点P在BC上时，易得S＝PD2，整理可得S与t的函数关系式，求得当S＝6时，t的值，即可求得当点P在点B时S＝6时，t＝2，进而根据图2中的顶点坐标为（4，2），用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把（2，6）代入可得a的值，进而取S＝18，求得t的值，得到点B在点A时面积为18时，t的值，则可以求得AB的长，根据勾股定理可得AC的长． 【解答】解：在Rt△PCD中，CD，PC＝t， ∴S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2， 当S＝6时，6＝t2+2， 解得：t＝2（取正值）， ∴BC＝2， ∴图2中的抛物线经过点（2，6）， 由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2）， ∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2， 解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2， 当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2， 解得t＝8或t＝0（舍去）， ∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC4． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 12．（2025秋•石家庄期末）如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 【分析】根据函数表达式，t＝1时，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答． 【解答】解：当t＝1时，h＝20t﹣5t2＝15， ∴小球飞行1s时飞行高度为15m． 故选项A不符合题意； 20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s， 故选项B不符合题意； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20， 故选项C不符合题意； ∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用4s， 故选项D不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键． 13．（2026•白银模拟）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，又抛物线过点（0，1.8），从而16a+3.4＝1.8，进而求出解析式，再令抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，令y＝0，即可求出s＝4，最后得出s的范围就可判断得解． 【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4． 又抛物线过点（0，1.8）， ∴16a+3.4＝1.8． ∴a＝﹣0.1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． 令y＝0， ∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4． ∴x＝4±． 显然s＞0， ∴s＝4． ∵56， ∴9＜s＝410． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园ABCD，设AB＝x，S长方形ABCD＝y，则y与x的函数关系式为yx2+15x ，其中x的取值范围是　0＜x＜30　 ． 【分析】求得线段BC的长，利用矩形的面积公式解答即可． 【解答】解：设AB＝x，则BC（15x）米，∴y＝AB•BC＝x（15x）x2+15x． x的取值范围是0＜x＜30， 故答案为：yx2+15x；0＜x＜30． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的面积，利用已知条件求得线段BC的长是解题的关键． 15．（2025•瑶海区模拟）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 　2　 m； （2）已知球网AB的高度是1.55m，接球一方在球过网后且高度不低于1.6m时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是20m/s，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 　0.175　 s．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 【分析】（1）当x＝2和当x＝4时的函数值相同，则对称轴为直线x＝3，据此可得答案； （2）根据对称性可得当x＝5时的函数值为1.6，则在羽毛球过网之后到x＝5这个过程都可以“平抽”技术，据此根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【解答】解：（1）当x＝2和当x＝4时的函数值相同， ∴对称轴为直线x3， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值，即此时羽毛球在飞行过程中有最大高度，即2m； 故答案为：2； （2）∵对称轴为直线x＝3， ∴当x＝5时的函数值为1.6， ∵1.55＜1.6， ∴在羽毛球过网之后到x＝5这个过程都可以“平抽”技术， ∴接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为， 故答案为：0.175． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 16．（2025秋•海珠区期末）如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米． （1）直接写出S与x的函数关系式； （2）若院墙的面积为120平方米，求x的值； （3）若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值． 【分析】（1）根据矩形面积公式写出函数关系式即可． （2）根据（1）所得的关系，将S＝120代入函数关系式求解，注意判断解出的x的值是否符合题意，即可解题． （3）根据再开一个宽为a（a＜3）米的门，得到矩形的另一边长为（34+a﹣2x）米，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的增减性，以及面积S的最大值为154平方米，即可解题． 【解答】解：（1）由题知S＝x（32+2﹣2x）， 整理得S＝﹣2x2+34x， （2）∵院墙的面积为120平方米，即S＝120m2， 将S＝120代入S＝﹣2x2+34x中， 有﹣2x2+34x＝120， 整理得（x﹣12）（x﹣5）＝0， 解得x2＝5，x1＝12， ∵墙长14米， ∴34﹣2x≤14，解得x≥10， ∴x2＝5不符合题意，舍去． 故x的值为12． （3）∵在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门， ∴矩形的另一边长为（34+a﹣2x）米， ∴S＝x（34+a﹣2x）＝﹣2x2+（34+a）x， ∵34+a﹣2x≤14， ∴， ∵S＝﹣2x2+（34+a）x的对称轴为，且， ∴S＝﹣2x2+（34+a）x在取得最大值， ∵面积S的最大值为154平方米， ∴， 解得a＝2． ∴若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，面积S的最大值为154平方米，a＝2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3】利润最大问题 （第17—25题） 📌 方法总结： · 总利润 = 单件利润 × 销售量。 · 根据售价与销量的关系建立函数。 · 注意售价的取值范围（不低于成本、不高于限价等）。 · 最大利润在顶点处取得，但需验证在取值范围内。 17．（2024秋•都安县期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，AD的长不能超过25m，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①AB的长可以为7m；②AB有两个不同的值满足菜园的面积为182m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】设AD边长为xm，则AB边长为，根据AB＝7列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝182，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为， 当AB＝7时，， 解得x＝26， ∵AD的长不能超过25m， ∴x≤25， 故①不正确； ∵菜园ABCD面积为182m2， ∴， 整理得：x2﹣40x+364＝0， 解得x＝26或x＝14， ∵x＜25， ∴x＝14， ∴AB的长只有一个值满足菜园ABCD面积为182m2， 故②错误； 设矩形菜园的面积为ym2， 根据题意得：， ∵， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200． 故③正确； ∴正确的有1个， 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式或一元二次方程． 18．（2025秋•金安区校级月考）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元 【分析】根据二次函数图象的增减性即可求解． 【解答】解：将二次函数的一般是化为顶点式可得： y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∴对称轴为直线x＝20，开口向下， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤19， ∴x＝19时，y取最大值，此时y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴是解题关键． 19．（2024秋•濮阳期中）某种设备的销售利润y（万元）与销售数量x（万件）之间满足函数解析式y＝﹣2x2+4x+5，则利润的（　　） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最小值为7万元 【分析】将二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【解答】解：y＝﹣2x2+4x+5＝﹣2（x﹣1）2+7， ∵﹣2＜0， ∴函数图象开口向下，有最大值，且当x＝1，函数的最大值为7， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数一般式化为顶点式的方法，二次函数顶点是的特点是解题的关键． 20．（2026春•武侯区校级月考）为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度h（m）与起跳后时间t（s）的函数表达式为h＝﹣5t2+3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度分别记为h1，h2，h3，则h1，h2，h3的大小关系为h3＜h1＜h2 ．（用“＜”连接） 【分析】分别将t＝0.2，0.3，0.5代入二次函数表达式计算出对应的h值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【解答】解：当t＝0.2时，， 当t＝0.3时，， 当t＝0.5时，， ∵0.25＜0.4＜0.45， ∴则h1，h2，h3的大小关系为h3＜h1＜h2， 故答案为：h3＜h1＜h2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（2025秋•梅里斯区期末）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足h＝﹣6x2+72x，则足球从离地到落地的水平距离为 　12　 米． 【分析】依据题意，令h＝0，h＝﹣6x2+72x＝0，从而可得x＝0或x＝12，故可以判断得解． 【解答】解：由题意令h＝0，h＝﹣6x2+72x＝0， ∴x＝0或x＝12． ∴足球从离地到落地的水平距离为：12﹣0＝12（米）． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能理解是关键． 22．（2026•鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是t＞10　 ． 【分析】依据题意，设月利润为y元，涨价额为x元，由商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，可得其函数图象是抛物线，且开口向下，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，从而若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2，又记涨价t元时，利润最大，故|12﹣t|＜|8﹣t|，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，设月利润为y元，涨价额为x元， ∵商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值， ∴其函数图象是抛物线，且开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了， ∴若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2． ∵记涨价t元时，利润最大， ∴|12﹣t|＜|8﹣t|． ∴t＞10． 故答案为：t＞10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23．（2024秋•昭通期末）某商场以每个30元的价格购进某品牌玩具进行销售．在一段时间内，每个玩具的售价为40元时，可以售出600个，每个玩具的售价每上涨1元，销售量就减少10个．这种品牌玩具的实际销售价为每个x元，销售量为y个．规定该品牌玩具每个的销售价不低于45元，且商场的销售量不少于500件． （1）求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据“每个玩具的售价每上涨1元，销售量就减少10个”即可列出y与x的函数关系式，再根据“每个玩具的销售价不低于45元，且商场的销售量不少于500件”列不等式组即可求出x的取值范围； （2）根据总利润＝单个玩具的利润×销售数量列出w关于x的二次函数，再按照二次函数的性质进而得出最大利润． 【解答】解：（1）由题意得y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000． 由题意得， 解得45≤x≤50． （2）设商场销售该品牌玩具获得的利润是w元． 由题意得w＝（x﹣30）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣65）2+12250， ∵﹣10＜0， ∴当x＜65时，w随x的增大而增大， 由（1）知，当x＝50时，w取得最大值，最大值为﹣10×（50﹣65）2+12250＝10000， ∴商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数及不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．（2025春•高要区校级月考）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）该商家如何定价销售能使每天利润最大，求出最大利润． 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元， ∴． ∴a＝40． 经检验a＝40是方程的解， ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； （2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒， 当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒， ∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000， ∴y＝﹣2（x﹣70）2+1800． ∴当x＝70时，y取最大值，最大值为1800． 答：猪肉粽每盒售价为70元，利润最大为1800元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式． 25．（2026•松山区二模）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出， 研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 ①条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； ②条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现， 现场总人数y与安检时间x之间满足关系式y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【分析】（1）根据题意得安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， ∴w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10． ∴m≤10． 又∵最多开通9条， ∴m≤9． ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． 【考点4】拱桥问题 （第26—32题） 📌 方法总结： · 以拱顶为原点建立坐标系，设 y=ax²。 · 利用宽度和高度求 a，再根据高度求宽度。 · 注意：拱桥的宽度是 x 方向上两点间的距离。 · 水位上升时，y 值减小（向下为负）。 26．（2025秋•威信县月考）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度h（米）与时间t（秒）之间满足函数关系：h＝16t﹣4t2，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（　　） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【分析】令h＝0，解方程求t即可． 【解答】解：令h＝0，则0＝16t﹣4t2， 解得t1＝0（舍去），t2＝4， ∴运动员从起跳到落地所需要的时间为4秒． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 27．（2026•衡南县模拟）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（单位：cm/s）与弹簧被压缩的长度x（单位：cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知P（2，n）为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直线v＝b，且．当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线v＝b与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵P（2，n）为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+n， ∵抛物线经过点（0，3）和（6，0）， ∴， 解得， ∴， 联立得， 解得， 结合函数图象知． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2026•沁县一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB＝6m，现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m，则拱架最高点M距底部AB的高度为　4　 m． 【分析】由题意得，B（3，0），求出抛物线解析式为，得M（0，4），从而求出拱架最高点M距底部AB的高度． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+c， ∴． 解得：， ∴抛物线解析式为， 当x＝0时，y＝4， ∴M（0，4）， ∴OM＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 29．（2025秋•石家庄期中）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 　11　 米． 【分析】依据题意，令y＝0，进而可以判断得解． 【解答】解：当y＝0时，0， 解得：x1＝11，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴推铅球的距离是11米． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 30．（2026•麦积区模拟）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　10　 m． 【分析】根据已知易得：N点的坐标为（5，6）和M点的坐标为（﹣5，6），然后进行计算即可解答． 【解答】解：由二次函数y（x﹣5）2+6的图象可知， 当x＝5时，y＝6， 故N点的坐标为（5，6）； ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴M点的坐标为（﹣5，6）， ∴MN之间的距离＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（m）． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 31．（2026•青山区模拟）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． （1）求中间大拱抛物线的解析式； （2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）； （3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长． 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16），设抛物线解析式为y＝ax2+16，由题意得点F的坐标为（3，0），代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式； （2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得MN的长； （3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果． 【解答】解：（1）如图， 由题意得抛物线的顶点坐标为（0，16）， 设抛物线解析式为y＝ax2+16， ∵EF＝6米， ∴点F的坐标为（3，0），此点代入抛物线解析式中得32a+16＝0， 解得， ∴中间大拱抛物线的解析式为； （2）由题意得， 解得， ∴（米）， 答：铁丝MN的长为米； （3）如图，在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12， 则， 解得， ∴， ∴， ∵大拱顶点到GH的距离为4，且大拱、小拱的形状相同， ∴每个小拱底部宽为3米， ∴CD＝6×3+6＝24（米）， 答：CD的长为24米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键． 32．（2025•商丘模拟）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧AD＝6cm，瓶底BC＝4cm，且AD∥BC，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式； （2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长； （3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令y＝4.4，得2.5x2﹣10＝4.4，解出x，求得点E，F的横坐标，即可得解； （3）利用待定系数法求出直线BG的表达式，令x+2＝2.5x2﹣10，求出点G的坐标，过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm，再根据求解即可． 【解答】解：（1）故设抛物线的表达式为y＝ax2+b， ∴D（3，12.5），C（2，0）， 分别代入y＝ax2+b，得， 解得， 故y＝2.5x2﹣10； （2）令y＝4.4，得2.5x2﹣10＝4.4， ∴x1＝2.4，x2＝﹣2.4， ∴点E，F的横坐标分别为﹣2.4，2.4， ∴EF＝4.8cm； （3）∵∠GBC＝45°， ∴可设直线BG的表达式为y＝x+h， 将B（﹣2，0）代入，得0＝﹣2+h， 解得：h＝2， ∴y＝x+2， 令x+2＝2.5x2﹣10， 解得：x1＝﹣2，x2＝2.4， ∴xG＝2.4， ∴yG＝4.4， 过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm， ∴， 故此时水面的宽度BG约为6cm． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求一次函数与二次函数的交点，由函数值求自变量的值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【考点5】二次函数综合题型 （第33—37题） 📌 方法总结： · 先求函数解析式，再结合几何条件列方程。 · 等腰三角形问题需分腰的情况讨论。 · 面积比例问题常利用中点或分点坐标。 · 注意使用距离公式、中点公式等工具。 33．（2026•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ybx+c经过点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，4），连接AC，BC． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）若P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标； （3）点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴移动，运动时间为ts，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解； （3）在点OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，利用解直角三角形的方法，求出OM的长度，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为yx2+x+4①； （2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA， 故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上； 如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分， 即点H的坐标为（2，0）， 则CH和抛物线的交点即为点P， 由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点P的坐标为（6，﹣8）； （3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE， ∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB， 过点E作EF⊥BC于点F， 在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°， 则EFEB（4﹣2）BF， 由点B、C的坐标知，BC＝4， 则CF＝BC﹣BF＝4， 则tan∠ECB＝EF：CF：3tan∠AMO， 则tan∠AMO＝AO：OM＝2：OM， 则OM＝6， 故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10， 则t＝2或10． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 34．（2026春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）当a＝1时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝2，且过点（1，4），求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点（1，m），（3，n），（5，p）且满足m﹣n＝4，请比较n与p的大小． 【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将（1，4）代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式； ②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出Δ＝b2﹣4×1×c＝0，整理为4c＝b2，进而可求出b+4c＝b2+b，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）先将m、n、p用abc表示出来，然后根据m﹣n＝4得到b＝﹣4a﹣2，比较大小用作差法，所以得到p﹣n＝8a﹣4，再根即可判断． 【解答】解：（1）①∵a＝1， ∴该函数解析式为y＝x2+bx+c． ∵该函数图象的对称轴为直线x＝2， ∴x2， 解得：b＝﹣4． ∵该函数图象过点（1，4）， ∴4＝12﹣4+c， 解得：c＝7， ∴该函数解析式为y＝x2﹣4x+7； ②∵该函数解析式为y＝x2+bx+c，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数解， ∴Δ＝b2﹣4×1×c＝0， 整理得：b2﹣4c＝0，即4c＝b2， ∴b+4c＝b2+b＝（b）2， ∵（b）≥0， ∴（b）2， ∴； （2）由题可知，m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，p＝25a+5b+c， ∵m﹣n＝a+b+c﹣9a﹣3b﹣c＝﹣8a﹣2b＝4， ∴b＝﹣4a﹣2， ∴p﹣n＝25a+5b+c﹣（9a+3b+c） ＝16a+2b ＝16a﹣8a﹣4 ＝8a﹣4， ∵a， ∴8a＞4， ∴8a﹣4＞0， ∴p﹣n＞0， 即n＜p． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键． 35．（2026•潘集区一模）已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标． （2）点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x+3于点N． （i）求证：CD＝OM； （ii）若要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式；再求出y＝0时，二次函数的自变量的值即可得点B的坐标； （2）（i）先求出OM的长，再求出直线PB的解析式，则可得点D的坐标，然后求出CD的长即可； （ii）先求出PN的长，再求出PN∥CD，则只需PN＝CD，建立方程，解方程即可． 【解答】（1）解：直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（3，0），C（0，3）， 抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）； （2）（i）证明：由题意，作图如下： ∵P（m，n）（m＞0），PM⊥x轴于点M， ∴OM＝m， 将点P（m，n）（m＞0）代入y＝﹣x2+2x+3得：n＝﹣m2+2m+3， ∴P（m，﹣m2+2m+3）， 设直线PB的解析式为y＝k0x+b0（k0≠0），将点B，点P的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线PB的解析式为y＝（3﹣m）x+3﹣m， 将x＝0代入y＝（3﹣m）x+3﹣m得：y＝3﹣m， ∴D（0，3﹣m）， ∵C（0，3）， ∴CD＝3﹣（3﹣m）＝m， ∴CD＝OM； （ii）解：将x＝m代入y＝﹣x+3得：y＝3﹣m， ∴N（m，3﹣m）， ∵P（m，﹣m2+2m+3）， ∴PN＝|﹣m2+2m+3﹣（3﹣m）|＝|m2﹣3m|， ∵PN⊥x轴，CD⊥x轴， ∴PN∥CD， ∴要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，则只需PN＝CD，即|m2﹣3m|＝m， 解得m＝4或m＝0（不符合题意，舍去）或m＝2， 综上，m的值为2或4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 36．（2025秋•江西校级期末）如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标． （3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值． 【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x即可求得a＝﹣1，由抛物线与y轴交于点C（0，5），可得c＝5，即可求得答案； （2）联立直线DE与抛物线的解析式可求得D（﹣1，2），E（4，﹣3），连接CC′，由平移可知四边形CDD′C′是平行四边形，得出CC′∥DE，运用待定系数法可得直线CC′的解析式为y＝﹣x+5，再联立方程组即可求得答案； （3）根据对称点的连线与对称轴垂直可得：PQ⊥DE；①设直线DE分别交x轴、y轴于点L、F，PQ交y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则F（0，1），L（1，0），可证得△FOL是等腰直角三角形，则∠GFH＝45°，再根据菱形的性质求得点G的坐标，进而推出△FGH是等腰直角三角形，求得点H的坐标，运用待定系数法求得直线GH的解析式，再联立方程组求解即可． ②设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J，设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1），可得PJ＝﹣t2+3t+4，再证得△PJG是等腰直角三角形，表示出PQ的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，5）， ∴1， 解得：a＝﹣1， 又∵抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点C（0，5）， ∴c＝5， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+5． （2）联立得， 解得：，， ∴D（﹣1，2），E（4，﹣3）， 如图1，连接CC′， ∵平移线段CD，且点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上， ∴四边形CDD′C′是平行四边形， ∴CC′∥DE， 设直线CC′的解析式为y＝﹣x+d，将C（0，5）代入得d＝5， ∴直线CC′的解析式为y＝﹣x+5， 联立得， 解得：（舍去），， ∴C′（3，2）． （3）①如图2，将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q， 由（2）知，D（﹣1，2），E（4，﹣3），设P（m，﹣m2+2m+5）， ∵四边形DPEQ是菱形， ∴PD＝PE， ∴（m+1）2+（﹣m2+2m+5﹣2）2＝（m﹣4）2+（﹣m2+2m+5+3）2， 化简得，m2﹣m﹣7＝0， 解得：m或m（舍去）， ∴点P的坐标为（，）； ②如图3，设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴交DE于J， 设P（t，﹣t2+2t+5），则J（t，﹣t+1）， ∴PJ＝﹣t2+2t+5﹣（﹣t+1）＝﹣t2+3t+4， 由①知∠GFH＝45°， ∵PJ∥y轴， ∴∠PJG＝∠GFH＝45°， ∵P、Q关于直线DE对称， ∴PQ⊥DE，即∠PGJ＝90°，PQ＝2PG， ∴△PJG是等腰直角三角形， ∴PGPJ， ∴PQ＝2PGPJ（﹣t2+3t+4）（t）2， ∵0， ∴当t时，线段PQ的最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移、翻折变换的性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质，理解对称点的连线与对称轴垂直等相关知识是解题关键． 37．（2026•城关区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B（1，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求出抛物线的表达式； （2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设AP交y轴于K，过K作KT⊥AC于T，设K（0，k），证明△KTC是等腰直角三角形，可得CKKTk，故k+k＝3，解得K（0，33），知直线AP解析式为y＝（1）x+33，联立得（1）x+33＝﹣x2﹣2x+3，即可得点P的横坐标为2； （3）设M（﹣1，m），得AC2＝18，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2，分两种情况列方程解出m的值即可得答案． 【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设AP交y轴于K，过K作KT⊥AC于T，如图： 设K（0，k），则OK＝k， ∵AP平分∠CAB，OK⊥x轴，KT⊥AC， ∴KT＝OK＝k， 在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0）， ∵C（0，3）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∵KT⊥AC， ∴△KTC是等腰直角三角形， ∴CKKTk， ∵CK+OK＝OC＝3， ∴k+k＝3， 解得k＝33， ∴K（0，33）， 由A（﹣3，0），K（0，33）得直线AP解析式为y＝（1）x+33， 联立得（1）x+33＝﹣x2﹣2x+3， 解得x＝﹣3或x＝2， ∴点P的横坐标为2； （3）存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形，理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设M（﹣1，m）， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴AC2＝18，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2， 当AC＝AM时，18＝4+m2， 解得m或m， ∴M（﹣1，）或（﹣1，）； 当AC＝CM时，18＝1+（m﹣3）2， 解得m＝3或m＝3， ∴M（﹣1，3）或（﹣1，3）； 综上所述，以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形时，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，3）或（﹣1，3）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定与性质，两点间的距离公式等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2025秋•浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　0.2　 m． 【分析】根据二次函数性质，结合实际情况，先求出篮板距离y轴距离，再求出起跳位置距离y轴距离，进而得到答案． 【解答】解：根据题意可知， 当y＝3.05时，即3.05＝﹣0.2x2+3.5， 解得：x＝1.5m， ∴4﹣1.5＝2.5， 当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25， ∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2（m）； 故答案为：0.2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【练习2】（2025•江口县模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1．当“水火箭”的升空高度为37m时，此时的飞行时间为（　　） A．12s B．9s C．6s D．3s或9s 【分析】令�＝37，则﹣t2+12t+1＝37，解方程即可． 【解答】解：升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1， 令h＝37，则﹣t2+12t+1＝37， 解得t1＝t2＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，正确进行计算是解题就关键． 【练习3】（2025秋•桥西区期末）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则小球滑行至停止所用时间为 　6　 秒． 【分析】根据函数图象结合s与t的关系得出答案． 【解答】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 【练习4】（2025秋•晋中月考）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则水面上升2米后水面宽度为　　 米． 【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为y＝ax2，将点（3，﹣3）代入，求出a的值，可得到抛物线的解析式，再求出当y＝﹣1时x的值即可求解． 【解答】解：当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线表达式为y＝ax2， 将点（3，﹣3）代入得：﹣3＝a×32， 解得， ∴抛物线表达式为， 当y＝﹣1时，， 解得， ∴当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则当水面上升2米后水面宽度为（米）， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习5】某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元/个时，日销售量为152个；当销售单价为16元/个时，日销售量为136个．若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意，此时的利润为 （x﹣10﹣m），且日销售量y（个），利润为w元，由此列式得，w＝﹣4x2+（240+4m）x﹣2000﹣200m，根据最大利润为1444元，运用二次函数最值的计算方法，一元二次方程求解的方法进行计算即可． 【解答】解：由题可得，每个徽章的利润为（x﹣10），赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品， ∴此时每个徽章的利润为 （x﹣10﹣m），日销售量y（个），利润为w元， ∴w＝（x﹣10﹣m）（﹣4x+200），整理得，w＝﹣4x2+4（60+m）x﹣（2000+200m）， ∵﹣4＜0， ∴二次函数w有最大值， ∴当时，w取得最大值，且最大利润为1444元， ∴， ∴m2﹣80m+156＝0， ∴m1＝2，m2＝78， ∵0＜m＜4， ∴m的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 建模能力：将实际问题抽象为二次函数模型，关键是根据条件选择合适的形式（顶点式、一般式）。 最值意识：无论是面积、利润还是高度，核心都是求二次函数的最值，注意顶点与取值范围的匹配。 数形结合：画图能帮助理解题意，尤其是拱桥、运动曲线问题，坐标系的选择很关键。 分类讨论：等腰三角形、面积比例等综合题，需根据条件分情况讨论，避免遗漏。 计算准确：配方法、顶点公式、一元二次方程求解等基本功要扎实，减少计算失误。 【作业1】（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 【分析】将解析数化为顶点式，即可得到这条鱼此次射出的水流的最大高度． 【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90， ∴当x＝30时，y取得最大值90， 即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，会将函数解析式化为顶点式． 【作业2】（2025秋•台州期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【分析】设售价为x元（50≤x≤65），则销售量为198﹣2x，每个利润为x﹣35，总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x），化为二次函数P＝﹣2x2+268x﹣6930，因顶点x＝67不在范围内，且函数在[50，65]上递增，故最大值在x＝65处． 【解答】解：设售价x元（50≤x≤65）， ∴销售量＝98﹣2（x﹣50）＝198﹣2x，每个利润＝x﹣35， ∴总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x）＝﹣2x2+268x﹣6930， ∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但x＝67＞65，不在范围内， 又∵当x＜67时，函数递增， ∴在x＝65时P最大， P＝（65﹣35）（198﹣2×65）＝30×68＝2040（元）， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业3】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【分析】先求出P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+220I，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：当I＝1时，P＝165， ∴165＝﹣55×12+b， 165＝﹣55+b， 解得：b＝220， ∴P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220， ∴当I＝2时，电功率P最大，最大220W， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业4】（2025秋•沈丘县期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据正常水位时水面宽AB＝16米，找出当x＝8时y＝﹣4，再根据水位上升3米时，代入解析式求值即可． 【解答】解：AB＝16，当x＝8时，y64＝﹣4．当水位上升3米时，y＝﹣1，把 y＝﹣1代入 yx2， 得﹣1x2，解得 x＝±4，此时水面宽CD＝8米，故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 【作业5】（2025秋•鹤山市期末）汽车急刹车后的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数解析式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行　3　 s才能停下来． 【分析】利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【解答】解：汽车急刹车时的滑行距离S（m）与时间t（s）的函数关系式为S＝30t﹣5t2， s＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，s取最大值， 故汽车最多要滑行3s，才能停下来． 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业6】（2026•灌南县模拟）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是　10　 米． 【分析】根据题意可知点A的坐标为，顶点为B（4，3），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令y＝0，求出此时x的值即可． 【解答】解：由题意得：点A的坐标为，顶点为B（4，3）． 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，将点A的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令y＝0，则， 解得x＝10或x＝﹣2（不合题意，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式． 【作业7】（2026•东城区二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是　　 m． 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业8】（2026•榆树市二模）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE＝2，OD＝1.9，AB＝5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 y（x≤﹣1）　 ． 【分析】记CE与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径CE＝2，OD＝1.9，得出点E（﹣1，﹣0.9），由AB＝5确定出A点坐标，将点A坐标代入左侧抛物线解析式y＝a（x+1）2﹣0.9，求出a的值即可得出答案． 【解答】解：记CE与y轴的交点为F， ∵CE＝2，且半圆关于y轴对称， ∴FE＝FC＝FD＝1， ∵OD＝1.9， ∴OF＝0.9， 则左侧抛物线的顶点E坐标为（﹣1，0.9）， 将点E（﹣1，0.9）代入抛物线解析式得： y＝a（x+1）2， ∵AB＝5， ∴A（，0）， 将A点代入抛物线解析式得：a， ∴y， 故答案为：y（x≤﹣1）． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点E坐标及待定系数法求函数解析式的能力． 【作业9】（2025秋•光明区期末）某公司生产一种成本价为200元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w＝﹣5x+3000，设销售该无人机每月的利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润． （2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价． 【解答】解：（1）由题意得，y＝w（x﹣200）， ＝（x﹣200）（﹣5x+3000）， ＝﹣5x2+4000x﹣600000， ∵销售量 w≥0，即﹣5x+3000≥0， ∴x≤600． ∵每台利润 x﹣200＞0， ∴x＞200． ∴200＜x≤600． ∴y＝﹣5x2+4000x+600000（200＜x≤600）；（2）由题意，∵y＝﹣5x2+4000x﹣600000， ＝﹣5（x﹣400）2+200000， ∴当x＝400元时，最大利润y＝200000元． 答：当销售单价定为400元时，每月的利润最大，最大利润是200000元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据配方法求出二次函数的顶点坐标是解题关键． 【作业10】（2026•沙依巴克区二模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面的高度为3m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高OB为2.5m，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； （3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25m，若该球员带球向正后方移动nm再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过OC区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【分析】（1）依据题意，用待定系数法即可求解； （2）当x＝0时，y4+3＝＞2.44，即可求解； （3）设移动后的抛物线为y（x﹣2﹣n）2+3，把点（0，2.25）代入上式求出n，同理把（0，0）代入函数表达式求出n，进而求解． 【解答】解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线 y＝a（x﹣2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， ∴a． ∴抛物线的函数表达式为y（x﹣2）2+3． （2）由题意，当x＝0时，y4+32.5， ∴球不能射进球门． （3）由题意，设该球员带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y（x﹣2﹣n）2+3， 把点（0，2.25）代入得：2.25（0﹣2﹣n）2+3， 解得 n＝﹣5（舍去）或n＝1， 把点（0，0）代入得：0（0﹣2﹣n）2+3， ∴n＝﹣8（舍去）或n＝4， ∴1≤n≤4． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． 【作业11】（2026•南山区三模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为　11.25　 ，直接写出满足的函数关系式：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25　 ； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【分析】（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可． 【解答】解：（1）根据表格得：函数图象过点（4，10），（4.5，6.25），（3，10）， ∴， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+k， ∴， 解得：， ∴的函数关系y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25； 故答案为：11.25；y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， （2）对于y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 当y＝0时，0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 解得：x1＝5，x2＝2（不合题意，舍去）， ∴d1＝5米， 对于y＝﹣5x2+40x﹣68， 当y＝0时，﹣5x2+40x﹣68＝0， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴d1＜d2； （3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12， ∴点B坐标为（4，12）， ∴c＝12， ∴y＝﹣5t2+12， 当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8， ∵﹣0.8＜0， 即她在水面上无法完成此动作， ∴如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，则她当天的比赛不能成功完成此动作． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． 【作业12】（2026•新城区校级模拟）某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形OEPQ为矩形），已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，如图所示，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求上半部分抛物线的函数表达式； （2）现需在此抛物线型城门上的点A、D处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）根据A、D的对称关系与水平距离确定横坐标，将其代入表达式，依据二次函数计算得出纵坐标，即灯笼距地面高度． 【解答】解：（1）已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴抛物线的顶点为（3，6），P（6，4）， ∴设抛物线的函数表示式为y＝a（x﹣3）2+6，将点P的坐标代入得： 4＝9a+6， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）如图，过点A、D分别作AB⊥OQ于点B，DC⊥OQ于点C， 由题意知BC＝4，A、D关于抛物线的对称轴对称， ∴， 当x＝1时，， ∴灯笼距离地面的高度为米． 【点评】本题考查二次函数的应用，准确确定抛物线相关特征点坐标、熟练运用二次函数表达式及性质是解题关键。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 二次函数简单应用及综合题 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握抛物线运动曲线的建模：能根据实际问题（抛体、拱桥、喷泉等）建立二次函数模型并求解。 · 解决面积最大问题：能利用二次函数的顶点性质求矩形、三角形等几何图形的最大面积。 · 解决利润最大问题：能建立利润关于售价的二次函数，求最大利润并注意取值范围。 · 理解拱桥问题的数学本质：能建立坐标系，利用抛物线方程解决拱桥相关的高度、宽度问题。 · 提升二次函数综合题的解题能力：能综合运用函数性质、几何关系、方程思想解决复杂问题 ✨ 核心思想：用二次函数描述现实变化规律，利用顶点求最值，实现效益最大化。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； （2）设：设适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式及自变量的取值范围； （4）解：根据题目中的条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解； （5）验：检验结果的合理性，必要时进行合理取舍； （6）答：确定实际问题的答案． 提醒 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须考虑各个量的实际意义和已知条件的限制. 例1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB= m，花园面积为S ㎡. （1）求面积S关于一边长的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 解：(1）由题意，得BC=(28-x)m, 则 (2) 当x=14时，S有最大值，最大值是196． ☆2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 （1）依据抛物运动中时间和高度的关系，求最大高度或描述运动状态． （2）求图形面积的最值-依据图形面积公式写出函数表达式． （3）求最大利润，要熟练掌握以下几个常用的公式：利润＝售价-成本价， 总利润＝单 （4）解决抛物线形建筑的问题． 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； ②设出函数表达式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数表达式； ③利用二次函数的图像与性质求解实际问题. 提示 同一个问题中，建立平而直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.通常应使已知点在坐标轴上. 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图1所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的 最高点C到公路的距离为6m． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并写出自变量的取值范 （2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离 隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全 通过这条隧道. 解：(1）答案不唯一．如以AB所在直线为x轴， 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图所示， 则A(-4,0)、B(4,0)、C(0,6)设这条抛物线的表达式 为y=a(x-4)(x+4).将C(0.6）的坐标代人，得-16a=6， 解得所以抛物线的表达式 为 （2）当x=1时因为， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. 总结： 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知 的值，根据函数表达式求 的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高＋0.5)，看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知 的值，根据函数表达式求的值，再与限制的宽的值比较大小）. ☑ 常考应用问题类型方法总结表 类型 核心模型 关键方法 注意事项 抛物线运动 高度 与水平距离 满足二次函数 顶点式求最值，令 求落点 自变量非负，顶点为最高点 面积最大 面积 与边长 为二次函数 配方法或顶点坐标求最大值 注意边长取值范围（和>0，且受总长限制） 利润最大 利润 （单件利润）× 销量 建立二次函数，求顶点 售价需在合理区间（进价≤售价≤市场价） 拱桥问题 拱形为抛物线，已知拱高、跨度等 设顶点式，代入端点求解析式，利用对称性 注意坐标系的建立，水位变化对应 值变化 综合题 二次函数 + 几何图形（平行四边形、菱形等） 坐标法、分类讨论、方程思想 灵活运用几何性质转化为代数条件 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】抛物线运动曲线 （第1—9题） 📌 方法总结： · 建立适当的坐标系，顶点式 y=a(x-h)²+k 是首选。 · 利用最高点、落地点、出发点确定参数。 · 注意实际意义：高度、宽度、距离的正负。 · 结合对称性简化计算。 1．（2025秋•泌阳县期末）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为（　　） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 2．（2025秋•娄烦县期末）已知在高度h0处以初速度v0竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示．若小明将一个小球从距离地面2m的高处以10m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 3．（2025秋•白云区校级期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度是多少？（　　） A．1m B．1.5m C．2m D．3m 4．（2025秋•洪洞县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则CD的长为　 　 m． 5．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　 　 m． 6．（2025秋•新华区校级月考）淇淇从地面以vm/s的速度竖直向上发射一个小球，小球高地面的高度h（m）与运动的时间t（s）满足关系式h＝﹣5t2+vt．若小球离地面的最大高度为20m，则v的值为　 　 ． 7．（2026•郑州二模）塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分AB，以墙OA所在的直线为y轴，以水平地面所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若离y轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点A距离地面2米． （1）求此抛物线的解析式； （2）为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架CD两个端点均在抛物线上，求钢架CD的长； （3）为更好地种植蔬菜，老张准备将A点上移m米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，且到地面的距离均为3米，求m的值． 8．（2026•深圳模拟）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）． （1）轨道初段AC的总长为　 　 cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． （2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式． ②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 9．（2026•新疆）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题． 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2+bx+0.8（a≠0），求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米． 【考点2】面积最大问题 （第10—16题） 📌 方法总结： · 将面积表示为二次函数，利用顶点求最值。 · 注意自变量的实际范围（墙长、篱笆长等）。 · 对于分段函数，需分别求最值再比较。 · 结合图形理解变量关系。 10．（2025•宿松县模拟）如图，△ABC中，点P从A点出发，沿着折线A﹣B﹣C的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为（5，4），则点P在运动过程中，x2+y2的最小值是（　　） A．9 B． C．7 D． 11．（2024秋•巢湖市校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　） A．7 B． C． D． 12．（2025秋•石家庄期末）如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 13．（2026•白银模拟）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（　　） A．8＜s＜9 B．9＜s＜10 C．10＜s＜11 D．11＜s＜12 14．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园ABCD，设AB＝x，S长方形ABCD＝y，则y与x的函数关系式为　 　 ，其中x的取值范围是　 　 ． 15．（2025•瑶海区模拟）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 　 　 m； （2）已知球网AB的高度是1.55m，接球一方在球过网后且高度不低于1.6m时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是20m/s，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 　 　 s．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 16．（2025秋•海珠区期末）如图，用长32米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长14米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米． （1）直接写出S与x的函数关系式； （2）若院墙的面积为120平方米，求x的值； （3）若在墙的对面再开一个宽为a（a＜3）米的门，且面积S的最大值为154平方米，求a的值． 【考点3】利润最大问题 （第17—25题） 📌 方法总结： · 总利润 = 单件利润 × 销售量。 · 根据售价与销量的关系建立函数。 · 注意售价的取值范围（不低于成本、不高于限价等）。 · 最大利润在顶点处取得，但需验证在取值范围内。 17．（2024秋•都安县期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，AD的长不能超过25m，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①AB的长可以为7m；②AB有两个不同的值满足菜园的面积为182m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2025秋•金安区校级月考）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元 19．（2024秋•濮阳期中）某种设备的销售利润y（万元）与销售数量x（万件）之间满足函数解析式y＝﹣2x2+4x+5，则利润的（　　） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最小值为7万元 20．（2026春•武侯区校级月考）为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度h（m）与起跳后时间t（s）的函数表达式为h＝﹣5t2+3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度分别记为h1，h2，h3，则h1，h2，h3的大小关系为　 　 ．（用“＜”连接） 21．（2025秋•梅里斯区期末）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足h＝﹣6x2+72x，则足球从离地到落地的水平距离为 　 　 米． 22．（2026•鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是　 　 ． 23．（2024秋•昭通期末）某商场以每个30元的价格购进某品牌玩具进行销售．在一段时间内，每个玩具的售价为40元时，可以售出600个，每个玩具的售价每上涨1元，销售量就减少10个．这种品牌玩具的实际销售价为每个x元，销售量为y个．规定该品牌玩具每个的销售价不低于45元，且商场的销售量不少于500件． （1）求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？ 24．（2025春•高要区校级月考）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）该商家如何定价销售能使每天利润最大，求出最大利润． 25．（2026•松山区二模）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出， 研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 ①条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； ②条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现， 现场总人数y与安检时间x之间满足关系式y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【考点4】拱桥问题 （第26—32题） 📌 方法总结： · 以拱顶为原点建立坐标系，设 y=ax²。 · 利用宽度和高度求 a，再根据高度求宽度。 · 注意：拱桥的宽度是 x 方向上两点间的距离。 · 水位上升时，y 值减小（向下为负）。 26．（2025秋•威信县月考）如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度h（米）与时间t（秒）之间满足函数关系：h＝16t﹣4t2，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（　　） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 27．（2026•衡南县模拟）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（单位：cm/s）与弹簧被压缩的长度x（单位：cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知P（2，n）为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直线v＝b，且．当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 28．（2026•沁县一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知AB＝6m，现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD，通风管CD的长度为3m，则拱架最高点M距底部AB的高度为　 　 m． 29．（2025秋•石家庄期中）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 　 　 米． 30．（2026•麦积区模拟）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　 　 m． 31．（2026•青山区模拟）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，AB为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． （1）求中间大拱抛物线的解析式； （2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点M，N拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点M离水平地面的高为4米，求铁丝MN的长（两边接头忽略不计）； （3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为C，D．请直接写出CD的长． 32．（2025•商丘模拟）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧AD＝6cm，瓶底BC＝4cm，且AD∥BC，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式； （2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长； （3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：） 【考点5】二次函数综合题型 （第33—37题） 📌 方法总结： · 先求函数解析式，再结合几何条件列方程。 · 等腰三角形问题需分腰的情况讨论。 · 面积比例问题常利用中点或分点坐标。 · 注意使用距离公式、中点公式等工具。 33．（2026•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ybx+c经过点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，4），连接AC，BC． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）若P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标； （3）点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴移动，运动时间为ts，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值． 34．（2026春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）当a＝1时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝2，且过点（1，4），求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点（1，m），（3，n），（5，p）且满足m﹣n＝4，请比较n与p的大小． 35．（2026•潘集区一模）已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A，C，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标． （2）点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x+3于点N． （i）求证：CD＝OM； （ii）若要使以C，D，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 36．（2025秋•江西校级期末）如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段CD，若点C的对应点C'落在抛物线上，点D的对应点D'落在直线DE上，求出此时点C'的坐标． （3）如图（2），将DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段PQ的最大值． 37．（2026•城关区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B（1，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求出抛物线的表达式； （2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2025秋•浑南区期末）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　 　 m． 【练习2】（2025•江口县模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1．当“水火箭”的升空高度为37m时，此时的飞行时间为（　　） A．12s B．9s C．6s D．3s或9s 【练习3】（2025秋•桥西区期末）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则小球滑行至停止所用时间为 　 　 秒． 【练习4】（2025秋•晋中月考）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．则水面上升2米后水面宽度为　 　 米． 【练习5】某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元/个时，日销售量为152个；当销售单价为16元/个时，日销售量为136个．若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，则m的值为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 建模能力：将实际问题抽象为二次函数模型，关键是根据条件选择合适的形式（顶点式、一般式）。 最值意识：无论是面积、利润还是高度，核心都是求二次函数的最值，注意顶点与取值范围的匹配。 数形结合：画图能帮助理解题意，尤其是拱桥、运动曲线问题，坐标系的选择很关键。 分类讨论：等腰三角形、面积比例等综合题，需根据条件分情况讨论，避免遗漏。 计算准确：配方法、顶点公式、一元二次方程求解等基本功要扎实，减少计算失误。 【作业1】（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 【作业2】（2025秋•台州期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【作业3】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【作业4】（2025秋•沈丘县期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【作业5】（2025秋•鹤山市期末）汽车急刹车后的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数解析式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行　 　 s才能停下来． 【作业6】（2026•灌南县模拟）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是　 　 米． 【作业7】（2026•东城区二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是　 　 m． 【作业8】（2026•榆树市二模）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE＝2，OD＝1.9，AB＝5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 　 　 ． 【作业9】（2025秋•光明区期末）某公司生产一种成本价为200元/台的无人机，经调查发现该无人机每月的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w＝﹣5x+3000，设销售该无人机每月的利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月的利润最大，最大利润是多少？ 【作业10】（2026•沙依巴克区二模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面的高度为3m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高OB为2.5m，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； （3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25m，若该球员带球向正后方移动nm再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过OC区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【作业11】（2026•南山区三模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为　 　 ，直接写出满足的函数关系式：　 　 ； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【作业12】（2026•新城区校级模拟）某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形OEPQ为矩形），已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，如图所示，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求上半部分抛物线的函数表达式； （2）现需在此抛物线型城门上的点A、D处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $